高考数学基础知识自查手册 第五部分 圆锥曲线（几何）（PDF版）

小 课 堂 第五部分 圆锥曲线
椭圆及其性质
第一定义 平面内一动点P与两定点F1、F2距离之和为常数（大于 F1F2 ）的点轨迹
M F 1 = M F第二定义 2平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 = e
d1 d2
焦 点 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
y y
B2
A2
b a
图 形 b aA1 F c1 O F2 A2 x
B1 F1 cF2 B2 x
B1
A1
x2 y2 y2 x2
标准方程 + 2 2 = 1 a> b> 0 2 + 2 = 1 a> b> 0a b a b
范 围 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a
顶 点 Α1 -a,0 Α2 a,0 Β1 0, - b Β2 0,b Α1 0, - a Α2 0,a Β1 -b,0 Β2 b,0
轴 长 短轴长= 2b 长轴长= 2a
焦 点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0, - c 、F2 0,c
2 2 2
焦距(焦 F1F2 = 2c c = a - b , PF1 = a+ ex0, PF2 = a- ex0
半径) 左焦点弦 |AB| = 2a+ e(x1+ x2),右焦点弦 |AB| = 2a- e(x1+ x2).
e= c
2
离心率 a = 1-
b
2 0< e< 1a
2 2
准线方程 x=±
a y=± ac c
x 0 x y0y切线方程 + = 1 x 0 x +
y0y
a2 b2 b2 a2
= 1
2
通 径 过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = 2ba (最短焦点弦 )
(1)由定义可知：|PF1| +|PF2| = 2a,周长为：2a+ 2c
(2)焦点三角形面积：SΔF PF = b2× tan θ1 2 2
(3)当P在椭圆短轴上时，张角 θ最大, cosθ≥ 1- 2e2
(4)焦长公式：
焦 点
2
三角形 PF
b
= MF = b
2
1 a- ccosα 1 a+ ccosα
MP = 2 ab
2 = 2 ab
2
2- 2 2 2+ 2 2 ( )
sin(α+ β)
5 离心率：e=
a c cos α b c sin α sinα+ sinβ
y
P
θ
α β
F1 O F2 x
M
·60·
双曲线及其性质
小 课 堂
第一定义 平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于 F1F2 ）的点轨迹
第二定义 平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 M F 1 = M F 2 =
d1 d2
e
焦 点 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
y y
F1 虚轴
虚轴 a b 实轴
图 形
F c1 F2 x x
F2
实轴
x2 - y
2
= y
2 2
标准方程 2 2 1 a> 0,b> 0 2 -
x
2 = 1 a> 0,b> 0a b a b
范 围 x≤-a或 x≥ a，y∈R y≤-a或 y≥ a，x∈R
顶 点 Α1 -a,0 、Α2 a,0 Α1 0, - a 、Α2 0,a
轴 长 虚轴长= 2b 实轴长= 2a
焦 点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0, - c 、F2 0,c
焦距(焦
F1F2 = 2c c2= a2+ b2 ,|PF1| = a+ ex0,|PF2| =-a+ ex0左支添“-”
半径)
e= c
2
离心率 a = 1+
b
a2
e> 1
x=± a
2 2
准线方程 c y=±
a
c
渐近线 y=±
b
a x y=±
a
b x
x0x y y y y切线方程 2 -
0 = x1 0 x - 02 2 2 = 1a b b a
2
通 径 过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = 2b a (最短焦点弦 )
(1)由定义可知：|PF1| -|PF2| = 2a
(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；
2
(3)焦点三角形面积：S b ΔF = = c y1PF2 tan θ

2
焦 点
(4) F Fe= 1 2 离心率：
三角形 PF1 - PF2 y
= s in θ = si n( α + β )
sinα- sinβ sinα- sinβ P
θ
α β
F1 F2 x
·61·
小 课 堂 抛物线及其性质
定 义 平面内与一个定点F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
方 程 y2= 2px y2=-2px x2= 2py x2=-2py
y y y y
F
= p图 形 y 2
F x F x p x x
=- p
y=-
x 2 x=
p 2
2 F
顶 点 0,0
对称轴 x轴 y轴
焦 点 F p , - p , , p2 0 F 2 0 F 0 2 F
p
0, - 2
=- p p p p准线方程 x 2 x=

2 y=-

2 y=

2
离心率 e= 1
范 围 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0
切线方程 y0y= p(x+ x0) x0x= p(y+ y0)
通 径 过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB = 2P(最短焦点弦 )
AB为过 y2= 2px(p> 0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为 α.则：
( p p1) AF = x 1+ 2 BF = x2+ 2 AB = x1+ x2+ p,
2
( p2)x1x2= 4 y1y2=-p
2;
(3) AF = p pBF = 1 + 1 - + | | | | =
2
1 cosα 1 cosα FA FB P
AF
(4) = , cosα λ- 1λ 则： BF =

λ+ 1
( 2p
2
5) AB = p
sin2
S△A0B=α 2sinα
2
焦点弦 AB为过 x = 2py(p> 0)焦点的弦，A x1,y1 、B x2,y2 ，倾斜角为 α.则：
p(1) AF = BF
p
1- sinα = 1+ sinα
2p p2
(2) AB = cos2α S△A0B= 2cosα
A( )
F = , sinα= λ - 13 λ 则： BF λ+ 1
y A
y
A
α FB
O F x α
O x
B
=- px 2
·62·
点差法与通法
小 课 堂
1、圆锥曲线综述：
联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；
弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.
★ 2、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）直线的设法：
1 若题目明确涉及斜率，则设直线：y= kx+ b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；
2 若题目没有涉及斜率或直线过 (a,0)则设直线：x=my+ a,可避免对斜率进行讨论
y= kx+ b
（2）研究通法：联立 得：ax2+ bx+ c= 0F(x,y) = 0
判别式：Δ= b2 4ac,韦达定理：x1+ x = b2 a，x1x2=
c
a
（3）弦长公式： AB = (x 21- x2) + (y1- y )22 = 1+ k2|x1- x2|
= (1+ k2) [(x + x 2 1 21 2) - 4x1x2] = 1+ (yk2 1+ y2) 4y1y2
3、硬解定理
2 2
设直线 y= kx+ φ y与曲线 x + m n = 1相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)
y= kx+ φ由： ,可得：(n+mk2)x2+ 2kφmx+m(φ2-n) = 0nx2+my2=mn
2
判别式：△= 4mn(n+ 2- 2) -2kmφ m(φ -n)mk φ 韦达定理：x + x = 1 2 + ,x x =

n mk2 1 2 n+mk2
由：|x - x | = (x + x )2- 4x x ,代入韦达定理：|x - x | = △ 1 2 1 2 1 2 1 2 n+mk2
★ 4、点差法：
若直线 l与曲线相交于M、N 两点，点P(x0,y0)是弦MN 中点，MN 的斜率为 kMN，
x2 y
2
y 2 则：在椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)中,有 kMN
0 b
a b x
=
a2
;
0
在双曲线 x
2 y2 y 2
2 2 = 1(a> b> 0)中,有 k
0
MN x =
b ；
a b 0 a2
在抛物线 y2= 2px(p> 0)中,有 kMN y0= p.
证明：(椭圆 )
设M、N 两两点的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2)，
x
2 2 y
1 + y12 2 = 1, (1) Na b
则有 2 2
x2 + y2 P = 1. (2)a2 b2 F1 O F2 x
x2 x2 y2 y2(1) (2)，得 1 2 + 1 22 2 = 0.
M
a b
y2 y 1 y2 + y∴ 1 = b
2
x2 x1 x2+ x .1 a2
y2 y 1 y + y∵ = , 1 2 = 2y 又 k y y b
2
MN x x x + x 2x = x .∴ kMN x = a2 .2 1 1 2
·63·
小 课 堂 圆锥曲线的参数方程
1、参数方程的概念
x= f(t)在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数 t的函数 y= g(t)
并且对于 t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x,y)都在这条曲线上，该方程
就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y的变数 t叫做参变数，简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
※ 2、直线的参数方程
x= x + tcosα
(1)过定点P( , ) 0x0 y0 、倾斜角为 α(α≠
π
2 )的直线的参数方程 (t为参数 )y= y0+ tsinα
(2)参数 t的几何意义：
参数 t表示直线 l上以定点M0为起点，任意一点M (x,y)为终点的有向线段的长

度再加上表示方向的正负号，也即 |M0M | = |t|，
y
|t|表示直线上任一点M 到定 点M0的距离.
M1
当点M 在M0上方时，t> 0； α
当点M 在M0下方时，t< 0； O t M0 x
当点M 与M0重合时，t= 0；
x= x + tcosα
(3)直线方程与参数方程互化：y yo= tanα(x xo) 0 (t为参数 )y= y0+ tsinα
x= x( ) 0+ at4 直线参数方程： (t为参数 )，y= y0+ bt
当 a2+ b2= 1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.
x= x + a 0 a2 t2 + b2当 a + b2≠ 1时，将参数方程化为 b 然后在进行计算.y= y 0+ a2+ b2 t
★ 3、圆的参数方程
x= a+ rcosθ（1）圆心 (a,b)，半径 r的圆 (x- a)2+ (y- b)2= r2参数方程 (θ为参数 )；y= b+ rsinθ
x= rcosθ
特别：当圆心在原点时，半径为 r的圆 x2+ y2= r2的参数方程为： (θ是参数 ).y= rsinθ
(2)参数 θ的几何意义：θ表示 x轴的正方向到圆心 y
和圆上任意一点的半径所成的角. P(x,y)
r
(3)消参的方法：利用 sin2θ+ cos2θ= 1， α
x
可得圆方程：(x- a)2+ (y- b)2= r2
·64·
★ 4、椭圆的参数方程
2
( ) x + y
2 x= acosφ
1 椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数 )；
小 课 堂
a b y= bsinφ
2
椭圆 y + x
2 x= bcosφ
2 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数 )；a b y= asinφ
(2)参数 θ的几何意义：参数 θ表示椭圆上某一点的离心角.
如图所示，点P对应的离心角为 θ=∠QOx(过P作 y Q
PQ⊥ x轴，交大 圆即以 2a为直径的圆于Q)， P
α
切不可认为是 θ=∠POx. O x
5、双曲线的参数方程
2 2 x= asecφ
（1）双曲线 x2 -
y
2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ为参数 )；secφ=
1
a b y= btanφ cosφ
y2 2 x= bcotφ
双曲线 2 -
x
2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ为参数 )；cscφ=
1
a b y= acscφ sinφ
（2）参数 θ的几何意义：参数 θ表示双曲线上某一点的离心角.
※ 6、抛物线的参数方程
x= 2pt2
（1）抛物线 y2= 2px参数方程 (t为参数，t=
1 )；
y= 2pt tanα
（2）参数 t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. t= 1 kOP
·65·
小 课 堂 仿射变换与齐次式
1、仿射变换：
在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.
※ 2、椭圆的变换：
椭 圆 b2x2+ a2y2= a2b2
x = x x= x

x = b
a
ax

变换内容
x= b x
y = a y y= b y y = y y= y b a
圆方程 x2+ y2= a2 x2+ y2= b2
y y y y
C B C
C B C B
B
图 示 O x O x
O x O x A

A
A
A
点坐标 A(x0,y0)→A'(x ,
a
0 b y0) A(x0,y0)→A'(
b
a x0,y0)
k' = ab k，由于 kA'C ' kB'C '= 1． k' =
a
b k，由于 kA'C ' kB'C '= 1．
斜率变化
k k b b b
2 b b 2
AC BC= a kA'C ' a kB'C '= 2 kAC kBC= a kA'C ' a k =
b
a B'C ' a2
则AB= 1+ k2 x1- x2
弦长变化 A'B' = 1+ k'2 x1- x2
= 1+ ( a )2k2b x1- x2
S = b S a△ABC a △A'B'C ' (水平宽不变，铅 S△ABC= b S△A'B'C '(水平宽扩大，铅面积变化
锤高缩小) 垂高不变)
b2 k b2 c2x c
2y
3、中点弦问题，kOP k AB= 2 ，中垂线问题
O P = k 2 ，且 x =
0 y =- 0
a a M a2 N
，
MP b2
拓展 1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C '为 120°的等
腰三角形；△A'B'C '为等边三角形；
拓展 2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B'
4、面积问题：
2 y2 2
（1）若以椭圆 x 2 + 2 = 1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且 k
b
OA kOB= 2 ,a b a
则经过仿射变换后 kOA' kOB'= 1，所以S△AOB为定值.
x2
2 2
（2）若椭圆方程 2 +
y
2 = 1上三点A，B，M，满足：① kOA k
b
a b OB
=
a2

②S△AOB= ab2 ③OM = sinαOA+ cosαOB α∈ 0,
π
2 ，三者等价
·66·
※ 5、平移构造齐次式（：圆锥曲线斜率和与积的问题）
小 课 堂
（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点 P 作两条直线与圆锥曲线交于 A、B，在直线PA
和PB斜率之和或者斜率之 积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.
（2）步骤：①将公共点 平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.
②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny= 1
③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny= 1，构造出齐次式.
④在齐次式中，同时除以 x2,构建斜率 k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.
圆锥曲线考点归类
(一 )条件方法梳理
1、椭圆的角平分线定理
2 y2
（1）若点A、B是椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴a b
上一定存在一个点M，当仅当则 xM xN= a2时，∠AMN =∠BMN，即长轴为角平分线；
x2 y
2
（2）若点A、B是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴a b
上一定存在一个点M，当仅当则 y 2M yN= b 时，∠AMN =∠BMN，即短轴为角平分线；
※ 2、关于角平分线的结论：
若直线AO的斜率为 k1,直线CO的斜率为 k2,EO平分∠AOC
则有：k1+ k2= tanα+ tan(π- α) = 0
角平分线的一些等价代换条件：作 x轴的对称点、点到两边的距离相等.
3、四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为 y- y0= k(x- x0) (除直线 x=
x0),其中 k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x- x0) +B(y- y0) = 0,
其中A,B是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线 l1 : A1x+B1y+C1= 0,l2 : A2x+B2y+C2= 0 的交点
的直线系方程为 (A1x+B1y+C1) + λ(A2x+B2y+C2) = 0(除 l2)，其中 λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线 y= kx+ b中当斜率 k一定而 b变动时，表示平行直线系方
程．与直线Ax+By+C = 0平行的直线系方程是Ax+By+ λ= 0(λ≠ 0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C = 0 (A≠ 0，B≠ 0)垂直的直线系方程是Bx
-Ay+ λ= 0,λ是参变量．
·67·
小 课 堂
4、圆系方程
(1)过直线 l :Ax+By+C = 0与圆C : x2+ y2+Dx+Ey+F
= 0的交点的圆系方程是 x2+ y2+Dx+Ey+F + λ(Ax+By+
C) = 0,λ是待定的系数．
(2) 过圆C : x21 + y2+D1x+E1y+F1= 0与圆C 2 22 : x + y +D2x+E2y+F2= 0的交点的
圆系方程是 x2+ y2+D1x+E1y+F1+ λ(x2+ y2+D2x+E2y+F2) = 0,λ是待定的系数．
5、关于二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的四线一方程：
已知二次曲线G：Ax2+Cy2+Dx+ Ey+ F = 0，点M (x0，y0)，对二次曲线G的方程作如
下变换：
平方项：x2替换为 x x，y2替换为 y y；一次项：x替换为 x + x 0 y + y 00 0 2 ，y替换为 2 ，【xy替换
x为 0y + y 0 x2 】
+ + x + x 0 + y + y得到直线 l：Ax0x Cy0y D E 02 2 +F = 0，记为H x，y = 0．那么，对于点
M x0，y0 ，
①当M (x0，y0)在曲线G上时，l为曲线G的切线方程；
②当M (x0，y0)在曲线G包围的区域外时，l为过M 作曲线G的两切线而得到的切点弦所
在的直线方程；
③当M (x0，y0)在曲线G包围的区域内时，l为过M 作曲线G的动弦P1P2 ，以P1 ，P2 为切
点的两切线交点的轨迹方程；
④当M (x0，y0)为曲线G的弦中点时，中点弦所在直线方程为H x，y -H x0，y0 = 0.
因此，⑴对于圆：x2+ y2+Dx+Ey+F = 0，
直线 l：x0x+ +
x + xy y D 0 +E y + y 00 2 2 +F = 0；
2
x2 + y = x 0 x + y y⑵对于椭圆： 2 2 1，直线 l： 0 2 = 1；a b a b2
2 2
⑶对于双曲线： x2 -
y = x1，直线 l： 0 x - y 0 y2 2 2 = 1；a b a b
⑷对于抛物线：y2= 2px，直线 l：y0y= p(x+ x0)；
事实上，对于④，相当于将原二次曲线进行缩放(椭圆、双曲线---离心率不变)或平移(抛物
线)到经过M (x0，y0)，再利用①求出切线方程，即得中点弦所在直线方程．
★ (二 )圆锥曲线过定点问题
1、直线过定点的背景：
（1）直线过定点模型：A,B是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中 α,β分别为MA,MB
的倾斜角，则：

①、MA MB为定值 直线AB恒过定点；
②、kMA kMB为定值 直线AB恒过定点；
③、α+ β= θ(0< θ< π) 直线AB恒过定点.
·68·
（2）抛物线中直线过定点
小 课 堂
A,B是抛物线 y2= 2px(p> 0)上的两动点，α,β分别为OA,OB的倾斜角，则：
OA⊥OB kOA kOB=-1 α- β = π 2 直线AB恒过定点 (2p,0).
2 2
（3）椭圆中直线过定点模型：A,B是椭圆 x + y2 2 = 1(a> b> 0)上异于右顶点D的两动a b
点，其中 α,β分别为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：
2
DA⊥DB kDA kDB=-1 α- β = π2 直线AB恒过定点 (
ac
a2+ 2 ,0).b
2、定点的求解方法：
1 含参形式简单的直线方程，通过将直线化为 y- y0= k(x- x0)可求得定点坐标 (x0,y0)
2 含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.
h(x,y) = 0
变换主元法：将直线化为 h(x,y) + λf(x,y) = 0,解方程组： 可得定点坐标.f(x,y) = 0
3、关于以AB为直径的圆过定点问题：
(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.
圆的直径式方程：（x- x1）(x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0
(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，
该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为 0证明点恒在圆上.
★ (三 )圆锥曲线面积问题
1、面积的求解方法：
（1）S△ABC= 12 MN d,从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.
（2）S 1△ABC= 2 ×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.
2、面积中最值的求解
2
(1)f(x) = αx + β x + φx+n 型：令 t= x+n x= t-n进行代换后裂项转化为：y= at+
b
t
(2)f(x) = x + n 2+ + 型：先在分母中配出分子式 f(x) =
x + n
αx βx φ α(x+n)2+ λ(x+n) + υ
令 t= x+n，此时：y= t 2+ + ，分子分母同时除 t，此时 y=
1 ，再利
αt λt υ αt+ υt + λ
用对勾函数或不等式分析最值.
( ) ( ) = α x+3 f x β + 型：令 t= x+n x= t
2-n进行代换后裂项，可转化为：y= at+ b
x n t
·69·
小 课 堂 附：圆锥曲线焦比体系
一：椭圆焦长以及焦比问题
x2 y
2
4a体 :过椭圆 2 + = 1 a> b> 0 的左焦点F 的弦AB与右焦点F 围成的三角形a b2 1 2
ΔABF2的周长是 4a；
x2 y2焦长公式：A是椭圆 + 2 2 = 1 a> b> 0 上一点，F1、F2是左、右焦点，∠AFa b 1F2为 αa，
2 2
AB过 F1，c是椭圆半焦距，则 (1) AF1 = b a ccosα；(2)
b
BF = 1 a+ ccosα；(3) AB =
2a b 2
2 2 2 ．a c cos α
2 2
4a体面积：SΔABF =
A B h = 1 2a b 2 2 2 2 2 2csinα=
2 a b cs in α
2 a c cos α a2 c2 2 ，cos α
= A B hS
2
2 = ab c s in α ΔACB 2 a2 c2 ．cos2α
证明：
(1)如图所示， AF1 + AF2 = 2a; BF1 + BF2 = 2a，故 AB + AF2 + BF2 = 4a；
(2)设 AF1 =m; BF1 =n; AF2 = 2a-m; BF2 = 2a-n;由余弦定理得
2
m2+ 2c 2- 2a-m 2= 2m 2c cosα；整理得 AF = b 1 a- ccosα
2
n2+ 2c 2- b 2a-n 2= 2n 2c cos 180°- α ；整理得 BF = 1 a+ ccosα
2
则过焦点的弦长 AB =m+n= 2a b = 2a b
2
a2- c2cos2α b2+ c2sin2 .(焦长公式 )α
2 y2 2 2
焦比定理：过椭圆 x + = 1的左焦点 F 的弦 AF = b ，BF = b2 2 1 1 a ccosα 1

a b a+ ccosα，
2ab2
AB =
a2 令 AF = λ F B ，c2cos2α 1 1
b 2 λb 2
2
即 = λ+ecosα= λ - 1 ，代入弦长公式可得 AF =
1 b
a- ccosα a+ ccosα λ+ 1 1 2a
二：双曲线的焦点三角形问题
2
周长问题：双曲线 x
2
- y2 2 = 1 (a> 0，b> 0)的两个焦点为F1、F2，弦AB过左焦点F1(A、a b
B都在左支上)， AB = l，则ΔABF2的周长为 4a+ 2l (如图1)
图1 图2 图3
焦长公式：
2
(1)当AB交双曲线于一支时，|AB| = 2a b 2- ，a
2- c2cos2α> 0 1< e< 1 (2)；
a c2cos2α cosα
2
(2)当AB交双曲线于两支时，|AB| = 2a b ，a2- c2cos2α< 0 e> 1
c2cos2α- a2 cosα (图3)．
双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致：
2
令 b λb
2
AF = λ F B ，即 1 1 a- ccosα = a+ ccosα ecosα=
λ - 1
λ+ 1 λ> 1 ，
= λ + 1 b
2
2 2代入弦长公式可得 AF1 2a ．若交于两支时，
b
ccosα- a =
λb
a+ ccosα ecosα=
2
λ + 1
λ- 1 λ> 1
λ- 1 b
，代入弦长公式可得 AF = 1 2a ．
·70·
三：抛物线焦长公式及性质
p p
1． AF = 1 cosα， BF =

1+ cosα． 小 课 堂
2p
2． AB = x1+ x2+ p= ．sin2α
p2
3．S ΔAOB= 2sinα．
A F 4．设 = λ,则 cosα= λ 1 ; AF = λ + 1 p．
BF λ+ 1 2
A F = BF 5．设AB交准线于点P，则 cosα； = cosα．
PA PB
关于抛物线 x2= 2py的焦长公式及定理
(A为直线与抛物线右交点，B为左交点，α< 90 为AB倾斜角)
1． AF = p 1 sinα； BF =
p
1+ sinα
= + + = 22． AB y y p p 1 2 cos2α
p2
3．S ΔAOB= 2cosα；
4．设 A F = λ，则 sinα= λ 1 ；AF = λ + 1λ+ 1 2 p BF
AF BF
5．设AB交准线于点P， = sinα; = sinα．
PA PB
·71·
小 课 堂 附：极点与极线探秘
一：极点和极线的定义
作为射线几何学的奠基人之一的法国数学家笛沙格 (G．Desargues，1591- 1661)，他
于 1639年在《椭圆曲线论稿》中正式阐述了极点与极线的定义．
一 极点和极线的定义 (代数定义 )
已知圆锥曲线Γ：Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F = 0，则称点P（x0,y0）和直线 l：Ax0x+Cy0y+
D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线．
x + x
以上代数定义表面，在圆锥曲线方程中，以 x x替换 x2，以 0 0 2 替换 x(另一变量 y也是如
此 )，即可得到点P(x0,y0)的极线方程．
特别的：
2 2 y y
(1) x + y x x对于椭圆 2 2 = 1 a≠ b ，与点P(x0,y0)对应的极线方程为
0 + 0
a b a2 b2
= 1；
y y 2
当P( x xx0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线
0 + 02 2 = 1变成 x=
a
a b c
，恰是椭圆的右准线．
2 2 y y
(2)对于双曲线 x2
y
2 = 1，与点P(x0,
x x
y )对应的极线方程为 0 0
a b 0 a2
+ 2 = 1b
2
当P(x , xy )为其焦点F(c,0)时，极线 0 x
y
0
y a
0 0 a2 b2
= 1变成 x= c ，恰是双曲线的右准线．
(3)对于抛物线 y= 2px2，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 y0y= p(x0+ x)．
p p
当P(x0,y0)为其焦点F( 2 ,0)时，极线 y0y= p(x0+ x)变为 x=

2 ，恰为抛物线的准线．
二： 极点与极线的作图 (几何意义 )
如图 1，P是不在圆锥曲线上的点，过点P引两条割线依次交圆锥曲线与四点E，F，G，H，
连接EH，FG交于点N，连接EG，FH交于点M，则直线MN 为点P对应的极线．
M
P P
E
B M
F
N G
A N
H
图 1 图 2
如图 2，同理可知PM 为点N 对应的极线，PN 是点M 对应的极线．△MNP称为自极三点
形．若连接MN 交圆锥曲线与点A，B，则PA，PB恰为圆锥曲线的两条切线．
三：极点与极线的性质
定理 1 (1)当点P在圆锥曲线Γ上时，其极线时曲线Γ在点P点处的切线；
当点P在Γ外时，其极线 l时曲线Γ从点P所引两条切线的切点所确定的直线 (即切点弦所
在的直线 )；
当点P在Γ内时，其极线 l时曲线Γ过点P的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．
证明 (1)假设同以上代数定义，对 Γ：Ax0x+Cy0y+ 2D(x0+ x) + 2E(y0+ y) + F = 0的方
程，两边对 x求导得 2Ax+ 2cyy + 2D+ 2Ey = 0，解得 y = A x + D Cx+E ，于是曲线 Γ在P点
= A x + D = Ax处的切线斜率 k ，故切线 l的为 y y 0 + D Cy+E 0 Cy +E (x x0)，化简得，Ax0x+0
Cy y Ax2 Cy2+Dx+ Ey Dx Ey = 0，又点P(x ,y )在曲线 Γ上，故有Ax2+Cy20 0 0 0 0 0 0 0 0+
2Dx0+ 2Ey0+F = 0，从中解出Ax2 20+Cy0，然后代入前式可得曲线 Γ在P点处的切线 l的方
程为Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0．
根据代数定义，此方程恰为点P(x0,y0)的极线方程．
·72·
设过点P所作的两条切线的切点分别为M（x1，y1），N (x2，y2)，如图 2，则由 (1)知，在点
M，N 处的切线方程分别为Ax1x+Cy1y+D(x1+ x) +E(y1+ y) +F = 0和Ax2x+Cy2y 小 课 堂
+D(x2+ x) +E(y2+ y) +F = 0，又点P在切线上，所以有
Ax0x1+Cy0y1+D(x0+ x1) +E(y0+ y1) +F = 0，
Ax0x2+Cy0y2+D(x0+ x2) +E(y0+ y2) +F = 0，
观察这两个式子，可发现点M（x1，y1），N (x2，y2)都在直线Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E
(y0+ y) +F = 0上，又两点确定一条直线，故切点弦MN 所在的直线方程为Ax0x+Cy0y
+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0．根据代数定义，此方程恰为点P对应的极线方程．
Q P y
l
T M
A Q
P Q
S l O F x
B N
图 3 图 4 图 5
设曲线 Γ经过P(x0,y0)点的弦的两端分别为 S（x1，y1），T(x2，y2),如图 3，则由 (1)知，曲
线在这两处的切线方程Ax1x+Cy1y+D(x1+ x) +E(y1+ y) +F = 0，Ax2x+Cy2y+D
(x2+ x) +E(y2+ y) +F = 0，
设两切线的交点为Q(m，n)，则有Ax1m+Cy1n+D(x1+m) +E(y1+n) +F = 0，
Ax2m+Cy2n+D(x2+m) +E(y2+n) +F = 0，
观察这两个式子，可发现点 S（x1，y1），T(x2，y2)都在直线Axm+Cyn+D(x+m) +E
(y+ n) + F = 0上，又两点确定一条直线，故直线 ST的方程为Ax1m+Cy1n+D(x1+
m) +E(y1+ n) +F = 0．又直线 ST过点P(x0,y0)，所以Ax0m+Cy0n+D(x0+m) +E
(y0+n) +F = 0.这意味着点Q(m，n)在直线Ax0m+Cy0n+D(x0+m) +E(y0+n) +F
= 0．
所以，两切线的交点的轨迹方程式Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0．
根据上述几何定义个性质可知，当曲线为圆或椭圆时，若极点在曲线外，则极线与曲线相
交有两个共同点；若极点在曲线内，则极线与曲线相离没有公共点；若极线与曲线相交，
则极点在曲线外；若极线与曲线相离，则极点在曲线内．
若过极线 l上一点Q可作Γ的两条切线，M，N 为切点，则直线MN 必过极点P．
定理 2(配极原则 )点P关于圆锥曲线 Γ的极线 p过点Q 点Q关于 Γ的极线 q经过点
P;
直线 p关于Γ的极点P在直线 q上 直线 q关于Γ的极点Q在直线 p．
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线．
定理 3 如图 4，设点P关于圆锥曲线 Γ的极线为 l，过点P任作一割线交 Γ于A，B两点，
交 l于点Q，则 P A = Q A PB QB ①．反之，若①式成立，则称点P，Q调和分割线段AB，或称
点P与点Q关于Γ调和共轭．
点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线就是点P的极线．
定理 2和定理 3的证明，在高等解析几何教材中都能找到，在此均省略．
定理 4 :如图 5，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为 l．
若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M ,N 两点，则Γ在M ,N 两点处的切线的交点
Q在准线 l上，且FQ⊥MN ;
若过准线 l上一点Q作圆锥曲线 Γ的两条切线，切点分别为M ,N，则直线MN 过焦
点F，且FQ⊥MN；
·73·
若过焦点 F的直线与圆锥曲线 Γ相交于M ,N 两点，过 F作 FQ⊥MN 交准线 l于Q，
小 课 堂
则连线QM ,QN 是圆锥曲线Γ的两条切线．
注意：极点与极线一般在小题中直接用很爽，但是在大题中，由于不在中学的课本范围内，基
本上都无法直接使用，那么解答题中我们只给出思路，很多书写过程还是参考之后提到的切
线部分的阿基米德三角形写法，曲线系写法或者定比点差写法．
附：定比点差法原理

定比分点：若 AM = λMB，则称点M 为 AB的定比分点，若 A(x1,y1),B(x2,y2)，则M :
x 1+ λx 2 y + λy, 1 21+ λ 1+ λ

若AM = λMB且AN =-λNB，则称M，N 调和分割A，B，根据定义，那么A，B也调和分割
M，N .

定理：在椭圆或双曲线中，设A，B为椭圆或双曲线上的两点。若存在 P，Q两点，满足AP
x x y y
= λPB AQ= λQB P Q P Q， ，一定有 ± = 1
a2 b2
y + λy
证明：若A(x1,y1),B(
x + λx
x ,y )， AP= λPB，则P : 1 2 , 1 22 2 1+ λ 1+ λ
x2 y2
1 1
x 1 λx 2 y λy
± = 1 ①
AQ= λQB Q : , 1 2 a
2 b2
则 1 λ 1 λ ，有 2 2 2 2 ①—②得：
λ x 2 ± λ y 2 2
a2 b2
= λ ②
(x 1+ λx 2) ( x1 λ x2 ) (y 1+ λy ) (± 2
y1 λ y2 ) = 2 1 x 1+ λx 2 x 1 λx 2 1
y1 +1 λ 即 ±
λy 2
a2 b2 a2 1+ λ 1 λ b2 1+ λ
y 1
λy 2 x x= 1 P Q ±
yP y Q
1 λ 2 2 = 1a b
附：圆锥曲线斜率和与积问题平移构造齐次式
2 y2
已知点P(x0,y0)是椭圆
x + 2 2 = 1(a> b> 0)上的定点，A,B是椭圆上的两个动点。a b
x b2
(1)若直线 k 0 PA+ kPB= λ，则直线AB过定点；当 λ= 0时，kAB为定值 2 ；y0a
2 y
(2)若 kPA kPB= λ，则直线AB过定点；当 λ= b2 时，kAB为定值
0 ；
a x0

(x + x
2
0) (y + y 0)
2
证明 将椭圆C按向量PO x , y 平移得椭圆C : + 0 0 2 2 = 1a b
2 2 2 y2
又点P x0,
y x
y0 在椭圆
x - 0 0
a2 b2
= 1上，所以 2 + 2 = 1，a b
代入上式得 x
2 2 2y
2 +
y + 2 x 02 x+
0 y= 0 ①。
a b a2 b2
椭圆C上的定点P x0,y0 和动点A,B分别对应椭圆C 上的定点O和动点A ,B ，设直线
x2 y2 + = + + 2 x 0
2y
AB 的方程为mx ny 1，代入①得 2 2 2 x+
0
2 y mx+ny = 0。a b a b
当 x≠ 0时，两边除以 x2得．
1 + 2 y0 n y
2
2y m+ ( 2x 0 n + 0 ) y + 1 + 2 x 0m = 0，因为点A 2 2 2 2 x 2 ,B 的坐标满足这个方程，b x a b a
y
所以 kOA ,kOB 是这个关于 x 的方程的两个根．
(1)若 kPA+ kPB= λ，由平移性质知 kOA + kOB = λ，
2 2
所以 k + k =
2 b x 0n 2 a y 0m
OA OB 2 = λ，当 λ= 0时，所以-2b
2x0n- 2a2ya 1+ 2y n 0
m= 0，
0
·74·
m x 2 2 2由此得 k = = 0b x b x bA'B' n 2 。所以AB的斜率为定值
0
2 ，kAB为定值
0 ；
y0a y0a y
2
0a 小 课 堂
2
即-2b2 2 2 2
2y 2b x
x 0 00n- 2a y0m= λa + 2a λy0n ∴- λ m- - 2y n= 1，λa2 0
2y 2
由此知点 0 ， 2 b x 0λ 2 2y0 在直线A B :mx+ny= 1上，λa
2y 2b2x
从而直线AB过定点 x0 0λ ， 02 y0 ．λa
b
2 1+ 2x m
若 kPA k
0
PB= λ，由平移性质知 kOA kOB = λ，所以 kOA kOB = = λ，a2 1+ 2y0n
若 λ= b
2 1 + 2 x 2，则 0m
y
2 1+ 2y n = 1 k=-
m
n =-
0
x ；当 λ≠
b 时，
a 0 0 a2
2b2 2
即 b2+ 2b2x m= λa2 x
-2a y
+ 2a2λy n，∴ 0 0
λ
0 0 λa2- b2m+ n= 1，λa2- b2
2
2 b x
2
由此知点 0
2 a y0 λ
2 2 ,

λa b λa2 2 在直线AB :mx+ny= 1上，b
从而直线AB过定点 λa
2 + b 2 x , λa
2 + b 2 y
λa2 b2 0 λa2 b2 0
双曲线斜率和与积的问题一般式推广(知道即可，方法和椭圆一样)
2 2
已知点P( yx0,y )是双曲线 x - 0 2 2 = 1(a> 0,b> 0)上的定点，A,B是椭圆上的两个动点。a b
2y 2x b2
(3)若 kPA+ kPB= λ，则直线AB过定点 x 0 , y + 0 0 λ 0 λa2 ；
2
当 λ= 0时，k 为定值 x 0b AB y 20a
2 2
(4)若 k k = λ，则直线AB过定点 λa b x , λa
2 b 2
PA PB λa2+ b2 0 λa2+ b2 y0 ；
b2 y当 λ= 0
a2
时，kAB为定值 x0
抛物线斜率和与积的问题一般式推广
已知点P(x0,y0)是抛物线 y2= 2px上的一个定点，A,B是抛物线上的两个动点。
2y 2p
(1)若 kPA+ kPB= λ，则直线AB过定点 x 0 , y + 0 λ 0 λ ；
当 λ= 0时，kAB为定值
p
y ；0
2p
(2)若 kPA kPB= λ，则直线AB过定点 x0 λ , y0 ；
附：圆锥曲线统一的极坐标方程
一、极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距 p和离心率 e来表示常量，以极径 ρ和极角 θ来表示变量 .
ρ≥ 0，θ∈ [0,360o)
以焦点F(0,θ)为极点 (原点O)，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双
曲线的实轴为极轴的建立极坐标系 . 故准线是到极点距离为准
焦距 p、且垂直于极轴的直线 L.
极坐标系与直角坐标系的换算关系是：
ρ= x2+ y2 y，θ= arctan x
或者：x= ρcosθ，y= ρsinθ
特别注意：极坐标系中，以焦点为极点 (原点 )，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准
方程 .
·75·
如图，O为极点，L为准线，则依据定义，到定点 (极点 )和到定直线 (准线 )的距离之比为
小 课 堂
定值 (定值 e)的点的轨迹为圆锥曲线 .
所以，对极坐标系，请记住：
⑴ 极坐标系的极点O是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；
⑵ 曲线上的点P(ρ,θ)到焦点F的距离是 ρ，到准线的距离是 p+ ρcosθ，
根据定义：e= ρ p+ ρcosθ 即：ep+ eρcosθ= ρ，
ep
即：ep= ρ- eρcosθ， 即：ρ= 1- ecosθ ①
这就是极坐标下，圆锥曲线的通式 .
⑶对应不同的 e，呈现不同的曲线 .对双曲线，只是右边的一支；
对抛物线，开口向右 .
二、极轴旋转 180o
将极轴旋转 180o，α和 θ分别对应变换前后的极角，
即转角为 θ= α+ 180o，
ep ep
则极坐标方程变换前方程为：ρ= 1- ecosα ,变换后方程为： ρ=

1+ ecosθ ②
此时的极坐标系下，此时有：
⑴ 极坐标系的极点O是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；
⑵ 对应不同的 e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.
三、极轴旋转 90o
⑴将极轴顺时针旋转 90o，即：θ= α+ 90o，则情况如图.
= e p圆锥曲线的方程为：ρ 1- esinθ ③
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在 y轴的情况，且极点O对应于椭圆下
方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是 y轴上边的一支；对抛物线，开口向上.
⑵如果将极轴逆时针旋转 90o，即：θ= α- 90o，则情况如图.
圆锥曲线的方程为：ρ= e p 1+ esinα 4
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在 y轴的情况，且对应于椭圆上方的焦
点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是 y轴下边的一支；对抛物线，开口向下.
四、坐标变换
ep
⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：ρ= 1- ecosθ ①
即：ρ- eρcosθ= ep，即：ρ= ep+ eρcosθ
即：ρ2= (ep+ eρcosθ)2= e2p2+ e2(ρcosθ)2+ 2e2p(ρcosθ) ②
将 ρ2= x2+ y2，ρcosθ= x代入②式得：
x2+ y2= e2p2+ e2x2+ 2e2px 即：(1- e2)x2- 2e2px+ y2= e2p2 ③
当 e≠ 1时
( - 2) [ 2- e
2p e2p 2
有：1 e x 2 x+ ( )2]+ y2= e2p2+ (1- e2) ( e p )2
1- e2 1- e2 1- e2
2 2 2 2
即：(1- e2) (x- e p 2 2 2 2 e e p
1- e2 ) + y = e p (1+ )=1- e2 1- e2
e2(x- p 2 )2 y2
即： 1- e + 2 2 2 2 = 1 ④
e p e p
(1- e2)2 1- e2
·76·
< 2= e
2
p
2 2 2 2
⑴当 e 1时，令 a e，b2= p ，c= e p (1- e2)2 1- e2 1- e2
小 课 堂
2 2 2 2 2 2 4
2- 2= e p - e p = e p [ e p
2
则：a b ( - 2)2 - 2 ( - 2)2 1- (1- e
2)]=
1 e 1 e 1 e (1- e2)2
e2p 4 2
而：c2= ( )2= e p = a2- 2 ( - 2)2 - b
2
1 e 1 e
(x- c)2 y2
代入④式得： + = 1 ⑤
a2 b2
这是标准的椭圆方程.
e2p2 e2p2 e2
⑵当 e> 1时，令 a2= ( ，b
2= p
e2- 1)2 e2- ，c=1 e2- 1
e2p2 e2 2 2 2 4 2
则：a2+ b2= + p = e p ( 2- )2 2- ( 2- )2 [1+ (
2- )]= ee 1 p
e 1 e 1 e 1 (e2- 1)2
2 4 2
而：c2= ( e p )2= e p = a2+ b2
e2- 1 (e2- 1)2
(x + c)
2 y2
代入④式得： - = 1 ⑥
a2 b2
这是标准的双曲线方程.
⑶当 e= 1时，由③式 (1- e2)x2- 2e2px+ y2= e2p2得：-2px+ y2= p2
2= + 2= ( + p即：y 2px p 2p x 2 )
即：y2= 2p(x+ p2 ) ⑦
这是标准的抛物线方程.
·77·