全等三角形（1）
一．知识点：
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
含义：形状相同，大小相等.
2．符号：“≌”
3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点
4．全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等.
二．例题：如图，≌，，求的度数.
三．练习：
1．如图，≌，并且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，≌，和，和分别是对应顶点，若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．以上都不对
3．如图，沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论错误的事（ ）
A．≌ B． C． D．
4．在中，，与全等的三角形有一个角为，则中与这个角对应相等的角是（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，沿边所在直线向右平移线段的长后与重合，则
≌ ；相等的边有 ，相等的角有 .
6．如图，若≌，且，，则= .
7．≌，且，，，则的周长为 .
8．已知≌，，，若的周长为偶数，则= .
9．如图，≌，且、、、在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由.
10．如图，已知≌，求证：
--1--
四．强化练习：
1.如图，≌，与，与是对应边，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，≌，和，和分别为对应顶点，若，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．不确定
3.如图，≌，则与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，是上的点，≌，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，≌，，.
求证：
6.如图，≌，、、在同一条直线上，且，，.
求的长和的度数.
7.如图，长方形沿折叠，使得点落在边上的点处，且.
求的度数.
8.如图，点、、、在同一条直线上，≌.
⑴判断与的位置关系，并说明理由；
⑵判断与的数量关系，并说明理由.
9. 如图，≌，，，试判断的形状，并说明理由.
--2--
全等三角形（2）
一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，小龙用四根木条钉了一个四边形，其中木条，.小龙发现拉动、两点，和的大小发生变化，但和一直相等.你认为小龙的发现正确吗？说明理由.
三．练习：
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等.
2．如图，在中，，为的中点，则下列结论中：①≌；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，若，，根据 可得≌.
4．请你以下面提供的、、三条线段画一个三角形.
5．如图，点、、、在同一直线上，，，.
求证：
6．在中，，、分别为、上的点，且，，.
求证：
7．如图，点、、、在同一直线上，，，
求证：
--3--
四．强化练习：
1．如图，，，，，则的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．104°
2．如图，线段与交于点，且，，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．在和中，已知，，则补充条件____________，可得到≌．
4．如图，，，、是上两点，且．欲证，可先运用等式的性质证明=________，再用“”证明________≌_________得到结论．
5．如图，在四边形中，，.
求证：①；②．
6．如图，已知，，求证：．
7．如图，与交于点，，、是上两点，且，．
求证：⑴；⑵
8.如图，已知，．求证：．
--4--
全等三角形（3）
一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，是中边的中点，，且.
求证：⑴≌ ⑵
三．练习：
1．如图，下列条件中能使≌的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，线段、互相平分交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，.
求证：≌
4．点、、、在同一直线上，，且.
求证：⑴≌ ⑵
5．如图，于，于，，.
求证：
6．如图，和都是等边三角形，连接、交于.
求证：⑴ ⑵
--5--
四．强化练习：
1.如图，于点，且，，则的周长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
2.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（ ）
A．能作唯一的一个三角形 B．最多能作两个三角形
C．不能作出确定的三角形 D．以上说法都不对
3.如图，已知，，要使≌，下面所添的条件正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在中，，点、是中线上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（ ）
A． 3对 B．4对 C．5对 D．6对
5.如图，点、、、在同一直线上，，，.
⑴求证：≌
⑵你还可以得到的结论是 （写出一个即可）
6.如图，是和的平分线，，.
求证：
7.如图，已知、是线段上的两点，且，，.
求证：
8.如图1，的顶点在的边上（不与、重合），且，，，点为的中点，直线交直线于点.
⑴猜想与的关系，并加以证明；
⑵当绕点旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）
--6--
全等三角形（4）
一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“”
全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
或：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，，，
求证：
三．练习：
1．如图，和中，下列能判定≌的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
3．如图，，，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，于，于，平分，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，，，若想使≌，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.
6．如图，已知，
求证：
--7--
四．强化练习：
1．已知，，，则≌的根据是（ ）
A． B． C． D．
2．和中，，，要使≌ ，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平分，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，已知，欲证明≌，可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）
5．如图，，，，欲得到，可先利用_______，证明≌，得到______=______，再根据___________证明________≌________，即可得到．
6．如图，平分和，欲证明，可先利用___________，证明≌，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到.
7．如图，，，.
求证：≌．
8．已知≌，和分别是和边上的高，和相等吗？为什么？
9．如图，已知，，那么，你知道这是为什么吗？
10．已知如图，于点，于点，、交于点，且平分.
⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）
⑵小明说：欲证，可先证明≌得到，再证明≌得到，然后利用等式的性质即可得到，请问他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．
⑶要得到，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．
--8--
全等三角形（5）
一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写为“斜边、直角边”或“”
几何符号语言：∵
∴在和中
∵ ∴≌
二．例题：如图，于，于，且
求证：
三．练习：
1．下列命题中正确的有（ ）
①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．如图，和中，，，点、、、在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，于，于，图中全等三角形的组数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，于，于，，.
求证：
5．如图，点、、、在同一条直线上，，，，且
求证：
6．在中，，，是过点的一条直线，且于，于.
⑴当直线处于如图1的位置时，猜想、、之间的数量关系，并证明.
⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；
⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达、、之间的数量关系.
--9--
四．强化练习：
1．在下列所给的四组条件中，不能判定≌ (其中)的是( )
A．， B．，
C. ， D. ，
2.使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
3.如图，在中，于点，于点，、交于点，已知，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，已知，欲说明，可补充条件 .（填写一个即可）
5.如图，、、、在同一条直线上，，，且，，则与的位置关系为 .
6.如图，，于.
求证：平分，
7.如图，，，于，于.
求证：
8.如图，在和中，、分别是高，并且，，.
求证：≌
9.如图，、、、在同一条直线上，于，于，，.
探究与的关系，并说明理由.
--10--
全等三角形（6）
一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .
二．全等三角形的判定：
1.判定两个三角形全等的方法有：
⑴________________________________________的两个三角形全等()．
⑵________________________________________的两个三角形全等()．
⑶________________________________________的两个三角形全等()．
⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS)．
2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等()．
三．例题：
1.如图已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是( )．
A.甲和乙 B．乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
2.如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①，②，③，④．
3.如图，，，.
猜想线段、的关系，并说明理由.
4. 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：
⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形；
⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．
--11--
四．练习：
1．下列给出的四组条件中，能判定≌的是（ ）
A．，, B．,,
C．,, D．, , 周长＝周长
2．若≌，且的周长为20，，，则长为（ ）
A．５ B．８ C．７ D．５或８
3．如图,在上，在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定≌的是( )
A． B． C． D．
4．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的理由是( )
A．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边
5．在和中，，，，，且，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B.一定全等
C.不一定全等 D.以上都不对
6.如图，若≌，则等于（ ）
A.30° B.50° C.60° D.100°
7. 已知，，，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.
8.如图，给出五个等量关系：① ② ③ ④ ⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
9.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由．
--12--
全等三角形（7）
一．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
（证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法）
几何符号语言：∵
∴
二．例题：如图，平分，于，于，为上一点，连接、.
求证：⑴ ⑵=
三．练习：
1．如图，于，于，平分，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在中，，平分，，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．如上图，在中，，，平分，于，且，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，平分，交延长线于，于，且.
求证：
5．如图，平分，于，于，连接交于.
求证：
6．如图，，于，于.
⑴求证：在的平分线上；
⑵若将⑴的条件“”和结论“在的平分线上”互换，成立吗？说明理由.
--13--
四．强化练习：
1．如图所示，，，，垂足分别为，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在中，，是的角平分线，，，垂足分别是，，则下列四个结论：①上任意一点到，的距离相等；②上任意一点到，的距离相等；③，；④.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，，，，为的平分线，于点，则的周长为（ ）
A．2 B． C． D．无法计算
4．中，，平分，已知，，则点到的距离为_______．
5．如图，于，于点，若想得到，只需添加一个条件，这个条件是__________．
6．如图，，平分，于，于，则的度数为________．
7．如图所示，是的平分线，于，于，且，那么与相等吗？为什么？
8.如图所示，，是中点，平分，判断是否平分，说明理由．
9．如图所示，已知，，且，是上一点，由以上条件可以得到吗？为什么？
--14--
全等三角形（8）
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）
几何符号语言：∵
∴点在的平分线上.
注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等.
二．例题：如图，在四边形中，，平分交于，且，求证：平分
三．练习：
1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条角中线的交点
C．三条角高线的交点 D．三条中垂线的交点
2．如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（ ）
A．不平分 B．平分 C．平分 D．
3．如图，的三边、、的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则 .
4．如图，在四边形中，，平分交于，且平分 ，求证：
5．如图，在直线上求一点，使得点到射线和的距离相等.
6．如图，在中，，点为三条角平分线的交点，于，于，于，且，，，求的长.
--15--
四．强化练习：
1.在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 .
2.的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为 .
3.如图，，是的角平分线，，，则点到的距离为 .
4.如图，， 于，于，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点
C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点
6.如图，中，，，平分交于，于，且，则的周长为（ ）
A.4 B.6 C.10 D.不能确定
7.如图，，为的角平分线，，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是的平分线，于，于，且.
求证：
9.已知，如图为的平分线，，点在上，于，于.
求证：
10.如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等.
求证：平分
--16--
《全等三角形》单元检测（1）
一．选择题（本题8小题，每题3分，计24分）
1．①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④有两边对应相等的两个三角形全等．上述命题中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C． 2个 D．1个
2．在和中，，，补充条件后仍不一定能保证≌，则补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，，图中全等三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．如图，于，于，若，且，则的度数是（ ）
A．15o B．30o C．60o D．90o
6．如图，中，，，平分，交于，于，且， 则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．以上都不对
7．≌，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
8．根据下列已知条件，能惟一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
二．填空题（本题8小题，每题3分，计24分）
9．已知≌，若，，，，则的度数为 ．
10．已知≌，，的面积为，则边上的高的长是 ．
11．如图，，, 那么需要补充一个直接条件 （写出一个即可），才能使≌．
12．如图，在中，，，，，则的度数为 ．
13．如图，，，，，，则的度数为 ．
14．如图所示的长方体中，和的关系是________．（填“全等”或“不全等”）
15．已知≌，点、、的坐标分别为（，），（，2），（1，0），若点的坐标为（1，1），请你写出一组符合要求的点、的坐标_____________．
16. 如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则＝___________度．
--17--
三．解答题 （本题有6小题，每题9分，计54分）
17．如图，，，、的延长线相交于点，于点，于点．
⑴请你写出图中4组相等线段（已知的相等线段除外）；
⑵选择⑴中你写出的一组相等线段，说明它们相等的理由．
18．如图，已知，，.
求证：
19．如图，线段、、相交于点，，.
求证：
20．如图，和均为等边三角形，求证：
21．如图，已知：，垂足是的中点，.
求证：
--18--
22．右图的花环状图案中,和都是正六边形.
⑴求证:；⑵ 找出一对全等的三角形并给予证明.
四．解答题（本题有4小题，每题12分，计48分）
23．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．请同学用数学知识对这一做法的道理加以说明．
24．如图，、两点是湖两岸上的两点，为测、两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出、两点的距离，并说明你的方案的可行性．
--19--
25．如图，图1等腰与等腰共点于，且，连结、，若、．
⑴求证：；
⑵若将等腰绕点旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，与还相等吗？为什么? （请你用图2加以证明）
26．如图1，四边形中，，，，．
⑴求证：；
⑵当、相向运动，形成图2时，和还相等吗？请证明你的结论．
--20—
《全等三角形》第一轮能力训练卷
1．如图，中，，，直线经过点，，.
求证：
2．如图，中，，，直线经过点，且经过内部，，.试判断、、三者的数量关系.
3．如图，在平面直角坐标系中，，，，（3，0），（0，4）.
求点的坐标.
4．如图，等腰直角的直角边，点、分别从、两点同时出发，以相同的速度作直线运动，已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，与直线相交于点，设的长为，的面积为.
⑴求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）
⑵作于，当点、运动时，线段的长度是否改变？说明理由.
5．在上题中，连接，求证：
--1--
6．如图1，在等腰直角中，，为的中点，为上一动点，在上，且满足，于.
⑴求证：
⑵如图2，点在的延长线上，其他条件不变，⑴中的结论是否成立？
⑶在图3中画出当点在延长线上的情况，并给出相应的证明；
⑷还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.
7．如图1，中，，点、是线段上两动点，且，于
，交于点，直线交直线于.
⑴判断的形状，并说明理由.
⑵如图2，若点、是直线上两动点，其他条件不变，判断的形状，并说明理由.
--2--
8．如左图，中，，，一个直角三角板的直角顶点放在的中点处，绕点旋转，两直角边分别交于，交于.
⑴求证： ，
⑵如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交延长线于，交延长线于.⑴中的结论是否正确？说明理由.
9．如图，线段，点在的下方，
⑴若，在的上方作，且，作，且，连接，取的中点，连接，试判断的形状并证明。
⑵若与不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。
10．⑴如图1，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、、在同一条直线上，判断与的关系并加以证明.
⑵如图2，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、、不在同一条直线上.判断与的关系并加以证明.
--3--
11．如图，与中，，，.与交于点.
⑴判断与的数量关系并加以证明.
⑵猜想与的关系并加以证明.
12．如图，在中，是边上的中线，平分交于，于，分别交、于、.
猜想与的数量关系并证明.
13．如图1，锐角中，，，为边上一点，为直线上一点，连接、，使得.
⑴猜想线段与的数量关系并证明；
⑵如图2，若将“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，⑴中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由.
--4--
14．如图，中，，，为边上一点，为射线上一点，且满足
请你在图中找出满足条件的点，并探究与的关系.
15．如图所示，D在AC上，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。
（1）探究：线段MD、MB的关系，并加以证明；
（2）把△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是否成立？
（3）将△ADE绕点A逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。
--5--
第22章 全等三角形
一、选择题
1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）.
A． B． 4 C． D．
【答案】B
2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）．
A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE
【答案】C
3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
【答案】B
4. （2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
第7题图
【答案】D
5. （2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（▲）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA
【答案】B
6. （2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
第7题图
【答案】D
7. （2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（ ）．
(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；
(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．
【答案】D
8. （2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）.
A． B． 4 C． D．
【答案】B
9.
10．
二、填空题
1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）
【答案】①②③
2. （2011广东湛江19,4分）如图，点在同一直线上, ,,
（填“是”或“不是”） 的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．
【答案】
3.
4.
5.
三、解答题
1. （2011广东东莞，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC
证明：在△ABC与△DCB中
（∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC）
∴△ABC≌△DCB
∴AB=DC
3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在AC，AB上．
(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；
(2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．
【答案】(1) 连结BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB．
∴ △DBC≌△ECB （SSS）
∴ ∠DBC =∠ECB
∴ AB=AC
(2) 逆， 假；
4. （2011浙江台州，19,8分）如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.
【答案】证明： ∵ □ABCD
∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD
∴ ∠EAF=∠HCG ∠E=∠H
∵ AE=AB，CH=CD
∴ AE=CH
∴△AEF≌△CHG.
5. （2011四川重庆，19，6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ，
AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．
6. （2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【答案】解：全等 .理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.
7. （2011广东汕头，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
8. （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数.
【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
9. （2011福建福州，17（1），8分）如图6,于点,于点,交于点,且.
求证.
【答案】(1)证明:∵,
∴
在和中
∴≌
∴
10．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案】BE=EC，BE⊥EC
∵AC=2AB，点D是AC的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°
∴∠EAB=∠EDC=135°
∵EA=ED
∴△EAB≌△EDC
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC
∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC，BE⊥EC
11. （2011广东省，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
12. （2011湖北武汉市，19，6分）（本题满分6分）如图，D，E，分?别?是?AB，AC?上?的?点?，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
【答案】证明：在△ABE和△ACD中，
AB＝AC ∠A＝∠A AE＝AD
??? ?∴△ABE≌△ACD
???? ∴∠B=∠C
13. （2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
【证明】∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．
14. (20011江苏镇江,22,5分)已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.
求证:AB=AC
【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C,
又∠E=∠B, ∴∠B =∠C, ∴AB=AC.
15. （2011湖北宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
(1)证明：∠DFA = ∠FAB；
(2)证明: △ABE≌△FCE.
（第18题图）
【答案】证明：（1）∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，（1分）∴∠F=∠FAB．（3分）（2）在△ABE和△FCE中， ∠FAB=∠F （4分）∵ ∠AEB=∠FEC （5分）BE=CE （6分）∴ △ABE≌△FCE．（7分）
全等三角形
1．如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝____．
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去 块.
3．如图，已知AE∥BF, ∠E＝∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________.
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AB＝15，则△BDE的周长为
5.（例题）已知如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离AM为a米，此时梯子的斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离BN为b米，梯子的斜角为45°，求房间的宽度AB.
6.（例题）如图所示，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△ADF的内切圆半径为 ．
7.如图，OA＝OB,OC＝OD，∠ O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于 .
8. 如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是_________．
9、如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于E，且四边形ABCD的面积为8，则BE长为 .
10、点D是△ABC的BC边上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.
求证：AC＝2AE.
11、如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
12、如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答一下问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.
八年级数学第十一章《全等三角形》单元考试试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（ ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
2．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC
4．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝ （ ）
A.150° B.40° C.80° D.90°
5．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等
6．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（ ）
A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC
第6题图 第7题图
7．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）
A.25° B.27° C.30° D.45°
8．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则（ ）
A. AF＝2BF B.AF＝BF C.AF＞BF D.AF＜BF
第8题图 第9题图 第10题图
10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，则的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°
二、填空题（每题3分，共15分）
11．能够____ 的两个图形叫做全等图形．
12．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
13．如图，△ABC≌△ADE，则，AB = ，∠E = ∠ ．
若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= ．
14．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
15．△ABC中，∠ C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB的距离是________．
三、解答题(共55分)
16．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．
证明： ∵AD平分∠BAC
∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∵
∴△ABD≌△ACD（ ）
17．（8分）已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（要求写出作法，并保留作图痕迹，写出结论）
18．（8分）已知： BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：△BEC≌△DAE
19．（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
20．（8分）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
21．（8分）已知：如图，AB=AC，BD(AC，CE(AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
22．（8分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．
育才苑2011年度八年级数学第十一章单元考试试卷参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．D 7．B 8．D 9．B 10．C
二、填空题
11．完全重合 12．3 13．AD C 80° 14．5 15．4cm
三、解答题
16．BAD CAD AB＝AC ∠BAD＝∠CAD AD＝AD SAS
17．作∠BOA的平分线交MN于P点，就是所求做的点。
18．HL
19．SSS
20．ASA
21．证△ADB≌△ACE ，然后用线段的和差
22．△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积和，DE＝DF，求得DE为2㎝。
备战2012中考：全等三角形精华试题汇编（500套）
一、选择题
1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）.
A． B． 4 C． D．
【答案】B
2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）．
A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE
【答案】C
3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
【答案】B
4. （2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
第7题图
【答案】D
5. （2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（▲）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA
【答案】B
6. （2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
第7题图
【答案】D
7. （2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（ ）．
(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；
(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．
【答案】D
8. （2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）.
A． B． 4 C． D．
【答案】B
9.
10．
二、填空题
1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）
【答案】①②③
2. （2011广东湛江19,4分）如图，点在同一直线上, ,,
（填“是”或“不是”） 的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．
【答案】
3.
4.
5.
三、解答题
1. （2011广东东莞，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC
证明：在△ABC与△DCB中
（∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC）
∴△ABC≌△DCB
∴AB=DC
3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在AC，AB上．
(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；
(2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．
【答案】(1) 连结BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB．
∴ △DBC≌△ECB （SSS）
∴ ∠DBC =∠ECB
∴ AB=AC
(2) 逆， 假；
4. （2011浙江台州，19,8分）如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.
【答案】证明： ∵ □ABCD
∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD
∴ ∠EAF=∠HCG ∠E=∠H
∵ AE=AB，CH=CD
∴ AE=CH
∴ △AEF≌△CHG.
5. （2011四川重庆，19，6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ，
AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．
6. （2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【答案】解：全等 .理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.
7. （2011广东汕头，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
8. （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数.
【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
9. （2011福建福州，17（1），8分）如图6,于点,于点,交于点,且.
求证.
【答案】(1)证明:∵,
∴
在和中
∴≌
∴
10．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案】BE=EC，BE⊥EC
∵AC=2AB，点D是AC的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°
∴∠EAB=∠EDC=135°
∵EA=ED
∴△EAB≌△EDC
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC
∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC，BE⊥EC
11. （2011广东省，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
12. （2011湖北武汉市，19，6分）（本题满分6分）如图，D，E，分?别?是?AB，AC?上?的?点?，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
【答案】证明：在△ABE和△ACD中，
AB＝AC ∠A＝∠A AE＝AD
??? ?∴△ABE≌△ACD
???? ∴∠B=∠C
13. （2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
【证明】∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．
14. (20011江苏镇江,22,5分)已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.
求证:AB=AC
【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C,
又∠E=∠B, ∴∠B =∠C, ∴AB=AC.
15. （2011湖北宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
(1)证明：∠DFA = ∠FAB；
(2)证明: △ABE≌△FCE.
（第18题图）
【答案】证明：（1）∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，（1分）∴∠F=∠FAB．（3分）（2）在△ABE和△FCE中， ∠FAB=∠F （4分）∵ ∠AEB=∠FEC （5分）BE=CE （6分）∴ △ABE≌△FCE．（7分）
一、选择题
1．（2010四川凉山）如图所示，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
2．（2010四川 巴中）如图2 所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件
不能是（ )
A．∠B ＝∠C B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D. DC = BE
【答案】D
3.（2010广西南宁）如图2所示，在中，,平分，
交于点,且,则点到的距离是：
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】A
4．（2010广西柳州）如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
5．（2010贵州铜仁）如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
二、填空题
1．（2010 天津）如图，已知，，点A、D、B、F在一
条直线上，要使△≌△，还需添加一个条件，
这个条件可以是 ．
【答案】（答案不惟一，也可以是或）2．（2010 广西钦州市）如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，
使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_ ▲ _（只填一个）．
【答案】AC =BD或∠CBA＝∠DAB
三、解答题
1．(2010江苏苏州) (本题满分6分)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠D=50°，求∠B的度数．
【答案】
2．（2010江苏南通）（本小题满分8分）
如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．
能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
【答案】解：由上面两条件不能证明AB//ED.有两种添加方法.
第一种：FB=CE，AC=DF添加 ①AB=ED
证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=EF，AB=ED，所以ABCDEF
所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED
第二种：FB=CE，AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE
证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又∠ACB=∠DFE AC=EF，所以ABCDEF
所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED
3．（2010浙江金华）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
（1）你添加的条件是： ▲ ；
（2）证明：
【答案】 解：（1）(或点D是线段BC的中点)，，中
任选一个即可﹒
（2）以为例进行证明：
∵CF∥BE，
∴∠FCD﹦∠EBD．
又∵，∠FDC﹦∠EDB，
∴△BDE≌△CDF．
4．（2010福建福州）(每小题7分，共14分)
（1）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：△ABC≌△DEF．
(第17(1)题)
【答案】证明：∵ AB∥DE． ∴ ∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF．
5．（2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分
别为E、F．求证：BF=CE．
【答案】∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC ＝∠DFB＝90°
又∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD， 且∠EDC ＝∠FDB（对顶角相等）
∴所以△BFD≌△CDE（AAS），∴BF=CE．
6．（2010福建宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.
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【答案】解法一：添加条件：AE＝AF，
证明：在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）.
解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA
∴△AED≌△AFD（ASA）.
7．（2010湖北武汉）如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF
【答案】证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF
∵AC∥DF， ∴∠ABC=∠DEF
∵BF=CE，∴BC=EF
∴△ABC≌△DEF
∴AC=DF
8．（2010江苏淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,
求证：AE=BD．
题20图
【答案】证明：
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD.
9．（2010北京）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求证：∠ACE=∠DBF．
【答案】证明：∵AB=DC
∴AC=DB
∵EA⊥AD，FD⊥AD
∴∠A=∠D=90°
在△EAC与△FDB中
∴△EAC≌△FDB
∴∠ACE=∠DBF．
10．（2010云南楚雄）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF.
请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】解：BC∥EF．理由如下：∵AE＝DB ，∴AE＋BE＝DB＋BE，∴AD＝DE.∵AC∥DF， ∴∠A＝∠D，∵AC＝DF， ∴△ACB≌△DFE，∴∠FED＝∠CBA，∴BC∥EF．
11．（2010云南昆明）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC = FD，AB = EF.
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.
【答案】（1）∠B = ∠F 或 AB∥EF 或 AC = ED.
（2）证明：当∠B = ∠F时
在△ABC和△EFD中
∴△ABC≌△EFD (SAS)
12．（2010四川 泸州）如图4，已知AC∥DF，且BE=CF.
（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是 ；
（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.
【答案】（１）添加的条件是AC＝DF（或AB∥DE、∠B＝∠DEF、∠A＝∠D）（有一个即可）
（２）证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE=CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF.
13．（2010 甘肃）（8分）如图，.
（1）要使，可以添加的条件为： 或 ；（写出2个符合题意的条件即可）
（2）请选择(1)中你所添加的一个条件，证明.
【答案】解：（1）答案不唯一. 如
，或，或，或. ……4分
说明：2空全填对者，给4分；只填1空且对者，给2分.
（2）答案不唯一. 如选证明OC=OD.
证明: ∵ ，
∴ OA=OB. ……………………6分
又 ，
∴ AC-OA=BD-OB，或AO+OC=BO+OD.
∴ . ……………………8分
14．（2010 重庆江津）已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：⑴ △ABC≌△DEF；
⑵ BE＝CF．
【答案】证明：(1)∵AC∥DF
∴∠ACB＝∠F……………………………………………………………………2分
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF……………………………………………………………………6分
(2) ∵△ABC≌△DEF
∴BC=EF
∴BC–EC=EF–EC
即BE=CF……………………………………………………………………………10分
15．（2010 福建泉州南安）如图，已知点在线段上，，请在下列四个等式中，
①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出．并予以证明．（写出一种即可）
已知： ， ．
求证：．
证明：
【答案】解：已知：①④（或②③、或②④）……………3分
证明：若选①④
∵
∴．…………………………………………5分
在△ABC和△DEF中
AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．……………………………8分
∴．……………………………………9分
16．（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
【答案】解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. ……………………………2分
（2）方案（Ⅱ）可行. ……………………………3分
证明：在△OPM和△OPN中
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ……………………………5分
（3）当∠AOB是直角时，此方案可行. ……………………………6分
∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,
且PM=PN
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)
当∠AOB不为直角时，此方案不可行. …………8分
17．（2010广西梧州）如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC。
求证：BD=BC
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【答案】证明：∵AB是∠DAC的平分线
∴∠DAB=∠BAC
在△DAB=∠CAB中
∴△DAB≌△CAB
∴BD=BC
18．（2010广西南宁）如图10，已知，,
与相交于点，连接．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．
【答案】（1）, 2分
（2）证法一：连接 3分
∵
∴ 4分
∴ 5分
又∵
∴ 6分
∴
即 7分
∴ 8分
证法二：∵
∴,
∴
即 3分
∴ 4分
∴ 5分
又∵
∴ 6分
又∵
∴ 7分
∴ 8分
证法三：连接 3分
∵
∴
又∵
∴ 5分
∴ 6分
又∵
∴ 7分
即 8分
19．（2010辽宁大连）如图7，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=DC，AE//DF，AE=DF，求证：EC=FB
【答案】
20．（2010广西柳州）如图9，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空:∠ABC=___________，BC=___________；
（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．
【答案】
21．（2010吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。
【答案】
22．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD
【答案】解：（1）因为E是CD的中点，所以DE=CE.因为AB//CD，所以∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.（2）因为△ADE≌△FCE，所以AE=FE.又因为BE⊥AE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB=FB.因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.
23．（2010内蒙呼和浩特）如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF，求证：BE=DF.
【答案】18．证明：∵AD∥BC
∴∠A＝∠C ……………………………………………………………………………1分
∵AE＝FC
∴AF＝CE ………………………………………………………………………………2分
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE ………………………………………………………………………5分
∴BE＝DF ………………………………………………………………………………6分（1）∠ABC=135°，BC=2， ………………………………………………………2分
（2）（说明：D的位置有四处，分别是图中的D1、D2、D3、D4．此处画出D在D1处的位置及证明，D在其余位置的画法及证明参照此法给分）
解：△EFD的位置如图所示． …………………3分
证明：∵ FD=BC=…………4分
∠EFD=∠ABC=90°+45°=135° …5分
EF=AB=2
∴ △EFD≌△ABC …………………6分
2009年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案
一、选择题
1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：
①；
②；
③；
④．
其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.（2009年浙江省绍兴市）如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（ ）
A． B． C ． D．
3. (2009年义乌)如图，在中，，EF//AB,,则的度数为
A． B. C. D.
【关键词】三角形内角度数
【答案】D
4.（2009年济宁市）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150°
5、（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
6、（2009年海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（ ）
A.72° B.60° C.58° D.50°
7、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是 （ ）
A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米
【
8、（2009年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．9或12
9、（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）．
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于360°
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
10、（09湖南怀化）如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
11、（2009年清远）如图，，于交于，已知，则（ ）
A．20° B．60° C．30° D．45°
12、（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
【形
13、(2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ）
A．2 B．3 C． D．
14、（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
15、（2009肇庆）如图，中，，DE 过点C，且，若，则∠B的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
16、（2009年邵阳市）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）
A.56 B.68 C.124 D.180
17、（2009年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（ ）
A．10° B．100° C．80° D．120°
18、（2009河池）如图，在Rt△ABC中，，AB=AC＝，点E
为AC的中点，点F在底边BC上，且，则△
的面积是（ ）
A． 16 B． 18 C． D．
19、（2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
20、（2009年牡丹江）如图， 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）
①②③④
⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
【
21、（2009桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，
将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，
得 ，则点的坐标为（ ）．
A．（3，1） B．（3，2）C．（2，3） D．（1，3）
22、（2009年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm
23、（2009年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm
24、（2009陕西省太原市）如图，，=30°，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
25、 （2009陕西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
26、（2009年牡丹江）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
27、（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
28、(2009年牡丹江市)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【
29、（2009年包头）已知在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【
30、（2009年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，=10米，间的距离不可能是（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．5米
31、（2009年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知
甲的路线为：A(C(B。
乙的路线为：A(D(E(F(B，其中E为的中点。
丙的路线为：A(I(J(K(B，其中J在上，且>。
若符号「(」表示「直线前进」，则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据，判断三人行进路线
长度的大小关系为何？
(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 。
32、（2009年娄底）如图1，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是 ( )?
A．63° B．83° C．73° D．53°?
33、（2009烟台市）如图，等边的边长为3，为上一点，且，为上一点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
34、(2009武汉)在直角梯形中，，为边上一点，，且．连接交对角线于，连接．下列结论：
①； ②为等边三角形； ③； ④．
其中结论正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④
35、（2009年台湾） 若(ABC中，(B为钝角，且=8，=6，则下列何者可能为之长度？
(A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14 。
36、（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
37、（2009年重庆）如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
【
38、（2009江西）如图，已知那么添加下列一个条件后，
仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
39、(2009年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．1cm， 2cm， 3．5cm B．4cm， 5cm， 9cmC．5cm，8cm， 15cm D．6cm，8cm， 9cm
40、如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分
C． D．垂直平分
二、填空题
1、（2009年遂宁）如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为 cm.
2、（2009年遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.
3.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．
4. (2009年四川省内江市)如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80O，则∠B=_____________。
5、（2009年厦门市）如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。
6、（2009恩施市）如图1，已知，，，则的度数为________．
7、（2009年吉林省）将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，为圆心，则= 度．
8、（2009年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）．
9、（2009年长沙）如图，是的直径，是上一点，，则的度数为 ．答案：
10、（2009年甘肃白银）如图5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，则∠A= ．
11、（2009河池）如图2，的顶点坐标分别为．若将绕点顺时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为 ．
12、（2009河池）某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为，
面积为，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，
则需要栅栏的长度为 m．
13、（2009白银市）．如图5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，则∠A= ．（缺图）
14、 (2009宁夏)如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为 ．
15、（2009年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，与的和总是保持不变，那么与的和是_______度．
三角形
【
16、（2009年常德市）已知△ABC中，BC=6cm，E、F分别是AB、AC的中点，那么EF长是 cm．
17、（2009年广西梧州）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，延长CB到D ，则∠ABD＝ ★度．
18、（2009年清远）如图，若，且，则= ．
19、（09湖南邵阳）如图（四），点是菱形的对角线上的任意一点，连结 ．请找出图中一对全等三角形为___________．
20、（09湖南怀化）如图，已知，，要使 ≌，可补充的条件是 （写出一个即可）．
21、(2009年咸宁市)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列四个结论：
；
②以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；
③设则；
④不能成为的中位线．
其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【
22、(2009年达州)如图5，△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝____________.
23、(2009年达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______________.
【关键词】三角形三边关系,概率
【答案】
三、解答题
1、（2009年浙江省绍兴市）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．
（1）求的度数；
（2）求证：．
2、（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是 ，
当时，的值是 ；
（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
综．
3、（2009年福州）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD
4、（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。
求证：∠C=∠A.
5、(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。
求证：BD=CD；
如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
【形．
6、(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．
求证：．
7、(2009年湖州)如图：已知在中，
，为边的中点，过点作，
垂足分别为.
求证：；
（2）若，求证：四边形是正方形.
，为正方形．
8、(2009年湖州)若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.
（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；
（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′.
求证：′过的费马点，且′=.
9、（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
10、（2009年娄底）如图10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.?
（1）求证：△ABE≌△ACE?
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是
菱形？并说明理由.?
11、（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
12、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD中，，，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．
（1）求证：；
（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.．求证：CD垂直平分EG.
（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．
即．
（2
13、（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片、如图7放置，，求证：四边形为菱形．
【答案】
14、(2009年上海市)已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结（如图所示）．
（1）添加条件∠A=∠D，，求证：AB=DC．
（2）分别将“”记为①，“”记为②，“”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）．
15、(2009武汉)如图，已知点在线段上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
求证：．
16、(2009年陕西省)如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．
求证：FA＝AB．
17、（2009年泸州）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，
AD与BE相交于点F．
(1)求证：≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
18、 (2009年四川省内江市)如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE. AE得∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE
19、 (2009年四川省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC
求证：（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD
∴CD⊥DF
20、（2009年重庆市江津区）如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.
求证：(1) △ABC≌△AED；
(2) OB＝OE .
21、（2009年北京市）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC
22、（2009年吉林省）如图，，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
23．（2009年深圳市）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠ABE=50o，求∠EGC的大小。
25、（2009年长沙）如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：．
26、（2009年莆田）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、的延长线于点
（1）观察图形并找出一对全等三角形：____________________，请加以证明；
（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？
27、（2009年莆田）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图）
①以已知线段（图1）为直径画半圆；
②在半圆上取不同于点的一点，连接；
③过点画交半圆于点
（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
已知：（图2）．
求作：的平分线．
作射线
28、（2009年漳州）如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、．求证：．
【．
29、（2009年哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．
点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
30、（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
32、（2009年甘肃白银）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；（2）．
33、（2009桂林百色）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O．
（1）图中共有 对全等三角形；
（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．
34、（2009白银市）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；（2）．
35、(2009宁夏) 如图：在中，，是边上的中线，将沿边所在的直线折叠，使点落在点处，得四边形．
求证：．
36、（2009东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
．
37、（眉山）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。。
⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。
⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。
38、（2009年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求的长．
39、（2009年黄石市）如图，在上，．
求证：．
40、（2009年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到AB1C1，再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到AB2C2，请依次作出AB1C1和AB2C2。
【答案】正确作出图形即可，图略．平移（4分）旋转（2分）
41、（2009年常德市）如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）
（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）
42、（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；
43、（2009年广西梧州）如图（7），△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于
点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）填空：四边形ADCE的形状是 ★ ．
44、(2009年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；（2）．
45、（2009年清远）如图，已知正方形，点是上的一点，连结，以为一边，在的上方作正方形，连结．
求证：
46、（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．
47、（2009年舟山）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．
48、（2009河池）如图7，在△中，∠ACB=．
（1）根据要求作图：
① 作的平分线交AB于D；
② 过D点作DE⊥BC，垂足为E．
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形
和一对相似比不为1的相似三角形：
△ ≌△ ；△ ∽△ ．
请选择其中一对加以证明．
（2）△BDE≌△CDE ；
49、（09湖南怀化）如图9，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．求证：（1）；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
【
50、（09湖北宜昌）已知：如图2，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．
(1) 求证：AE=BE；
(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．
图2
51、（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．
(1)求证：AB=CD；
(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD
的数量关系，并说明理由．
52、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
54、（2009年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．
解：
结论：
结论．
55、（2009年山东青岛市）已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．
（1）求证：；
（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
，
57、（2009年湖北荆州）如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
【答案】
58、（2009湖北荆州年）把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。
【
【答案】
59、（2009年茂名市）如图，方格中有一个请你在方格内，画出满足条件
的并判断与是否一定全等？
60、(2009年肇庆市)如图 8，在中，，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC
于 E，连接BE．
（1）求证：∠CBE=36°；
（2）求证：．
61、（2009年崇左）如图，在等腰梯形中，已知，，延长到，使．
（1）证明：；
（2）如果，求等腰梯形的高的值．
62、（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
63、（2009年赤峰市）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
64、(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB ；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
三角形全等
选择题
1. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB△的理由是
(A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边
答案;A
二、填空题
1、（2011北京四中模拟8）如图，∠ACB=∠ADB，要使△ACB≌△BDA，请写出一个符合要求的条件
答案 ∠CAB=∠DBA或∠CBA=DAB
2、（2011年北京四中模拟28）
如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为 的碎片去．
答案：③
3．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是 ．
答案：16
三、解答题
A组
1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE． 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
【根据习题改编】
（1）你添加的条件是： ；
（2）证明：
答案： 解：（1）(或点D是线段BC的中点)，，中任选一个即可﹒
（2）以为例进行证明：
∵ CF∥BE，
∴ ∠FCD﹦∠EBD．
又∵，∠FDC﹦∠EDB，
∴ △BDE≌△CDF．
2、（2011年北京四中三模）
如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论。
答案：和BE相等的线段是：AF 通过证明△ABF≌△BCE得证BE=AF
3、（2011年如皋市九年级期末考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是： ，并给予证明．
答案：答案不惟一．添加条件为AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．
以添加条件AE＝AF为例证明．
证明：在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）．
4、（北京四中模拟）
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线
交DC于点E．
求证：（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
答案：略
2、（2011杭州模拟26） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm。P是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上。已知A、Q两点间的距离是O、P两点间距离的a倍。若用（a，t）表示经过时间t(s)时，△OCP、△PAQ 、△CBQ中有两个三角形全等。请写出（a，t）的所有可能情况 .
答案：（0，10），（1，4），（，5）
3、（北京四中模拟）如图，已知．求证：．
证明：
．
．
又，
．
4、（2011年北京四中模拟26）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。
（1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
答案：解：（1）△。证明：。
又
5、（2011年北京四中模拟28）
如图，点F是CD 的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．
（1）求证：AB=AE；
（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？
（只需写出结论，不必证明）．
答案：
证明：联结AC、AD----------------------------------------------------------------1分
∵点F是CD 的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD---------------1分
∴∠ACD=∠ADC------------------------------------------------------1分
∵∠BCD＝∠EDC, ∴∠ACB＝∠ADE-------------------------1分
∵BC=DE，AC=AD
∴△ABC≌△AED, -------------------------------------------------------1分
∴AB=AE-------------------------------------------------------------------1分
BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE--------------------------------------1分，1分，2分
（注：写出一个得1分，写出两个得2分，写出三个得4分）
6、（2011年北京四中中考模拟20）(本题8分)如图，AB∥CD
(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。
解：(1)作图略；
(2)取点F和画AF正确(如图)；
添加的条件可以是：F是CE的中点；
AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)
7. （2011年黄冈市浠水县中考调研试题）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.
求证：(1)△BAD≌△CAE； (2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.
答案：（1）AB＝AC，易证∠BAD＝∠CAE ，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）
（2）BD⊥CE，证明略.
8. （2011年北京四中中考全真模拟17）已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC.
求证：CD=AN.
答案：证明：如图，
因为 AB∥CN，所以 在和中
≌
是平行四边形
B组
1．（2011 天一实验学校 二模）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
答案： ⑴
①全等。
理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时BP=3,CP=5,CQ=3
∵D为AB中点，AB=10，∴BD=5.
∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
②若Q与P的运动速度不等，则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等，则BP=CP=4
CQ=5,Q的运动速度为5×cm/s
⑵设经过t秒两点第一次相遇则
（-3）t=20
t=
3t=80,
80÷28=2
×28=24,所以在AB边上。
即经过两点第一次相遇，相遇点在AB上。
2．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图，是平行四边形的对角线上的点，．
请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明．
猜想：
证明：
答案：猜想：BE∥DF BE=DF
证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD、AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA
又∵ AF=CE
∴AE=CF
∴△ABE≌△CDF (SAS)
∴BE=DF ∠AEB=∠CFD
∴∠BEF=∠DFE
∴BE∥DF
3．（2011北京四中一模）如图，在 △ABC中，以AB为直径的⊙O交 BC于点 D，连结 AD，请你添加一个条件，
使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．
你添加的条件是
证明：
答案： 本题答案不唯一，添加的条件可以是
①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点），
④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．
4.（2011浙江杭州义蓬一模）(本小题满分10分) 图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.
（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.
答案：（1）求证：① △AEF≌△BEC；
∠ABC=90°，E是AB的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC
所以△AEF≌△BEC；
② 四边形BCFD是平行四边形；
可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC，且DF=BC均可
（2）设BC=1，则AC=,AD=AB=2
设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)+3=x
X= 所以Sin∠ACH=
5. （2011深圳市全真中考模拟一） 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (1分)
又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE
∴MEA＝AFO………………（2分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (3分)
∴OE=OF ………………(4分)
(2)OE＝OF成立 ……………… (5分)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (6分)
又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE
又∵MBF＝OBE
∴F＝E………………（7分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (8分)
∴OE=OF ………………(9分)
6. （河南新乡2011模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．
（1）求B′ 点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式．
答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，
∴ ． ………………………………………………………………………３分
解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………４分
（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕，
∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．
由勾股定理，得 CB′＝＝15． … …………………………………５分
设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．
由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．
∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）． ５分
设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得 …………… ８分
解得 ∴CE所在直线的解析式为 y＝－x+9． ……
7、（2011年黄冈市浠水县）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE=EC，CF∥AB．
求证：AD=CF．
答案：证明：，．…………（2分）
又，，
．………………………（5分）
．…………………………………（6分）
8. （2011年浙江省杭州市模2）（本小题满分10分）
如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边?ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时?PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
答案：（1）不变。
又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时，?PBQ为直角三角形
（3）不变。
∴
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴ 又
∴
全等三角形
选择题
1.（2010年武汉市中考模拟数学试题（15））如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，
则AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC
其中正确的是（ ）．
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④
Ｃ.只有②③④ Ｄ．只有①③
答：B
二、填空题
1．（2010年德州第一次练兵）如图，点P在的平分线上，若使≌，则需添加的一个条件是 （写一个即可，不添加辅助线)。
答案：不唯一 ；
2．（陕西新希望教育2010年 一模）如图，在等边△ABC中，AC＝3，点O在AC上，且AO＝1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时则AP的长是 ．
答案：2
3.（2010模拟题四）如图△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：___________，使△AEH≌△CEB.
答案：AH=BC
三、解答题
1．（2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷16）等边△ABC和等边△ADE如图放置，且B、C、E三点在一条直线上，连接CD,求证：∠ACD＝60°.
答案：证△ABE≌△ACD即可（或证△ABE∽△ACD亦可）
2.（2010年武汉市中考模拟数学试题（24））中，，AC=BC，CO为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点上并绕点旋转，若三角板的两直角边分别交AC，CB的延长线于点G，H．请从图中选一组相等的线段并给予证明（除AC=BC，OA=OB=OC外）
我选择证明 = ．
证明：（1）（任一组都行）
（利用等角的补角相等证比照给分）
．
3.（2010年武汉市中考模拟数学试题（27））已知如图，∠A＝90°∠D＝90°且AE=DE，求证：∠ACB=∠DBC.
答：略.
4.（2010年武汉中考模拟试卷6）如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF。求证△ABC≌△DEF。
答案：、证明 ∵BE＝CF ∴BE＋EC＝EC＋CF即BC＝EF
又∵AB＝DE AC＝DF ∴△ABC≌△DEF
5．（2010年溧水县）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.?
（1）求证：△ABE≌△ACE?
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.?
答案：
（1）证明：∵AB=AC?
点D为BC的中点?
∴∠BAE=∠CAE
AE=AE?
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：?
∵AE=2AD，∴AD=DE?
又点D为BC中点，∴BD=CD?
∴四边形ABEC为平行四形边
∵AB=AC?
∴四边形ABEC为菱形
（其他方法参照本方法给分）?
6．（2010永嘉学业二模）阅读：下题及证明过程：
已知：如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，且EB=EC，∠ABE=∠ACE.
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中
EB = EC （ ）
∠ABE=∠ACE（ ）
AE=AE（ ）
∴△AEB≌△AEC（ ）
∴∠BAE=∠CAE（ ）
上面的证明过程是否正确？若认为正确，请在各步后面的括号内填入依据；若认为不正确，请给予正确的证明.
解：上述的证明过程不正确。
证明：∵BE=EC
∴∠EBD=∠ECD
∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABD=∠ACD
∴AB=AC
在△ABE与△ACE中
AB=AC
∠ABE=∠ACE
BE=CE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴∠BAE=∠CAE
7.（河南邓北七校联考模拟试题）如图：ACB与DCE是全等的两个直角三角形，其中ACB=DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；
（3）在DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使DCE与ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为，这个四边形的面积为，求与的函数关系式，并写出它的定义域.
答案：解：（1）点 M
（2）经过t秒时，， 则，
∵==
∴
∴ ∴
∴
∵∴当时，S的值最大．
（3）存在．
设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则，
∴==
①若，则是等腰Rt△底边上的高
∴是底边的中线 ∴
∴∴
∴点的坐标为（1，0）
②若，此时与重合
∴
∴
∴
∴点的坐标为（2，0）
8．（2010年·武汉市·中考模拟试卷）如图：已知等边三角形ABC,D为AC边上的一动点，CD=nDA，连线段BD,M为线段BD上一点，∠AMD=60°,AM交BC于E.
⑴.若n＝1,则= ,= .
⑵.若n＝2,求证：BM=6DM.
⑶.当n＝ 时，M为BD中点.
（直接写结果，不要求证明）。
答案：（1） 1 . 2 .
（2）.证明:
∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又,BA=CA ,∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE(ASA)
∴AD=CE ∴CD=BE
作CF∥BD交AE于F
∴= = =①
= =②
①×②得 =
∴BM=6DM
(3) n=
9. 如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，BC=CD，BE⊥DC于点E.求证：△ABD≌△EBD
答案：∵AD∥ BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BC=BD,
∵∠DBC=∠CDB,∴∠CDB=∠ADB
又,∵BE⊥DC ∴∠BDE=
又∵∠A= ∴∠BED=∠A
又∵BD=BD ∴△ABD≌△EBD
10.（2010年武汉中考命题）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC，求证EF∥CD。
证明略
11.（武汉市2010年初中学业考试）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的
距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再
定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得
DE的长就是AB的长.请说明理由.
答案：证△ABC≌△EDC得DE=AB.
12.(2010星子二中月考)如图是由正三角形组成的正六边形网格，请在网格中画出两个互不重叠且各个顶点均在格点上的全等三角形．
答案：如：
13.(2010星子二中月考)如图所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,将重合部分剪去,得到△ABF和△EDF.
求证：△ABF≌△EDF
证明：略
11.1全等三角形
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
1.什么样的两个三角形全等？2.全等三角形有什么性质？
1.问题导学
１.观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形
2．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样．
3．获取概念
形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）
即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
推得出全等三角形的概念：
对应顶点： 、对应角： 、
对应边： 。 “全等”符号： 读作“全等于”
1.问题：将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
不难得出： ≌△DEF，△ABC≌ ，△ABC≌ ．
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的性质： ， 。
符号语言：
1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
图1
2、如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
图2
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
1、已知如图3 △ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．
图3
2、P4：练习 ：1、2
11.2 全等三角形的判定（1）(SSS)
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
1.两个三角形全等应满足几个条件？最少条件是几个？
.问题导学
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
图中相等的边是： ．相等的角是：
问题：你能画一个三角形与△ABC全等吗？怎样画？
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：
1．只给定一条边时： 只给定一个角时：
2．给出的两个条件：一边一内角、 两内角、 两边．
3. 给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1．作图方法：
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现
3．要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
符号语言：
1、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD．
证明：
2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
3、如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．
§11．2.2三角形全等的条件（2）(SAS)
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
两个三角形满足两边及其中一角对应相等时全等吗？
一、创设情境，复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
二、导入新课
1． 如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
猜想：
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形 ．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
3．边角边
(简称“边角边”或“SAS”)
符号语言：
1．填空：
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
例1 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)． 求证：△ADC≌△CBA．
问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？
例2 已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点求证：△ABE≌△ACF．
2.已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE
11.2三角形全等的判定（3）(ASA AAS)
1、通过动手实践，自主探索，进一步掌握三角形全等的条件。
2学生探索出全等三角形的条件“ASA、AAS”结合图形能准确表达三角形全等。
3、能运用“ASA、AAS”的方法进行三角形全等的判定。
两个三角形在满足两角及其一边对应相等时是否全等？
一：快速回顾：
1.全等三角形的定义：
2.你学过的判定两个三角形全等的方法有：
二、自学P11 探究5
1. 先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？你能得出什么结论？
2、在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（图11．2—9），△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?
证明:
总结出结论：
符号语言是：
3、讨论：三角对应相等的两个三角形全等吗?
1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么?
2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2．求证AB=AD．
：
如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD
如图：D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．
三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（4）（HL）
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
特殊三角形直角三角形会有特殊的判定方法吗？
提出问题，复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（动手操作）：已知线段a ，c (a1、按步骤作图： a c
作∠MCN=∠=90°，
在射线 CM上截取线段CB=a，
③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，
④连结AB
2、与同桌重叠比较，是否重合？
3、从中你发现了什么？
符号语言：
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
2、判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
3、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。
11.3角的平分线的性质（第一课时）
1、通过探究理解角平分线的性质并会运用
2、掌握尺规作图作角平分线
1、怎样用尺规作角的平分线？
2、角的平分线上的点到角的两边的距离有什么关系？
（一）课前巩固
如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线
（二）自学：教材P19
（三）用尺规作一个角的平分线
1、已知：∠AOB， 2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
3、练习，教材P19
角平分线的性质
1、探究，教材P20
2、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的 到角两边的 相等。
3、用三角形全等证明性质，
如图，已知：∠BAF=∠CAF,点O在AF上，OE⊥ AB , OD⊥AC,垂足分别为E,D.求证：OE=OD
证明： F
符号语言：
△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
11.3角的平分线的性质（第二课时）
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
一个点到角的两边距离相等这个点一定在角的平分线上吗？
1、复习思考
（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
1、比较角平分线的性质与判定
2、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路
距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2
如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
第十一章 全等三角形
11.1全等三角形
学习目标
1．知道什么是全等形、全等三角形；
2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．掌握全等三角形的性质.
重点: 全等三角形的概念、性质。
难点: 对应边和对应角的确定。
自主学习
一、全等形、全等三角形的概念
阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：
1． 能够完全重合的两个图形叫做 .
全等图形的特征：全等图形的 和 都相同.
2．能够完全重合的两个三角形叫做 .
二、全等三角形的对应元素及表示
阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：
1． 平移 翻折 旋转
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．
2．全等三角形的对应元素
（1）对应顶点（三个）---重合的顶点
（2）对应边（三条）--- 重合的边
（3）对应角（三个）--- 重合的角
请同学们写出上图甲、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角
图甲： 对应边是： 对应顶点是： 对应角是：
图乙：
对应边是：
对应顶点是： 对应角是： 图丙：对应顶点是： 对应边是：
对应角是：
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
3．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”
如图甲记作:△ABC≌△DEF 读作:△ABC全等于△DEF
如图乙记作: 读作:
如图丙记作: 读作:
注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
三、全等三角形的性质
阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：
全等三角形的性质:
全等三角形的 相等， 相等.
练习
1.如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
图1 图2
2.如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
课堂小结
本节课你有哪些收获？
巩固练习
1.下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角.
（1） （2） （3）
2.如图，△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：∠A=43°，
∠B=30°，求∠ADC的大小.
课堂检测
1.全等用符号 表示，读作： . 2.若△BCE≌△CBF，则∠CBE= , ∠BEC= ,BE= , CE= . 3.判断题 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ） 2）全等三角形的周长相等，面积也相等. （ ） 3）面积相等的三角形是全等三角形. （ ） 4）周长相等的三角形是全等三角形. （ ）
4.如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.
答:∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 ，
∠BAC的对应角是 ；
AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，
BC的对应边是 .
课后作业：课本P4习题第1、2题
板书设计：
11．1 全等三角形
一、全等形、全等三角形的概念
二、全等三角形的对应元素及表示
三、全等三角形的性质
教学反思：
11.2.1三角形全等的判定
学习目标
1．理解三边对应相等的两个三角形全等的内容．
2．会运用“边边边”条件证明两个三角形全等．
3. 会作一个角等于已知角.
自主学习
一、课前准备
1. 叫做全等三角形
2.全等三角形的 和 相等
3.将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出你得到的结论，说明理由？
如果AB=5, ∠A=55°, ∠B=45°,那么DE= ，∠F= .
二、自主探究
自主探究三角形全等的条件：
阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：
通过探究
（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？
①只给一条边时；
②只给一个角时；
（2）如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
①给出两个角时；
②给出两条边时；
③给出一条边和一个角时；
（3）由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？
（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？
①我们先来探究两个三角形三个角相等的情况：
②画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
③上面的探究反映了什么规律？
阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题：
的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．
三、例题学习
阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．
巩固练习
1. 如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）△ABC≌△ADC（2）∠B=∠D
证明：
（1）在△ABC和△ADC中
（公共边）
∴△ABC≌△ADC（ ） （2）∵△ABC≌△ADC
∴∠B=∠D（ ）
2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
证明：
四、作一个角等于已知角
阅读课本P7最后一段至P8，回答书中问题.
课堂小结
本节课你有哪些收获？
课堂检测
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
证明：
课后作业：课本P15习题第1、2题
板书设计：
11．2．1 三角形全等的条件（一）
一、三角形全等的条件
三边对应相等的两三角形全等（SSS）
二、例题
三、作一个角等于已知角
教学反思： 11.2.2全等三角形的识别（二）（SAS）
学习目标：会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
重难点：1、会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
2、分清用两边一角证明三角形相似和全等的不同。
自学过程：
知识回顾：
一、判别三角形相似的方法之二：
1、如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
新课讲解：
做一做 以图24.2.5中的两条线段和一个角画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角.
步骤：
画一线段AB使它的长度等于4cm.
以点A为顶点，作∠BAP=45°,在射线AP上截取AC＝3cm,
连结BC.△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论．
A C
A B
A
这样我们就得到识别三角形全等的另一种简便的方法
如果两个三角形有 _____边及其______分别对应＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为（S.A.S.）．
对比判别三角形相似的方法
如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
例2 如图11-1，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.
做一做 如图24.2.7，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的对角，画一个三角形.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？
练 习
根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？
(3) (4)
点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，△AMD和△BMC全等吗？试说明你的理由？
综合练习：
填空：
如图11-2，AB=AD,AC=AE,
则可得△ABC≌＿＿＿＿
其理由是＿＿＿＿＿＿
2、如图（1）：OA=OD,OB=OC,求证：△ABO≌△DCO
证明： OA=OD OB=OC（ ）
＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿（ ）
△ABO≌△DCO（ ）
3、如图（2）：已知AB=DC，∠ABC=∠DCB,求证：AC=BD
证明：AB=DC，∠ABC=∠DCB （ ）
BC=________( )
△BCD≌_______，( )
AC=________( )
如图（1） 如图（2）
选择：
1、在△ABC中，∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么△ABC中与这个角对应的角是（ ）
A ∠A B ∠B C ∠C D ∠B或∠D
l
2、如图：直线l是四边形ABCD的对称轴，如果，有下列 A
结论：(1)AB∥DC（2）AB=BC（3）ABBC（4） AO=OC， B O D
其中正确的结论有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 C
3、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）
A 顶角、一腰对应相等 B 底边、一腰对就相等
C 两腰对应相等 D 一腰、一底角、一底边对应相等
△ABC和△A′B′C′边角条件如图：那么这两个三角形（ ） C′
A全等 B不全等
C不一定全等 D相似
证明：1、如图，已知∠1＝∠2，AO＝BO，那么△AOP≌△BOP，为什么？
2、已知：AD＝BC，∠ADC＝∠BCD．求证： ∠BDC＝∠ACD．
3、如图，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，说明△ABC和△DEF全等的理由．
4、如图：点M是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，则MD与MC的大小有何关系，试说明理由。
5、已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD, ∠D=∠ECA,试问：AE与BF的大小关系，并说明理由。
6、如图：在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°,在AB上取点P，边CA的延长线上取点Q，使AP=AQ，边CP与BQ交于点S，求证：△CAP≌△BAQ
7、如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC， △ABC与△ADE全等吗？并说明理由。
11.2.3 全等三角形的识别（三）（ASA及AAS）
学习目标：会运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
重难点：能灵活运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
自学过程：
做一做 如图24.2.9，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
步骤：
一线段AB使它的长度等于4cm.
分别以点A、B为顶点，作∠BAP=40°∠ABQ=60°,AP、BQ相交于点C,
△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段， 用同样的方法试试看，是否有同样的结论．
A
B
A B
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.S.A.).
例3 如图所示，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB.
解 ∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
BC是＿＿＿＿＿＿，
＿＿＿＿＿＿（ ）
思 考
如图24.2.11，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，
那么这两个三角形是否一定全等？
你的结论是______________________________________
证明： ∠A＝∠D，∠C＝∠F，
∠B＝180°－＿＿＿＿＿＿，∠E＝180°－＿＿＿＿，
∠＿＿＿＿＝∠＿＿＿＿＿＿
又∠＿＿＿＝∠＿＿＿，AB＝＿＿＿＿
△ABC≌△DEF.（ ）
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.A.S.).
小结： 如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况： 一种情况是两个角及两角的＿＿＿＿（ASA）； 另一种情况是两个角及其中一角的＿＿＿（AAS），两种情况都可以证明三角形全等。如图24.2.8所示．
练 习
填空：
1、如图：D是△ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点 F，DE=FE,FC∥AB, 求证：AE=CE
证明： FC∥AB（ ） ∴∠_____=∠_____,
∠_____=∠_____, 又 DE=FE（ ）
∴△AED≌____（ ）
∴AE=CE（ ）
2、如图：点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,
AB∥ED,AC∥FD，求证：AB=DE
证明： FB=CE（ ）
FB＋＿＿＿=CE＋＿＿（ ）
即：＿＿＿＿＝＿＿＿＿
AB∥ED,AC∥FD
∠ABC=∠_______,∠ACB=∠_______
△ABD≌________,（ ）
AB=DE，（ ）
3、如图：AB=CD,AD=BC,EF过BD的中点O，求证：△OBF≌△ODE
证明：AB=CD,AD=BC( )
_________=__________( )
△ABD≌________,( )
∠CBD=_______
EF过BD的中点O( )
______=__________
又∠FOB=∠_____( )
△OBF≌_______( )
选择
1、下列说法中，正确的是（ ）
A所有的等腰三角形全等 B有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C有一边对应相等的两个等腰三角形全等 D腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
2、在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=44°，∠B=67°,∠C′=69°,∠A′=44°,且AC=A′C′，那么这两个三角形（ ）
A 一定不全等 B 一定全等 C 不一定全等 D 以上都不对
3、如图：点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE
交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE,则（ ）
A △ABD≌△AFD B △AFE≌△ADC
C △AFE≌△DFC D △ABC≌△ADE
4、在△ABC和△DEF中，条件(1)AB=DE,(2)BC=EF,(3)AC=DF,(4) ∠A=∠D,(5) ∠B=∠E,(6) ∠C=∠F，则下列各组条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A(1) (2) (3) B (1) (2) (5) C (1) (3) (5) D(2) (5) (6)
三、证明与计算：
根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
△ABC是等腰三角形，AD、BE分别是∠A、∠B的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由.
3、如图，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF，△ABC与△DEF全等吗？试说明理由.
4、如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC和△ADC全等吗？试说明理由。
5、已知： 如图，∠C＝∠D，CE＝DE．求证： ∠DAB＝∠ABC．
6、已知： 如图，∠BDA＝∠CEA，AE＝AD．求证： AB＝AC．
7、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC, ∠B=∠C,求证：BD=CE
11.2.4 全等三角形的识别（四）（HL）
学习目标：会运用“斜边、直角边公理” 证明三角形全等的简单问题
重难点：
1、会运用“斜边、直角边公理”（HL） 证明三角形全等的简单问题
2、了解SSS、SAS、ASA、AAS也适用于直角三角形。
自学过程：
知识回顾：
一、判别三角形相似的方法之三：
如果一个三角形的_______分别与另一个三角形的_______对应相等，那么这两个三角形相似．
我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的．但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
做一做 试以24.2.12中的两条线段AC、AB分别为直角边和斜边画一个直角三角形.
步骤：
画∠MCN＝90°，
在射线CM上截取AC的长度，
以点A为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交射线CN于点B，
连结AB，△ABC即为所求.
把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？请按照下题的步骤证明你的结论。
如图，AC＝DF，AB=DE,∠C＝∠F＝90°，试说明△ABC≌△DEF.
∠C＝∠F＝90°
BC=_________,EF=____________(勾股定理)
又 AC＝DF，AB=DE,
＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿
又∠＿＿＝∠＿＿，AC＝＿＿＿＿
△ABC≌△DEF.（ ）
由此可以得到如下结论：
如果两个直角三角形的＿＿＿＿＿及一条＿＿＿＿＿＿分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 称为斜边、直角边公理，简记为（H.L.）.
注意：
1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。
例4 如图24.2.13，AB是圆O的直径，AC＝AD，试说
明△ABC和△ABD全等.
解 AB为⊙O的直径
∠ACB＝∠＿＿＿＝＿＿°．
又AC＝AD，＿＿＿＝＿＿＿，
△ABC≌△ABD．（ ）
练 习
如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，试说明BC与BD相等.
以下面格点图中的格点为顶点，画出所有的直角三角形，并说明哪些直角三角形是全等的.
综合练习：
一、填空：
两条直角边对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿
有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿
如图(1)：BA⊥AC,CD∥AB,AB=CE,BC=DE,则△CDE≌______，
理由是＿＿＿＿＿，且有∠ACB=________，∠ABC=_______,
由此可知BC与DE互相__________
如图：AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′
中BC,B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′,若
使△ABC≌△A′B′C′，需补充条件是＿＿＿＿＿＿
（只需填写一个你认为适当的条件）
二、选择：
1、两个直角三角形全等的条件是（ ）
A一锐角对应相等B两锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等
2、判断下列命题：（1）在Rt△ABC中，两锐角互余（2）有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形（3）一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（4）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、下列说法正确的有（ ）
（1）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（2）一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（3）两条边对应相等的两个直角三角形全等（4）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′,AB=A′B′,那么下列结论中正确的是（ ）
A AC=A′C′ B BC=B′C′ C AC=B′C′ D ∠A=∠A′
下列叙述的图形中，是全等三角形的只有（
A 两个含60°角的直角三角形 B 腰对应相等的两个等腰三角形
C 有一边相等的两个等边三角形 D 面积相等的两个直角三角形
6、如图：△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB，
交BC于D点，DE⊥AB于点E，且AB=60cm，则△BED的
周长为（ ）
A 100cm B 80cm C 60cm D 40cm
证明：
1、如图：CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为EF，AC∥DB,且AC=BD，求证：CE=DF
2、如图：△ABC是等腰三角形，AB=AC,AD是高，
求证（1）BD=DC（2）∠BAD=∠CAD
3、如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足，DE=BF,求证（1）AE=CF（2）AB∥CD
4、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC
5、如图：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°,CDAB,C′D′A′B′,且CD=C′D′,BC=B′C′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
11．3角平分线的性质
自学目标：
（1）掌握角平分线的性质定理；
（2）能够运用性质定理证明两条线段相等；
（3）角平分线的性质定理及它的应用。
重难点：角平分线的性质定理及它的应用。
自学过程：
一、复习：
1、判断两个三角形全等的方法：
（1）三边分别相等的两个三角形全等。
（2）有两边级其夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（4）有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
2、练习：根据题目的结论，添加相应的条件。
（1）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SSS）可得
（2）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SAS）可得
（3）如上图，AB=DE，______=______，______=_______，那么根据（ASA）可得
（4）如上图，AB=DE，______=______，_______=_______，那么根据（AAS）可得
（5）如右图，，_____=_____，
_______=_______，那么根据（HL）
可得
三、“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小光已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解： 如右图：
已知：__________________，
___________________
求证：______=_______
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
练习：根据上面定理完成书本P21 思考。
四：把前面的定理反过来可得：“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小白已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解：如右图，过______做射线
已知：，；
并且_______=_______
求证：_____是的平分线
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
五、练习：
A组：
1、请你利用尺规作图，画出的平分线
B组：
书P22页习题11.3第1----5题。（可做在书本上）
C组：请你利用尺规作图在内部找一个点，
使这个点到三边距离相等
第11章 全等三角形
11.1 全等三角形
教学目标
①通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等.
②知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质.
③能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识.
教学重点与难点
重点：全等三角形的有关概念和性质.
难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系.
教学准备
复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件(几个重要片断中使用)等.
教学设计
问题情境
1.展现生活中的大量图片或录像片断.
片断1：图案.
注：丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中.
片断2：一幅漂亮的山水倒影画，一幅用七巧板拼成的美丽图案.
片断3：教科书第90页的3幅图案.
2.学生讨论：
(1)从上面的片断中你有什么感受?
(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗?
注：它反映了现实生活中存在着大量的全等图形.
图片的收集与制作
1.收集学生讨论中的图片.
2.讨论(或介绍)用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法.
注：对学生进行操作技能的培训与指导.
学生分组讨论、思考探究
1.上面这些图形有什么共同的特征?
2.有人用“全等形”一词描述上面的图形，你认为这个词是什么含义?
注：对学生的不同回答，只要合理，就给予认可.
教师明晰。建立模型
1.给出“全等形”、“全等三角形”的定义.
2.列举反例，强调定义的条件.
3.提出问题“你能构造一对全等三角形”吗?你是如何构造的，与同伴交流.
4.全等三角形的对应元素及性质：教师结合手中的教具说明(学生运用自制学具理解)对应元素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等(教师启发学生根据“重合”来说明道理).
注：通过构图，为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础.
解析、应用与拓广
1.学生用半透明的纸描绘教科书91页图13.1－1中的△ABC，然后按“思考题”要求在三个图中依次操作.(或播放相应的课件)体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”.
2.以图13.1－1中的两个三角形为例，介绍对应边、对应角以及两个三角形全等的符号表示、读法、写法，并说出图13.1—2、图13.1—3的对应顶点、对应边、对应角，写出相等的边和角(解释“≌”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位置上).
善于对基本三角形变换出各种图形，观察它们的对应边、对应角的变化，体会当公共边、公共角完全或部分重叠时，如何快速寻找.
注：培养学生的动手操作能力.
3.总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想.
4.学生运用自制的两块全等三角形模板，用平移、翻折、旋转等方法，先独立拼出教科书92～93页中的5个图形，说出它们的对应顶点、对应边、对应角，再与同伴交流，你还能拼出其他图形吗?
拓展与延伸
1.议一议：右图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗?你能把它分成三个、四个全等的三角形吗?
2.例1 已知△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm.求∠E的度数及AB的长.
注：目的是使学生在操作的过程中理解全等三角形的概念，发展空间观念.鼓励学生根据全等三角形的概念和性质，通过观察、尝试找到分割的方法，并可用分出来的图形是否重合来验证所得的结论.
随堂练习
注：检查学生对本节课的掌握情况.
1.全等用符号__表示.读作__.
2.△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为__.
3.△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与__是对应角；AB与__是对应边，BC与__是对应边，AC与__是对应边.
4.判断题：
(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等. ( )
(2)全等三角形的周长相等. ( )
(3)面积相等的三角形是全等三角形. ( )
(4)全等三角形的面积相等. ( )
5.找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形.
小结提高
1.回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识?
注：对于学生的发言，教师要给予肯定的评价.
2.找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点；
3.在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式.
布置作业
1.必做题：教科书92页习题13.1第1题，第2题，第3题.
2.选做题：教科书92页习题13.1第4题.
教学后记 11.2 三角形全等的条件(1)
教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.
③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
教学重点与难点
重点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
难点：三角形全等条件的探索过程.
教学设计
复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等.反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等.
注：在教师引导下回忆前面知识，为探究新知识作好准备.
创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?
注：问题的提出使学生产生浓厚的兴趣，激发他们的探究欲望.
组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳.
注：对学生提出的解决问题的不同策略，要给予肯定和鼓励，以满足多样化的学生需要，发展学生的个性思维.
建立模型，探索发现
出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
注：学生动手操作，通过实践、自主探索、交流，获得新知，同时也渗透了分类的思想.
让学生按照下面给出的条件作出三角形.
(1)三角形的两个角分别是30°、50°.
(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.
(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.
再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等.
出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'=AB，B'C'=BC，C'A'=CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC
上，它们全等吗?
让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等.学生模仿上面的研究方法，在教师的引导下完成操作过程，
通过交流，归纳得出结论，同时也明确判定三角形全等需要三个条件.
应用新知,体验成功
实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的.
让学生通过实物来理解三角形的稳定性.鼓励学生举出生活中的实例.
注：让学生体验数学在生活中应用的广泛性.
给出例1，如图△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD.
让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程.
注：检测学生对知识的掌握情况及应用能力，让学生初步体验成功的喜悦，同时也明确一下书写过程.
巩固练习
教科书第96页的思考及练习.
注：让学生巩固对三角形全等的判定条件的认识，同时也让学生尝试书写推理过程.
反思小结
回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律.
再次渗透分类的数学思想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验.
作业
1.必做题：教科书第103页习题13.2中的第1、2题.
2.选做题：教科书第104页第9题.
3.备选题：
(1)如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：
①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；
②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；
③画射线AD.
AD就是∠BAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗?
(2)如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试.
注：培养学生良好的学习习惯，巩固所学的知识，作业2是让学生对所学知识进行延伸和应用，满足不同层次学生的不同要求.
教学后记
11.2 三角形全等的条件(2)
教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力.
②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
教学重点与难点
重点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.
难点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
教学设计
创设情境，引入课题
多媒体出示探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'=AB，A'C'=AC，∠A'=∠A.
教师点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的ΔA'B'C'剪下，放在ΔABC上，观察这两个三角形是否全等.
注：让学生动手操作具有“一般性”的实验，增加学生的现实感受，同时也培养学生的动手操作能力，使学生可以非常直观地获得结果.
交流对话,探求新知
根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)
注：培养学生的概括能力和语言表达能力.
补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边.
注：归纳、分析得到的规律，使学生有更深刻的认识和理解.
应用新知，体验成功
出示例2，如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
通过测量池塘两端的距离这样一个实际问题，让学生综合运用了三角形全等的判定和性质，体验数学来源于实践，又服务于实践的思想，同时使学生进一步熟悉推理论证的模式，进一步完善学生的证明书写.
让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据.
(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：
要想证AB＝DE,只需证△ABC≌△DEC，△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……)
注：明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.
再次探究，释解疑惑
出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?
让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
注：让学生思考、交流、探讨，通过学生之间的交流、探讨活动，培养学生的协作精神，同时也释解心中的疑惑.
教师演示：方法(一)教科书98页图13.2-7.
方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论.
巩固练习
教科书第99页，练习(1)(2).
注：教给学生寻找全等条件的方法，完善学生全等的证明书写.
小结
1.判定三角形全等的方法；
2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构.
注：通过课堂小结，归纳整理本节课学习的内容，帮学生完善认知结构，形成解题经验.
作业
1.必做题：教科书第104页，习题13.2第3、4题.
注：让学生巩固所学知识，注意学生能力的发展.
2.选做题：教科书第105页第10题.
3.备选题：
(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE=DF，EH=FH，你能发现哪些结论?并说明理由.
(2)如图，∠1=∠2，AB=AD，AE=AC，
求证BC=DE.
教学后记
11.2 三角形全等的条件(3)
教学目标
①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等.
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.
③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.
教学重点与难点
重点：理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”.
难点：探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用.
教学设计
创设情境
1.复习(用课件演示)
(1)作线段AB等于已知线段a，
(2)作∠ABC，等于已知∠α
(课件出示题目，让学生回顾作图方法，用课件演示.)
注：复习旧知，为探究“ASA”中的作△A'B'C'作好知识铺垫，让学生在知识上做好衔接.
2.引人
师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?
生：“SSS”“SAS”
师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件.
注：复习判别两个三角形全等的两个条件，提出判别全等的新问题，激发学生探究的欲望，提高学习的积极性.
探究新知
1.师：我们先来探究第一种情况.(课件出示“探究5……”)
(1)探究5
先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画.
注：让学生独立尝试画ΔA'B'C'，目的是给学生独立思考、自主探究的时间，培养独立面对问题的勇气.并在独立作图过程中，提高分析、作图能力，获得“ASA”的初步感知.
保证作图的正确性，这是探究出正确规律的前提.
在画的过程中若遇到不能解决的问题，可小组合作交流解决.
生：独立探究，试着画△A'B'C'(有问题的，可以小组内交流解决……)……
(2)全班讨论交流
师：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步)
你是这样画的吗?
师：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等.
生：(剪△A'B'C'，与△ABC作比较……)
师：全等吗?
生：全等.
师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现.
生1：我发现……
生2：……
生3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
注：不同的学生，表达语言也不同，不管是否严密，我们都应积极鼓励，加以引导，逐步严密化.
师：这条件可以简写成“角边角”或“ASA”.至此，我们又增加了一种判别三角形全等的方法.特别应注意，“边”必须是“两角的夹边”.
2.探究6
师：我们再看看下面的条件：
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?
师：看已知条件，能否用“角边角”条件证明.
生独立思考，探究……再小组合作完成.
注：留给学生充分思考的时间.
师：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)
小组1：……
小组2：……投影仪展示学生证明过程
(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)
注：让学生上台汇报，创设学生展示自己探究成果的机会，获得成功的体验，激发再次探究的热情.
师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反映了一个什么规律?
生1：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等.
生2：在"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”.
强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”.
师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”.那怎样更完整的表述这一规律?
生1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力.
师：生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS"，又增加了判定两个三角形全等的一个条件.
3.例3
师：下面我们看用“ASA”、“AAS”能否解决一些问题.
(课件出示例3)让学生自己看题、审题.
师：根据已知条件，能得出什么?又联系所求证的，该如何证明?
(先独立探究，再与同桌或四人小组交换意见，再全班交流)
注：留给学生较充分的独立思考、探究的时间，在探究过程中，提高逻辑推理能力.
师：说说你的证明方法.(让学生上台讲解)
生1：……
生2：……
根据学生的回答，教师板书(注意，条件的书写顺序)……
与学生一起回顾证明方法，逐步培养反思的习惯，形成理性思维.
师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了.
4.探究7：
(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)
师：想想，怎样来探究这个问题?
生1：……
生2：……
引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明.
注：引导学生先确定探究的思路与方法，进一步培养理性思维.也为学生提供创新的空间与可能.
生1：……
生2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
(2)师：说得非常好.现在我们来小结一下：判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?
生：SSS SAS ASA AAS
注：一个良好的知识建构是以后知识有效迁移的有力的保证.
小结
师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?
让学生各抒己见，积极地在知识、学习方法、习惯等方面加以小结，以培养反思的习
惯，培养理性思维.
巩固练习
教科书第101页，练习1、2.
作业
1.必做题：教科书第103页习题13.2第5题.
2.选做题：教科书第105页第11、12题.
3.备选题：
(1)图中的两个三角形有几对相等的角?这两个三角形全等吗?为什么?
(2)如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么?
教学后记
11.2 三角形全等的条件(4)
教学目标
①探索出直角三角形全等的条件——HL，并掌握，能进行简单的应用.
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力.
③通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性.
教学重点与难点
重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.
难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.
教学设计
创设情境，引入新课
师：我们知道，判定两个三角形全等的条件有哪些?
生：SSS、SAS、AAS、ASA
师：根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?
(课件显示两个直角三角形，教师指着直角三角形提问)
今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件.
注：复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.
探究新知
1.师：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?
(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答)
注：比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.
生1：再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS"或“ASA"证全等了.
生2：再满足两直角边对应相等，就可用"SAS"证全等了.
师：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗?
生：(不能作肯定回答，只能作某种猜测)
注：激发学生挑战新问题的积极性.
2.师：好，现在不要求马上给出结论.看看，通过动手探究，你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.
3.探究8：
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A'B'C'，使B'C'=BC，A'B'=AB，把画好的RtΔA'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等.(课件出示题目，师生一起看题)
生：(独立探究，动手作图)
师：遇到不能解决的问题，可提问或由四人小组解决.
注：培养学生的分析、作图能力.
师：(看大部分同学已画好)现在请同学把自己的画法与这里出现的画法比较一下，你是否也是这样画的?
(课件出示画法，出示一步画一步)
画法直接由教师给出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.
师：画好后，把Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗?
生：全等.
师：非常好.我们这样画的Rt△与原来的Rt△是全等的，这反映了一个什么规律?
(先让学生同桌互相说说，再全班交流)
生1：……
生2：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
注：让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL”这一条件.
师：说得非常好.这规律，我们可以简写成“斜边，直角边”或“HL”，这是不同于一般全等三角形的判定方法.
4.例4
师：接着我们看看，“HL”能有哪一些应用?
(课件出示例4)
师：结合图形，自己先分析一下已知条件和求证.
生：(读题、思考)……(少数学生能很快得出方法)
注：自己读题、审题，先独自证明,培养学生独自面对困难的勇气和信心.
师：从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)……
注：留给学生充分思考的时间.
师：小组里交流你的办法和思路.哪几个小组展示自己的成果?
小组1：AC⊥BC，BD⊥AD，又加上AC=BD，我们能找到两个Rt△：Rt△ADB，Rt△BCA.又因为AC=BD已经是
一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了.
小组2：……
小组3：……
注：让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦.
师：说得非常好(根据回答，及时引导，小结，并鼓励利用“HL”证明两个Rt△全等).
师：从这道题中我们可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt△，看看这些Rt△的关系.若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了.
注：与学生一起反思总结，逐步培养学生反思的习惯.
巩固练习
教科书第103页练习1、2.
小结
你有什么收获?
作业
1.必做题：教科书第103页习题13.2第6、7题.
2.选做题：教科书第103页习题13.2第8题.
3.备选题：
(1)如图，DE⊥AB，DF⊥AC，AE=AF，你能找出一对全等三角形吗?
(2)如图，把两根木条AC与AB的一端A固定在一起，让较短一条(AC)竖立于地面，让较长的一条AB绕AC旋转一周，则系在B端的粉笔就会在地面画出一个圆来，请说明理由.(不计粉笔的损耗)
教学后记
11.3 角的平分线的性质(1)
教学目标
①经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
②能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定.
③会用尺规作已知角的平分线.
④能对角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题.
教学重点与难点
重点：角平分线画法、性质和判定.
难点：运用角平分线性质进行简单的推理及解决实际问题.
教学准备
木工用的角尺、平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等.
创设情境，导入新课
1.学生翻看教科书第96页练习题，回顾怎样用全等三角形的知识来说明这种画法的道理；
2.学生阅读教科书第107页探究题(教师演示画图，并介绍“平分角的仪器”的特点)；
3.出示问题：你能用①的类似方法说明②画法的道理吗?
复习旧知识，引导学生
用类似的方法解决新问题，让学生在思考的过程中激发学习兴趣.
探索新知，建立模型
1.学生分组讨论，并写出证明过程；
2.通过探究练习题与探究题的画法原理，得出用直尺和圆规画已知角平分线的方法，并写出“已知”“求作”；体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明.
要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由.
注：说理方法的迁移，教给学生类比的学习方法.
3.做一做：
边写“作法”，边画图，互相欣赏作品.
4.练一练：
(1)教科书第108页练习题；
(2)教科书第110页复习巩固第1题(用“HL"证明三角形全等)，观察图形，探究结果后可得到：PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN；
5.看一看：多媒体课件动态演示1(可用“几何画板”制作)，当拖动∠AOB平分线OC上的点P时，观察PM、PN(PM⊥OA，PN⊥OB)度量值的变化规律，发现：PM=PN，即“在角平分线上的点到角的两边的距离相等”的事实；
注：课件的演示，既激发学生的学习兴趣，而且让学生对角平分线性质有了形象、直观的认识.
6.折一折：
按教科书108页“探究”题的要求，让学生分组折纸，验证上面的事实，并利用三角形全等知识进行解释；在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验.
7.试一试：
多媒体课件动态演示2，当拖动∠AOB内部的点P时，在保持PM=PN(PM⊥OA，PN⊥OB)的前提下，观察点P留下的痕迹，发现：射线OP是∠AOB的平分线，要求学生利用三角形全等知识进行解释；
注：在说理的过程中加深对角平分线性质；判定定理的理解.
8.给出角平分线的性质和判定定理.
解析、应用与拓展
1.解决教科书108页思考题
分析：把公路、铁路看成两条相交线，先作其交角的平分线OB(O为顶点)，再在OB上作OS，使OS=2.5cm，点S即为所求.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离为多少?
注：发展学生应用数学的意识与能力.
3.能用尺规作出一个45°的角吗?
注：只要作法合理，均应给予肯定.
小结归纳
引导学生小组合作交流：
1.本节课学到了哪些角平分线的知识?
2.角平分线有多种画法(借助量角器、透明纸、角尺、平分角的仪器等)，但尺规画图最佳，这些画法的道理可以通过三角形全等的证明来获得.
注：通过小结归纳，完善学生对知识的梳理.
布置作业
1.必做题：教科书第110页习题13.3第2、4题.
2.选做题：
(1)教科书第114页复习题13第5题.
(2)作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么?
与同伴进行交流；本题是对所学内容的复习，又为下节课学习做准备.
3.备选题：
(1)如右图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为__cm.
(2)已知(如右图)BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上.
教学后记
11．3 角的平分线的性质(2)
教学目标
①能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，解决一些实际问题.
②进一步发展学生的推理证明意识和能力.
③结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心.
教学重点与难点
重点：角平分线性质和判定的应用.
难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
教学准备
三角形纸及多媒体课件.
教学设计
创设情境，提出问题
播放多媒体课件.
课件背景资料选自教科书第115页第6题.
注：通过有趣的问题引入，激发学生的学习积极性.
讨论交流，探究问题
1.学生活动一：
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的平分线，观察这三条角平分线，你发现了什么?与同伴进行交流.
2.学生活动二：
画一个三角形，利用尺规作出这个三角形三个内角的平分线.你是否也发现了同样的结果?与同伴进行交流.
通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论，教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间.
注：教师针对学生的讨论情况，进行点评，引导分析，渗透数学建模的思想，达成共识后得到结论：
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
建立模型，解决问题
1.回放多媒体课件(教科书第115页第6题)
注：组织学生讨论，引导思考，建立数学模型.
通过学生亲身体验，从作图中发现只需画两个角的平分线即可.
2.练一练：
学生在教科书第115页第6题上画出度假村的位置.
3.想一想：
在确定度假村的位置时，一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
注：这个提问设置为例1的出现做好铺垫，同时例1的证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验.
4.例1：(教科书第109页例题)
分析：
(1)此题证明方法对学生来说有些抽象，教师应一步一步引导，避免操之过急，学生对它的接受和理解有一个过程.
(2)教师要现场作图，并给学生一个示范，加强对学生数学语言规范的训练.
(3)理解“同理”的含义，强调规范的书写.
注：将实际问题转化为数学问，从而顺利解决.
拓展与延伸
1.教科书第109页练习题.
2.已知：如下图，在△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上.
第2题 第3题
3.如下图所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有： ( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
分析：如下图此题可以用教科书115页第6题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平地上修建”的限制，因此满足要求的地址共有四处，应选D.
注：重视培养学生思维的广阔性，鼓励学生积极思考，勇于探索.
小结归纳
今天你又学到了哪些新的知识?有什么收获?
注：发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.
布置作业
1.必做题：教科书第110页习题13.3第3、5题.
2.选做题：
(1)教科书111页习题13.3第6题.
(2)与相交的两条直线距离相等的点在： ( )
A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上 C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上
3.备选题：
(1)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有： ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)任意作一个钝角，求作它的角平分线.
教学后记
评价建议与测试题
I、评价建议
1.关注学生在本章数学学习活动中全等三角形概念的建立和探究三角形全等的条件的过程。
2.对知识与技能的评价应侧重于在三角形全等的判定、性质和角的平分线性质的运用上，同时还要有一定的数量的实际问题.
3.在掌握知识的同时，关注学生在观察、思考、探究、交流活动中主动参与的程度以及交流的意识.例如：设计一些开放性，探究性的问题，写心得体会，通过交流进行评价.
II、测试题(时间：45分钟，满分100分)
一、选择题(每小题4分，共20分)
1.如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝6cm，BD＝5cm，AD=4cm，那么BC的长是( )
(A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)无法确定
(本题意在考查全等三角形对应边的确定和全等三角形的性质(对应边相等).)
2.如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于( )
(A)120° (B)70° (C)60° (D)50°
(本题意在考查全等三角形对应角的确定和全等三角形性质对应角相等.)
3.使两个直角三角形全等的条件是( )
(A)一锐角对应相等 (B)两锐角对应相等
(C)一条边对应相等 (D)两条边对应相等
(本题意在考查用“SAS”判定两个三角形全等和用“HL”判定两个直角三角形全等的方法.)
4.在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=∠A'，AB=A'B'，在下面判断中错误的是( )
(A)若添加条件AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'
(B)若添加条件BC=B'C'，则△ABC≌△A'B'C'
(C)若添加条件∠B=∠B'，则△ABC≌△A'B'C'
(D)若添加条件∠C=∠C'，则△ABC≌△A'B'C'
(本题意在考查对三角形全等判定条件(SSS、SAS、ASA、AAS)全面把握的情况和识别能力.)
5.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)①②③都带去
(本题意在考查判定三角形全等的条件(ASA)及数学在生活中的应用意识.) (第5题)
二、填空题(每小题4分，共16分)
6.如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其他对应角分别为__，对应边分别为__.
(本题意在考查全等三角形的对应元素的辨认.) (第6题)
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10 cm，BD=6 cm，则点D到AB的距离为__.
(本题意在考查对角的平分线性质的掌握情况.) (第7题)
8.如图，∠1=∠2，要使△ABC≌△ACE，还需添加一个条件是_____(填上你认为适当的一个条件即可).
(本题具有开放性，属条件开放题，考查三角形全等判定的知识；思维发散能力和思维的全面性.)
(第8题)
9.如图，AC⊥BD于O，BO=OD，图中共有全等三角形__对.
(本题意在考查判定三角形全等条件的综合运用、全等三角形的性质及观察能力、抽象思维能力.)
(第9题)
三、证明题(每题12分，共36分)
10.如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗?请找出来，并说明你的理由.
(本题意在考查根据已知条件证明两个三角形全等；利用全等三角形证明角相等的方法.)
(第10题)
11.如图，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠ADE=∠AED.
求证AB=AC
(本题意在考查寻找隐含条件，推出所需要的条件，证明两个三角形全等；并利用全等三角形证明线段相等的方法.)
(第11题)
12.如图，BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB.
求证：点D在∠BAC的平分线上.
(本题意在考查观察图形，探索选择适当的判定三角形全等的方法.)
(第12题)
四、试试看(14分)
13.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=1/2AB，已知△ABE≌△ADF.
(1)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；
(2)线段BE与DF有什么关系?证明你的结论.
(本题意在考查对平移、翻折、旋转的理解；合理猜想、探索，推理、论证能力也在考查之中.)
五、做做看(14分)
14.请用三角形全等的知识自行设计一种测量底部不可到达的物体的宽度(如河宽)的方案.
(本题是一道开放性试题，意在考查学生对本章知识的综合运用能力；同时考查将实际问题转化为数学问题和解决问题的能力.)
教学后记
课件36张PPT。 ◇新人教版◇八年级上册◇11.1.1 全等三角形☆第十一章☆全等三角形☆ ◇新人教版◇八年级上册◇☆第十一章☆全等三角形☆（1）(2)(3) 思考每组的两个图形有什么特点?观察重合能够完全重合的两个图形叫做全等形形状
相同大小
相同全等图形的特征：
全等图形的形状和大小都相同
同一张底片洗出的照片是能够完全重合的全等形包括规则图形和不规则图形全等能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形.注意：书写全等式时要
求把对应顶点字
母放在对应的位
置上。“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”≌全等于ABCDEF互相重合的边叫做对应边互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的角叫做对应角AB与DEBC与EFAC与DF∠A与∠D∠B与∠E∠C与∠F（全等三角形的对应角相等）ABCDEF1、全等三角形的对应边相等,2、全等三角形的对应角相等。（已知）（全等三角形的对应边相等） ∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F全等三角形的性质:∵△ABC≌△DEFABCDEF∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE,BC=EF,AC=DF.∴∠A= ∠D,∠B= ∠E,∠C= ∠F.ABCD∵△ABC≌△ABD∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD
∠C= ∠D.规律一：有公共边的，公共边是对应边ACODB∵△AOC≌△BOD∴AO=BO,AC=BD,OC=OD.∴∠A=∠B,∠C=∠D,
∠AOC= ∠BOD.规律二：有对顶角的，对顶角是对应角ABCDE∵△ABC≌△ADE∴AB=AD,AC=AE,BC=DE∴∠A=∠A,∠B=∠D,
∠ACB= ∠AED.规律三：有公共角的，公共角是对应角
ABCDE∵△ABC≌△DEC∴AB=DE,AC=DC,
BC=EC∴∠A=∠D,
∠B=∠E,
∠ACB= ∠DCE.规律四：一对最长的边是对应边
一对最短的边是对应边∵△ABC≌△FDE∴AB=FD,AC=FE,
BC=DE∴∠A=∠F,
∠B=∠D,
∠ACB= ∠FED.规律五：一对最大的角是对应角
一对最小的角是对应角已知△A0B≌△COD 指出图中两三角形的对应边和对应角已知△ABC≌△DCB 指出图中两三角形的对应边和对应角
找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、 △ ABE ≌ △ ACF对应角是： ∠A和∠A、 ∠ABE和∠ACF、 ∠AEB和∠AFC；对应边是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、 △ BCE ≌ △ CBF对应角是： ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、 △ BOF ≌ △ COE对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB和∠EOC。对应边是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。典型例题例1若ΔDEF≌ΔABC, ∠A=70°,∠B=50°,点A的对应点是点D,AB=DE,那么∠F的度数等于（ ）A.50° B.60° C.50° D.以上都不对分析: 由∠A=70°,∠B=50°知道:∠C=60°,所以ΔABC是不等边三角形,由点A的对应点是点D,AB=DE知道:∠F的对应角是∠C(60°)B典型例题例2如图,若ΔOAD≌ΔOBC, 且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD= .分析：由∠O=65°,∠C=20°知道, ∠OBC=95 °， 由ΔOAD≌ΔOBC知： ∠OAD=95 °。95 °典型例题例3：如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,④ ∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：由ΔABC≌ΔAEF和 ∠B=∠E知：AC=AF.所以①是正确的。①AC=AF,A典型例题例3：如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,④ ∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析:由AB=AE和①AC=AF知: EF=BC ,所以③是正确的。③EF=BC典型例题例3：如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,④ ∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析:由③EF=BC知: ∠BAC =∠EAF,得④ ∠FAC=∠EAB ,所以④是正确的。④ ∠FAC=∠EAB典型例题例3：如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,④ ∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析:因为④∠FAC=∠EAB ,要使②∠FAB=∠EAB正确,必须有∠FAC= ∠FAB,而AF并不是角平分线,所以②不正确。C典型例题例4：如图，已知ΔABC≌ΔFED, BC=ED, 求证:AB∥EF证明: ∵ΔABC≌ΔFED, BC=ED ∴BC与ED是对应边
∴∠ =∠ , ( ) ∴ AB∥EF将上述证明过程补充完整.AF全等三角形的对应角相等典型例题例5：如图，已知ΔABD≌ΔAEC, ∠B和∠E,是对应角,AB与AE是对应边,试说明:BC=DE.分析: 因为ΔABD≌ΔAEC并且∠B和∠E是对应角,所以AD和AC是对应边,又因为AB与AE是对应边,所以BD和EC是对应边,即BD=EC,所以BD－CD=EC－CD,所以BC=DE.典型例题例6：如图,已知ΔAEF是ΔABC绕A点顺时针旋转55°得到的,求∠BAE,∠CAF和∠BME的度数.解:因为AE和AF分别是AB和AC旋转后的位置,所以∠BAE=∠CAF= 55°;又因为ΔAEF≌ΔABC,所以∠B=∠E, 因为∠ANB和∠ENM是对顶角,所以∠BME= ∠BAE= 55°;∠A+∠B=∠C+∠D典型例题例7：如图,已知ΔABE≌ΔACD,且∠1=∠2, ∠B=∠C,请指出其余的对应边和对应角.分析:由ΔABE≌ΔACD以及∠1=∠2, ∠B=∠C知:∠ BAE与∠CAD是对应角,根据“对应角的对边是对应边 ”可知:AD与AE,AE与AD,BE与CD分别是对应边.2. 叫做全等三角形。 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应角对应顶点课 堂 小 结 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”对应边对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应
的位置上全等于≌ 其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿互相重合的边叫做＿＿＿＿互相重合的角叫做＿＿＿小结寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，
最小的边是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，
最小的角是对应角；
思考一： 若你手上有一张长方形纸片，如何是长方形变成两个最大的全等三角形，而总面积又没有 变化？思考二：拓展与延伸 下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？作业:习题13.1：第1、2 题 再 见课件13张PPT。 ◇新人教版◇八年级上册◇11.2.1 全等三角形☆第十一章☆全等三角形☆ ◇新人教版◇八年级上册◇☆第十三章☆全等三角形☆知识回顾①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 1、 什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫 全等三角形。2、 全等三角形有什么性质？情境问题: 小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办?1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。①只给一条边：②只给一个角：探究：2.给出两个条件：①一边一内角：②两内角：③两边：可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等。 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。探究新知 已知三角形三条边分别是 4cm，5cm，7cm，画出这个三角形，把所画的三角形分别剪下来，并与同伴比一比，发现什么？思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？ 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。用 数学语言表述：在△ABC和△ DEF中∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）应用迁移，巩固提高例1. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD分析：要证明△ ABD≌ △ ACD，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。归纳：①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论证明的书写步骤：思考 已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边边”证明△ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？解：要证明△ABC ≌△ FDE，还应该有AB=DF这个条件∵ DB是AB与DF的公共部分，且AD=BF
∴ AD+DB=BF+DB
即 AB=DF 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。证明：∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED，即BE=CD。在AEB和ADC中，
AB=AC
AE=AD
BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC练一练小结2. 三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；3.书写格式：①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤。1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。再 见课件20张PPT。 ◇新人教版◇八年级上册◇11.2.2 全等三角形☆第十一章☆全等三角形☆ ◇新人教版◇八年级上册◇☆第十三章☆全等三角形☆创设情景 因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢？。AB知识回顾 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。探究1对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？如图， △ABC和△ADE中，如果 DE∥AB，则∠A=∠A，∠B=∠ADE，∠C= ∠ AED，但△ABC和△ADE不重合，所以不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。画法：2. 在射线AM上截取AB= 3cm3. 在射线AN上截取AC=4cm 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC1. 画∠MAN= 45°4.连接BC∴△ABC就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？探究2问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？ 三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中AB=DE
∠B=∠E
BC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
练一练分别找出各题中的全等三角形40° DEF(1)(2)△ABC≌△EFD 根据“SAS”△ADC≌△CBA 根据“SAS”已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:△ ABD ≌△ CBDAB=CB(已知)∠ABD= ∠CBD(已知)？ABCD 现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:
问AD=CD，BD平分∠ADC吗？ 已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。
问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？ABCD练习 (2) 已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。
问∠A=∠ C 吗？补充题：
例1 如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明△AOB≌△COD的理由。例2 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。探究新知 因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。。AB 小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。想一想 AC=DC?
∠ACB=∠DCE
BC=EC △ACB≌△DCE
AB=DE小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40°40°3.5cm2.5cm结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等探究2猜一猜：是不是二条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？如图△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=AD， ∠B=∠B他们全等吗？注：这个角一定要是这两边所夹的角课堂小结:2. 用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形画三角形1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (边角边或SAS)3、会判定三角形全等作业A.1、作业本2、 画 一个三角形与已知三角形全等B. 作业本及习题精选P90 5、6 C.作业本及习题精选P90 8、9课件19张PPT。 ◇新人教版◇八年级上册◇11.2.3 全等三角形☆第十一章☆全等三角形☆ ◇新人教版◇八年级上册◇☆第十三章☆全等三角形☆1.什么是全等三角形？2.判定两个三角形全等要具备什么条件? 复习 三边对应相等的两个三角形全等。边边边：边角边：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。 一张教学用的三角形硬纸板不小心
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形
的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？创设情景,实例引入CBEAD 先任意画出一个△ABC，
再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，
∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B 。把画好
的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，
它们全等吗？探究1已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/，
使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：画法：2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。1、画A/B/＝AB； △A/B/C/就是所要画的三角形。问：通过实验可以发现什么事实？ 有两角和它们夹边对应
相等的两个三角形全等
(简写成“角边角”或“ASA”）。探究反映的规律是：用数学符号表示例题讲解：例2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AC=AD 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？探究2 有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。2.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
证明：2.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知）
∠D=∠C（已知）
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
证明：（1）学习了角边角、角角边
（2）注意角角边、角边角中两角与边的区别。
（3）会根据已知两角画三角形
（4）进一步学会用推理证明。小结布置作业P104 习题13.2 5、 6、 11.课件15张PPT。 ◇新人教版◇八年级上册◇11.2.4探索直角三角形全等的条件☆第十一章☆全等三角形☆ ◇新人教版◇八年级上册◇☆第十三章☆全等三角形☆回
顾
与
思
考1、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。SSSASAAASSAS3、如图，AB BE于B，DE BE于E，⊥ ⊥ 2、如图，Rt ABC中，直角边 、 ，斜边 。BCACAB（1）若 A= D，AB=DE，
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）
根据 （用简写法）△ △ 全等ASA（2）若 A= D，BC=EF，
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）△ △ AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）△ △ 全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）△ △ 全等SSS如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面让我们一起来验证这个结论。做一做已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c.想一想，怎样画呢？按照下面的步骤做一做：⑴ 作∠MCN=∠α=90°;⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;⑷ 连接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？直角三角形全等的条件斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.练一练⒊ 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).∴BC=BD
(全等三角形对应边相等). 2. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD
因为∠ADB=∠ADC=90°
AB=AC
AD=AD所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
所以BD=CD议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？∠ABC+∠DFE=90°.解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
则∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).∵ ∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流我们的生活离不开数学，我们要做生活的有心人。再 见课件17张PPT。三角形全等的条件复习课知识回顾：一般三角形 全等的条件：1.定义（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形 全等特有的条件：HL.包括直角三角形不包括其它形状的三角形分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC。C符合题意。说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角 ???????????? 。例题精析：分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全等.由题目已知只要证明AF＝CE，∠A＝∠C例2 如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，
求证： ?????????????说明：本题的解题关键是证明AF＝CE，∠A＝∠ C，易错点是将AE与CF直接作为对应边，而错误地写为：??????????????????????????????????又因为AD∥BC ，（ ？ ）（ ？ ） 分析：已知△ABC≌△ A1B1C1 ，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.例3已知：如图3，△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高.
求证：AD=A1D1图3说明：本题为例2的一个延伸题目，关键是利用三角形全等的性质及判定找到相等关系.类似的题目还有角平分线相等、中线相等.
说明：本题的解题关键是证明 ???????????? ，易错点是忽视证OE＝OF，而直接将证得的AO＝BO作为证明 ???????????? 的条件.另外注意格式书写.分析：AB不是全等三角形的对应边，
但它通过对应边转化为AB＝CD，而使AB+CD＝AD－BC，可利用已知的AD与BC求得。说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。例6：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。 已知： 如图，在Rt△ABC、Rt△ ??????? 中，∠ACB=∠ ??????? =Rt∠，BC= ?????，
CD⊥AB于D， ?????⊥ ?????于 ???，CD= ?????
求证：Rt△ABC≌Rt△
证明：在Rt△CDB和
Rt△ ????? 中
????????????????
∴Rt△CDB≌Rt△ ????????（HL）
由此得∠B=∠ ???
在△ABC与△ ???????中
?????????????????????
∴△ABC≌△ ???????（ASA）说明：文字证明题的书写格式要标准。1.如图1：△ABF≌ △CDE，∠B=30°， ∠BAE= ∠DCF=20 °.求∠EFC的度数.练习题：2 、如图2，已知：AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD，并延长相交AC、AB于F、E点．则图形中有（? ）对全等三角形.
A、2 B、3 C4 D、5
C图1图23、如图3，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共有（? ）
A、5对 B、4对 C、3对 D2对
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
4、如图4，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，DE=DC，延长BE交AC于F，
求证：BF是△ABC中边上的高.
提示：关键证明△ADC≌△BDEB 5、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：∠E=∠F.提示：由条件易证△ABC≌△CDA 从而得知∠BAC＝∠DCA ，即：AB∥CD.6、如图6，已知：∠A＝90°， AB=BD，ED⊥BC于 D.
求证：AE＝ED
提示：找两个全等三角形，需连结BE.图6本章综合训练1、下列各组条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A、AB=DE，BC=EF,∠A=∠D
B、∠A=∠D，∠C=∠F,AC=EF
C、AB=DE,BC=EF,ΔABC的周长等于ΔDEF的周长
D、∠A=∠D，∠B=∠E, ∠C=∠F
2、下列各组条件中，不能判定△ABC≌△DEF的一组是（ ）
A、∠A=∠D,∠B=∠E,AB= DE B、∠A=∠D ，AB= DE，AC=DF
C、∠A=∠D ，AB= DE，BC= EF D、AB= DE, AC=DF ,BC= EF
3、在△ABC和△A1B1C1中①AB= A1B1,②BC= B1C1③AC=A1C1④
∠A=∠A1⑤∠B=∠B1⑥∠C=∠C1则在下列条件中不能保证
△ABC≌△A1B1C1的是（ ）
A、①③⑤ B、①②⑤ C、②④⑤ D、①②③
4、已知△ABC≌△DEF,∠A=52°,∠B=67°BC=15cm
则∠F=_____,FE=_____cm.本章综合训练5、如图5在RtΔABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交于
点D，若CD=n，AB=m，则ΔABD的面积是_______
6、如图6，ΔABD的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、
其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S ：S ：S
等于______.
7、已知ΔABC的周长是15，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
过点O作OD⊥BC与点D，且OD=2，求ΔABC的面积。
8、如图7，ΔABE≌ΔADC≌ΔABC，若∠1︰∠2︰∠3=13︰3
︰2，求∠α的度数。课件13张PPT。角的平分线的性质（１）一、教学目标：
1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理．
2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理
3.能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力.
4.能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.
5.通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形成，养成永无止境的科学探索精神.
二、教学重点、难点： 1.教学重点：掌握角的平分线的性质定理及其逆定理.
2.教学难点：角平分线定理和逆定理的应用 ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢ作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．探究 角平分线上的点到角的两边的距离相等。在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？画一画,想一想,议一议1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵
∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。练一练在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。EDCBA如图，要在Ｓ区建一全集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处５００米，这个集贸市场应建于何处？想一想驶向胜利的彼岸已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. 回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.驶向胜利的彼岸1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.你发现了什么？再见课件13张PPT。11.3角的平分线的性质（2）1、会用尺规作角的平分线.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质:PD⊥OA，PE⊥OB∵ OC是∠AOB的平分线∴ PD＝PE用数学语言表述：复习 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．思考证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE课堂小结拓展与延伸3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.再见课件5张PPT。义务教育课程标准实验教科书八年级数学上全等三角形全章复习题1．下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
2． 下列各条件中，不能判定出全等三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
4．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
5．如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
6． 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（ ）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
D4题图5题图6题图CB、CDC7．如图.△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（ ）
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
8．要测量河两岸相对的两点A和B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，
使CD=BC,再定出B、F的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上，如图，可以得到△ABC≌△EDC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△ABC≌
△EDC的理由是（ ）A．SAS B． ASA C． SSS D．HL
9．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）
A．80° B．100° C．60° D．45°．
10.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这100°角对应相等的角是 （ ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
11.如图，△ABC≌△BAD，A和B.C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（ ）A.4cm B.5cm C.6cm D. 都不对
D8题图9题图BAAB12．如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=_____．
13．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF的边中必有一条边等于 ．
14．在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=
5︰3，则D到AB的距离为_____________．
15.如图若AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC需补充条件___ _或____.
16.如图，AB=DC，AD=BC，E.F是DB上两点且BE=DF，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF= .
17. 如图，△ABC≌△AED，若AB=AE ， ∠1=27°,则∠2= .
18.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E.F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有
对全等三角形.
19.如图，四边形ABCD的对角线相交于O点，且有AB∥DC，AD∥BC，则图中有＿＿＿对全等三角形.
20.如图，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠BOC＝_______.
12题图16题图17题图18题图10004cm或9.5cm1.5cmAE=DC∠B=∠DEC700270三四1080综合复习完课件8张PPT。义务教育课程标准实验教科书八年级数学上全等三角形全章检测题（时间90分钟 满分100分）1．能够 的两个图形叫做全等图形．
2．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_______；_______；_______；_______；_________．
3．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
4．如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= ．
5．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
6．如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌ ，且DF= ．
7．如图，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上
∠ =∠ ，或 ∥ ，就可证明ΔABC≌ΔDEF．
8．△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=___cm．完全重合6题图一、填空题（每题2分，共32分） 第3题图 第4题图
7题图SSSSASASAAASHL三ADC80°5△BCECEBDEFAB DE59．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB的距离是________．
10．如图已知AC＝BD，∠1=∠2，那么△ABC≌ ，判定根据是_ ___．
11．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件___ ＝ _ __．
12．如图，已知AC＝BD， ∠C＝∠D ，请添一个直接条件， ＝ ，使△AFC≌△DEB．
13．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带____去配，这样做的数学依据是 ．
14．把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为 米．
15．△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，O是三条角平分线的交点，则∠OAC＝______，∠BOC＝________．
16．将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中BC、BD为折痕，则∠BCD的度数为 ．第10题图 第11题图 第12题图4cm△BADSASAB ACCF BE③两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 0.0520度110度90度17．如下左图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝________，根据__________可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝_________．
18．如上右图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平
分∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．
∵AD平分∠BAC
∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∵ ∴△ABD≌△ACD（ ）
19．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．二、填空题（共68分）19题图∠COBSASBCBAD CADAB=AC (已知）∠BAD＝∠CAD (已证）AD=AD (公共边）SASCDE20．已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC．21．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证: ∠5=∠6． 22．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．23．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．24．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交
于点F，求证：BE=CD．25．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．26．已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：① △BEC≌△DAE；
②DF⊥BC．27．已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD．28．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线
OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，
证明你的结论．完课件10张PPT。义务教育课程标准实验教科书八年级数学上全等三角形全章检测题（时间90分钟 满分100分）1.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是
100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（ ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点
3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝B
4.如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，
若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝ （ ）
A.150° B.40° C.80° D.90°
5.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等
6、如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（ ）
A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC2题图一、填空题（每题3分，共30分） A3题图4题图6题图DCD提示AD7.如图BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）
A.25° B.27° C.30° D.45
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则（ ）
A.AF＝2BF B.AF＝BF C.AF＞BF D.AF＜BF
9.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
10．将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°7题图8题图9题图10题图BBDC提示二、填空题（每小题3分，共24分11. 如图，∠BAC＝∠ABD ，请你添加一个条件： ，使 OC=OD（只添一个即可）．
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由 可得△AFC≌△AEB.
13.如图，AB＝CD，AD＝BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若∠ADB＝60°，EO＝10，则∠DBC＝ ，FO＝ .
14.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB边的距离为＿＿＿.
15.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________.
16.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.
11题图12题图13题图16题图∠C=∠D或∠ABC=∠BAD或AC=BD或∠OAD=∠OBCSAS60°1014互补或相等517.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______.
18.如图，AD，A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC
B′C′边上的高，且AB＝A′B′，AD＝A′D′．若使△ABC≌△A′B′C′
，请你补充条件________.（填写一个你认为适当的条件即可）
三、解答题（第19-25每题8分,第26题10分,共60分）
19.已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的度数及DE的长.
35° 答案不惟一解：∵△DEF≌△MNP，∴DE＝MN，∠D＝∠M，∠E＝∠N，∠F＝∠P，∴∠M＝48°，∠N＝52°，∴∠P＝180°－48°－52°＝80°，DE＝MN＝12cm
20. 如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.
21.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③量出DE的长a米，FG的长b米.如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的.他的这种做法合理吗？为什么？
22.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD.EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.23.图①所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC
，BF⊥AC，若AB＝CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为②时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.
24.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：BG＝CF.
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.②①∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∴∠DEF＝∠BFE＝90°.∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+FE，即AF＝CE.在Rt△ABF与Rt△CDE中，AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF＝DE.在Rt△DEG≌Rt△BFG中，∠DGE＝∠BGF，DE＝BF，∴Rt△DEG≌Rt△BFG，∴EG＝FG，即BD平分EF.若将△DEC的边EC沿AC方向移动到图2时，其余条件不变，上述结论仍旧成立，理由同上.提示：寻找AF与CE的关系是解决本题的关键 （1）∵AC∥BG，∴∠GBD＝∠C，在△GBD与△FCD中，∠GBD＝∠C，BD＝CD，∠BDG＝∠CDF，∴△GBD≌△FCD，∴BG＝CF.（2）BE+CF＞EF，又∵△GBD≌△FCD(已证) ，∴GD＝FD，在△GDE与△FDE中，GD＝FD，∠GDE＝∠FDE＝90°，DE＝DE，∴△GDE≌△FDE(SAS) ，∴EG＝EF，∵BE+BG＞GE，∴BE+CF＞EF.25.（1）如图1，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.
（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？图2解：由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，∴这条小路的面积为(a+2b)平方米 S△ABC＝S△AEG 提示：∵△ABD≌△CDB，∴AB＝CD，
BD＝DB，AD＝CB，∠ADB＝∠CBD，
∴△ABD和△CDB的周长和面积都分别相
等.∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC. 解析：在Rt△ADB与Rt△EDC中，AD＝CD，BD＝ED，
∠ADB＝∠EDC＝90°，∴△ADB≌△CDE，∴∠ABD＝∠E.
在Rt△BDC与Rt△EDC中，BD＝DE，∠BDC＝∠EDC＝90°，
CD＝CD，∴Rt△BDC≌Rt△EDC，∴∠DBC＝∠E.∴∠ABD
＝∠DBC＝1/2∠ABC，∴∠E＝∠DBC＝1/2×54°＝27°.
提示：本题主要通过两次三角形全等找出∠ABD＝∠DBC＝∠E. 完
