(共24张PPT)
素养提升微专题(一) 客观题速解技巧
2025
规律方法
客观题在数学试卷中所占比重较大,若能根据题目特点,运用恰当的方法速解,则既能提高正确率,还能节省时间.常用的速解技巧有特例(特值)法、图解法、排除法、估算法等.
1.特例(特值)法
特例(特值)法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.
当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(如特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可简化推理、论证的过程.
2.图解法
对于一些含有几何背景的问题,往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,解决问题,得到正确的结果.几何图形中蕴含一定的数量关系,而数量关系常常又可通过图形直观展现,合理应用数与形之间的相互转化,可将问题化难为易,化抽象为具体.
3.排除法
选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过分析、推理、计算、判断各选项提供的信息或通过特例排除不符合要求的选项,从而得到正确结论的一种方法.
4.估算法
选择题提供了正确的选项,解答又无需过程.因此对这类题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加深了思维的层次.
考查角度
角度一 特例(特值)法
B
A
解析 由于题中直线PQ的条件是过点E,所以该直线是一条“动”直线,所以最后的结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.
图1
图2
角度二 图解法
A
解析 设f(x1)=m,画出函数f(x)的图象与直线y=m,如图所示.
则x1,x2,x3,x4是函数y=f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标.
由图可知,-log2x1=log2x2,
∴log2(x1x2)=0,
∴x1x2=1,x3+x4=12,2
[例2-2]已知直线l1:4x-3y+12=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2距离之和的最小值是 .
解析 画出抛物线y2=4x与直线l1,l2,如图所示.
由题意可知,直线l2是抛物线的准线.
过点P作直线l2的垂线,垂足为点A,过点P作直线l1的垂线,垂足为点B,设抛物线y2=4x的焦点为F,根据抛物线的定义,知|PA|=|PF|,所以动点P到直线l1和直线l2距离之和|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,过点F作直线l1的垂线,交抛物线于点P',则当点P位于图中的点P'处时,|PF|+|PB|取得最小值,此时最小值为焦点F到直线l1的距离,由点到直线的距离公式,得所求最小值为
角度三 排除法
B
所以g(x)为R上的奇函数,故f(x)的图象关于点(0,1)对称,排除C.
令h(x)=2x+sin x,当x>0时,h'(x)=2+cos x>0,则h(x)>h(0)=0,
所以当x>0时,f(x)>1,故排除D.
[例3-2]已知函数f(x)=(a-3)x-ax3在区间[-1,1]上的最小值为-3,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.[12,+∞)
C.[-1,12] D.
D
角度四 估算法
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
B
对点演练
1.已知在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d>0,前n项和为Sn,等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a4,前n项和为Tn,则( )
A.S4>T4 B.S4C.S4=T4 D.S4≤T4
A
2.下列命题为真命题的是( )
A
3.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( )
D
(方法二)设球的半径为R,如图所示,
2R=OA+OB>AB=2,故R>1,
所以S球=4πR2>4π,只有选项D满足.
解析 所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和“在特殊△ABC中”所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.
如图,以D为原点,BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
答案 (1,2)
由图可知,f(x)在区间(0,4)内单调递增,在区间(4,+∞)内单调递减,f(x)max=f(4)=2,函数g(x)=f(x)-k恰有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个交点,故1本 课 结 束(共130张PPT)
常 考 小 题 点
2025
小题点1
集合、常用逻辑用语
必备知识 精要梳理
1.集合
(1)A∪B={x|x∈A,或x∈B};A∩B={x|x∈A,且x∈B}; UA={x|x∈U,且x A};A∪B=A B A,A∩B=A A B.
(2)含有n(n∈N*)个元素的集合,其子集、真子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-2.
子集包括空集和其本身
规律方法若已知的集合是不等式的解集形式,则用数轴求解;若已知的集合是点集形式,则用数形结合法求解;若已知的集合是抽象集合形式,则用Venn图求解.
2.常用逻辑用语
(1)若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p q,则p是q的充要条件.
(2)充要条件的三种判断方法:①定义法;②集合法;③等价转化法.
名师点析判断充分条件、必要条件时要注意三点
(1)弄清先后顺序.“A的充分不必要条件是B”和“A是B的充分不必要条件”是不一样的.
(2)善于举反例.当不便从正面判断或证明一个命题的真假时,可以通过举恰当的反例来说明.
(3)注意合理转化. p是 q的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件,等等.
(3)“ x∈M,p(x)”的否定为“ x∈M, p(x)”;“ x∈M,p(x)”的否定为“ x∈M, p(x)”.
考向训练 限时通关
热点小题1 集合
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则 U(M∪N)=( )
A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}
A
解析 (方法一)因为M∪N={1,2,3,4},
所以 U(M∪N)={5}.
(方法二)因为 UM={3,4,5}, UN={1,2,5},
所以 U(M∪N)=( UM)∩( UN)={5}.
2.(2023·新高考Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
C
解析 由题意,x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,所以N=(-∞,-2]∪[3,+∞).又M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
3.已知集合A={-1,0,1},B={m|m2-1∈A,m-1 A},则集合B中所有元素之和为
( )
A.0 B.1
C.-1 D.
C
D
5.已知全集U=A∪B=(0,4],A∩( UB)=(2,4],则集合B=( )
A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(0,2] D.(0,2)
C
解析 因为U=A∪B=(0,4],A∩( UB)=(2,4],
所以B= U(A∩( UB))=(0,2].
6.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )
A. B.S C.T D.Z
解析 当n=2k,k∈Z时,s=4k+1,k∈Z;当n=2k+1,k∈Z时,s=4k+3,k∈Z,所以T S,故S∩T=T.
C
7.已知集合A={(x,y)|x+y=8,x∈N*,y∈N*},B={(x,y)|y>x+1},则A∩B的真子集个数为( )
A.3 B.6 C.7 D.8
解析 依题意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中满足y>x+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5)},有3个元素,故其真子集有23-1=7(个).
C
8.设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
B
9.(2024·广西桂柳冲刺卷)已知有限集X,Y,定义集合X-Y={x|x∈X,且x Y},|X|表示集合X中的元素个数.若X={1,2,3,4},Y={3,4,5},则|(X-Y)∪(Y-X)|=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
A
解析 ∵X={1,2,3,4},Y={3,4,5},∴X-Y={1,2},Y-X={5},
∴(X-Y)∪(Y-X)={1,2,5},∴|(X-Y)∪(Y-X)|=3.故选A.
10.(多选题)(2024·广西二模)对任意A,B R,记A B={x|x∈A∪B,x A∩B},并称A B为集合A,B的对称差.例如:若A={1,2,3},B={2,3,4},则A B={1,4}.下列命题中,为真命题的是( )
A.若A,B R且A B=B,则A=
B.若A,B R且A B= ,则A=B
C.若A,B R且A B A,则A B
D.存在A,B R,使得A B≠ RA RB
AB
解析对于A,因为A B=B,所以B={x|x∈A∪B,x A∩B},所以A B,且B中的元素不能出现在A∩B中,因此A= ,A正确;
对于B,因为A B= ,所以 ={x|x∈A∪B,x A∩B},即A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,B正确;
对于C,因为A B A,所以{x|x∈A∪B,x A∩B} A,所以B A,C错误;
对于D,由于 RA RB={x|x∈ RA∪ RB,x RA∩ RB}={x|x∈ R(A∩B), x R(A∪B)}={x|x∈A∪B,x A∩B},而A B={x|x∈A∪B,x A∩B},
故A B= RA RB,D错误.故选AB.
11.某班45名学生参加“3·12”植树节活动,每名学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”2个等级,结果如下表:
项目 等级 合计
优秀 合格 除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两项劳动中都“合格”的学生最多有10人,则在两项劳动中都“优秀”的学生最多为( )人.
A.5 B.10 C.15 D.20
C
解析 用集合A表示除草优秀的学生,B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则 UA表示除草合格的学生,则 UB表示植树合格的学生,作出Venn图如图所示.
设两个项目都优秀的学生人数为x,两个项目都合格的学生人数为y,由图可得20-x+x+30-x+y=45,x=y+5,因为ymax=10,所以xmax=10+5=15.
热点小题2 充分条件与必要条件
12.p:x2-x-2<0”是“q:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 x2-x-2<0 -1故p是q的必要不充分条件.
B
13.(2024·广东深圳中学一模)已知向量a=(3,3),b=(x,-2),则“x<2”是“a与b的夹角为钝角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
14.(2023·天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
解析 由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以a2=b2,故必要性成立;又当a=1,b=-1时,满足a2=b2,而a2+b2=2ab不成立,故充分性不成立.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.
15.“ln(x+1)<0”的一个必要不充分条件是( )
A.-10
C.-1D
解析 ln(x+1)<0等价于0因为-1所以“x<0”是“-1所以“ln(x+1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”.
16.(2023·新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;
乙: 为等差数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
17.“ x>0,a≤x+ ”的充要条件是( )
A.a>2 B.a≥2
C.a<2 D.a≤2
D
18.已知p:x2-3x+2≤0,q:x2-4x+4-m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.[1,+∞)
C.{0} D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
D
热点小题3 全称量词与存在量词
19.已知命题p: x>0,总有(x+1)ex>1,则 p为( )
A. x≤0,使得(x+1)ex≤1
B. x>0,使得(x+1)ex≤1
C. x>0,总有(x+1)ex≤1
D. x≤0,总有(x+1)ex≤1
B
解析 因为命题p: x>0,总有(x+1)ex>1是全称量词命题,所以其否定为存在量词命题,即 p: x>0,使得(x+1)ex≤1.
20.(2024·新高考Ⅱ,2)已知命题p: x∈R,|x+1|>1,命题q: x>0,x3=x,则( )
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
B
解析当x=-1时,|x+1|=0,所以命题p为假命题, p为真命题.因为立方根等于本身的实数有-1,0,1,所以 x>0,使得x3=x,所以命题q为真命题, q为假命题,所以 p和q都是真命题.故选B.
21.(多选题)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列说法正确的有( )
A. x∈R,f(x)=x-1
B. x∈R,n∈Z,f(x+n)=f(x)+n
C. x,y>0,f(lg x)+f(lg y)=f(lg(xy))
D. n∈N*,f(lg 1)+f(lg 2)+f(lg 3)+…+f(lg n)=92
BD
解析 对于A,当x∈Z时,f(x)=x,当x Z时,f(x)∈Z,而x-1 Z,
因此f(x)≠x-1,A错误;
对于B, x∈R,n∈Z,令f(x)=m,则m≤x因此f(x+n)=m+n=f(x)+n,B正确;
对于D,当n∈N*,且1≤n≤9时,f(lg n)=0,
当n∈N*,且10≤n≤99时,f(lg n)=1,而f(lg 100)=2,
因此f(lg 1)+f(lg 2)+f(lg 3)+…+f(lg 99)+f(lg 100)=92,此时n=100,D正确.故选BD.
小题点2
二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识 精要梳理
1.不等式的性质
对于不等式a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 acb>0,c>d>0 ac>bd.
2.基本不等式
(2)在利用基本不等式求最值时,要通过“拆”“拼”“凑”等技巧来满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
误区警示多次使用基本不等式求最值,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号,若等号不成立,一般利用函数的单调性求解.
3.二次函数与一元二次方程、不等式
(1)二次函数一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其图象是以直线x=- 为对称轴的抛物线;
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)为顶点坐标;零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0),x1,x2为函数f(x)的零点.
(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不等实根分别为x1,x2,则
(3)求一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集,先求其对应一元二次方程的根,再结合其对应的二次函数的图象确定一元二次不等式的解集.
名师点析解一元二次不等式的步骤:一化(将二次项系数化为正数),二判(判断判别式Δ的符号),三解(解对应的一元二次方程),四写(大于取两边,小于取中间).
规律方法解含有参数的一元二次不等式,往往从以下几个方面分类讨论:(1)二次项系数,它决定二次函数图象的开口方向;(2)判别式Δ,决定一元二次方程根的情形,一般分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况;(3)在有根的条件下,要比较两根的大小.
4.恒成立与能成立问题
已知f(x)有最大值和最小值.
(1)恒成立问题的转化:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
(2)能成立问题的转化:a≥f(x)能成立 a≥f(x)min;a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
考向训练 限时通关
热点小题1 不等式的性质与基本不等式
1.已知a,b∈R,且a>b,则下列各式成立的是( )
B
解析 由题意a,b∈R,且a>b,
若a=1,b=-1,则 ,故选项A中不等式不成立;
因为函数y=x3在定义域R上单调递增,所以a3>b3,故选项B中不等式成立;
若b=0,则ab=b2=0,故选项C中不等式不成立;
若a=1,b=-1,则2|a|=2|b|,故选项D中不等式不成立.
2.已知x>0,y>0,2x+3y=1,则4x+8y的最小值是( )
C
3.某公司购买一批机器投入生产,若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位:万元)与机器运转时间t(单位:年,t∈N*)的关系为s=-t2+23t-64,要使年平均利润最大,则每台机器的运转时间t为( )年.
A.5 B.6 C.7 D.8
解析 因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位:万元)与机器运转时间t(单位:年,t∈N*)的关系为s=-t2+23t-64,所以年平均利润
D
4.(多选题)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题为真命题的是( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
BC
5.(多选题)(2024·广西二模)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )
AD
6.能够说明“若a,b,m均为正数,则 ”是假命题的一组整数a,b的值可以是 .
答案 a=1, b=1(答案不唯一)
7.已知a>1,b>0,且a+2b=4,则ab的最大值为 ; 的最小值为 .
2
3
当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立.
由a+2b=4,可得a-1+2b=3.
热点小题2 二次函数的图象与性质
8.若函数f(x)=x2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-9],则实数m的取值集合是( )
A.{m|3≤m≤6} B.{m|3≤m≤7}
C.{m|6≤m≤7} D.{7}
D
解析 由题意,得y=x2-6x-16=(x-3)2-25,即函数y=x2-6x-16的图象关于直线x=3对称,且当x=3时,函数取得最小值-25.因为f(x)的定义域为[0,m],值域为[-25,-9],f(0)=-16,所以m>3.令f(x)=-9,即x2-6x-16=-9,解得x=-1(舍去)或x=7.故m=7.
9.“函数f(x)=x2-3mx+18在区间(0,3)内不单调”是“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
10.已知函数f(x)=mx2-(3-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( )
A.(1,9) B.(3,+∞)
C.(-∞,9) D.(0,9)
D
解析 当m<0时,二次函数f(x)=mx2-(3-m)x+1的图象开口向下,g(x)=mx单调递减,故存在x,使得f(x)与g(x)同时为负,不符合题意.
当m=0时,f(x)=-3x+1,g(x)=0显然不符合题意.
当m>0时,方程f(x)=mx2-(3-m)x+1=0的根的判别式Δ=m2-10m+9:
若Δ<0,则10恒成立,符合题意;
若Δ=0,则m=1或m=9 ,
当m=1时f(x)=(x-1)2,g(x)=x,符合题意,
若Δ>0,则09.
f(0)=1,如图,若要f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则必须有 >0,
故011.已知二次函数f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数x恒有f(3+x)=
f(3-x),若f(1-2x2)答案 (-2,0)
解析 因为f(3+x)=f(3-x),所以直线x=3是函数f(x)图象的对称轴.
因为二次函数f(x)的二次项系数为正,所以f(x)在区间(-∞,3]上单调递减,在区间[3,+∞)内单调递增.
因为1-2x2≤1,1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2,所以由f(1-2x2)得1-2x2>1+2x-x2,解得-2故实数x的取值范围为(-2,0).
12.已知当x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析 令3x=t,当x∈(0,+∞)时,t∈(1,+∞).
由题意,得f(t)=t2-mt+m+1>0在区间(1,+∞)内恒成立,即函数f(t)在区间(1,+∞)内的图象在x轴的上方,
而判别式Δ=(-m)2-4(m+1)=m2-4m-4,
热点小题3 二次函数与一元二次方程、不等式的综合
13.若 x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-3) B.(-∞,0)
C.(-∞,1) D.(-3,+∞)
C
解析 因为 x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,所以 x∈[-1,2],使得不等式a<-x2+2x成立.令f(x)=-x2+2x.因为函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,且f(x)的图象开口向下,所以当x∈[-1,2]时,f(x)max=f(1)=1,所以a<1.
14.已知函数f(x)=ax2+bx+c(ac≠0).若f(x)<0的解集为(-1,m),则下列说法正确的是( )
A.f(m-1)<0 B.f(m-1)>0
C.f(m-1)必与m同号 D.f(m-1)必与m异号
解析 因为f(x)<0的解集为(-1,m),
所以-1,m是一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个实数根,且a>0,m≠0,
所以f(x)=a(x+1)(x-m),所以f(m-1)=-am与m必异号.
D
15.知当a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围为
( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
C
解析 不等式x2+(a-4)x+4-2a>0(a∈[-1,1])恒成立,
即关于a的函数f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,当a∈[-1,1]时,f(a)>0恒成立,
16.(2023·天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为 .
答案 (-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析 令g(x)=x2-ax+1,则方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.
①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,
所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).
若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;
若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1,
②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.
若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1]·(x+1)(*),
若x2-ax+1<0,
有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1]·(x-1)(**),
小题点3
复数、平面向量
必备知识 精要梳理
1.复数
(1)复数的加、减、乘法运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.
即分子、分母同乘分母的共轭复数
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及平面向量 一一对应,|z-(a+bi)|=r(r,a,b∈R ,且r>0)表示复平面内以点(a,b)为圆心,r为半径的圆.
(3)复数的几个常见结论
名师点析1.复数问题实数化是解决复数问题的关键.
2.利用复数相等a+bi=c+di列方程时,a,b,c,d∈R是前提条件.
2.平面向量
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为非零向量,且a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,则a∥b 存在唯一一个实数λ,使a=λb x1y2-x2y1=0;
设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0.
(4)平面内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线 (x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.
名师点析在平面向量的化简与运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,注意向量的方向不能盲目转化.
3.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则有下面的结论.
名师点析极化恒等式的作用主要在于,它可以将两个不共线向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”,因此,当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时,常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.
热点小题1 复数及其运算
1.(2024·广西二模)i(6-7i)的共轭复数为( )
A.7+6i B.7-6i
C.6+7i D.-6-7i
B
解析因为i(6-7i)=6i-7i2=7+6i,所以复数i(6-7i)的共轭复数为7-6i.故选B.
考向训练 限时通关
2.设复数z满足(1+i)2z=5-2i,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
3.(2024·广西壮族自治区二模)已知(2+i)z=i,i为虚数单位,则|z|=( )
C
4.(2022·新高考Ⅰ,2)若i(1-z)=1,则z+ =( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
5.(2024·新高考Ⅰ,2)若 =1+i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
C
C
C
8.(多选题)已知复数z1= (i为虚数单位),则下列说法正确的是( )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为-1
D.满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上
AB
9.(多选题)(2024·九省联考)已知复数z,w均不为0,则( )
BCD
10.(多选题)设z为复数,则下列说法正确的是( )
ACD
A.|z|2=z B.z2=| |2
C.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2 D.若|z-1|=1,则0≤|z|≤2
对于D ,由|z-1|=1可知,在复平面内,复数z对应的点N的轨迹为以M(1,0)为圆心,1为半径的圆,则|z|表示点N到原点的距离,故当点O,N(O为坐标原点)重合时,|z|=0最小,当O,M,N三点共线且点O,N位于点M两侧时,|z|=2最大,故0≤|z|≤2.
对于B ,设z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,| |2=a2+b2,当a,b均不为0时,z2=|z|2不成立;
对于C ,由|z|=1可知,在复平面内,复数z对应的点Z的轨迹为以O(0,0)为圆心,1为半径的圆,|z+i|可以看成点Z到点Q(0,-1)的距离,当点Z位于点(0,1)处时,|z+i|取得最大值2;
11.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z= .
答案 1+2i(答案不唯一)
解析 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b即可得,答案不唯一,如z=1+2i.
答案 2
热点小题2 平面向量的概念及线性运算
13.如图,向量a-b=( )
A.e1-3e2 B.e1+3e2
C.-3e1+e2 D.-e1+3e2
D
14.已知a,b是两个不共线的非零向量,若(2a+3b)∥(3a+λb),则实数λ=( )
A
解析 因为(2a+3b)∥(3a+λb),3a+λb≠0,所以存在t∈R,使得2a+3b=t(3a+λb),所以(2-3t)a=(tλ-3)b,又因为a,b是两个不共线的非零向量,
15.(2022·新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=( )
A.-6 B.-5
C.5 D.6
C
16.(2022·新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
B
解析 如图.
17.(多选题)给出下列四个命题,其中为真命题的有( )
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若A,B,C,D是不共线的四点,则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C.若a=b,b=c,则a=c
D.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b
BC
18.如图,不共线的三个向量a,b,c以圆心O为起点,终点落在同一圆周上,且两两夹角相等,若c=xa+yb,则x+y=( )
A
解析 如图,因为不共线的三个向量a,b,c以圆心O为起点,终点落在同一圆周上,且两两夹角相等,所以顺次连接三个向量的终点A,B,C组成一个等边三角形,即O是这个等边三角形的中心也是重心.
故有a+b+c=0 a+b+xa+yb=0 (x+1)a+(y+1)b=0 x=-1,y=-1 x+y=-2.
热点小题3 平面向量基本定理及坐标表示
19.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
解析 (方法一)因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.
因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,所以4+x2=4x,
所以(x-2)2=0,解得x=2.故选D.
(方法二)因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).
因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2.故选D.
A
21.(多选题)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β), sin(α+β)),A(1,0),则( )
AC
22.已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
24.已知向量a=( ,1),b=(x,y)(xy≠0),且|b|=1,a·b<0,则向量b的坐标可以是 .(写出一个即可)
热点小题4 平面向量的数量积
25.(2023·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
D
解析 方法一:由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).
∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.
方法二:由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.
∵(a+λb)⊥(a+μb),
∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.
解得λμ=-1.故选D.
A.-9 B.-6 C.6 D.9
A
C
答案 27
解析 ∵四边形ABCD为矩形,
∴∠DAB=90°.
解析 如图所示,取OC的中点D,连接PD,因为O为AB的中点,
小题点4
排列、组合、二项式定理
必备知识 精要梳理
混合问题一般是先分类再分步
1.两个计数原理与排列组合
(1)两个计数原理
区分“分类”与“分步”,关键是看事件完成情况:若每种方法都能将事件完成,则是分类;若必须连续若干步才能将事件完成,则是分步.分类要用分类加法计数原理将种数相加,分步要用分步乘法计数原理将种数相乘.
名师点析对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数.
(2)排列、组合问题的求解方法与技巧
①特殊元素优先安排;②合理分类,准确分步;③排列、组合混合问题先选后排;④相邻问题捆绑处理,不相邻问题插空处理;⑤定序问题“缩倍法”处理;⑥分排问题直排处理;⑦“小集团”排列问题先整体后局部;⑧构造模型;⑨正难则反,等价条件.
2.排列数与组合数
乘积形式多用于数字计算,阶乘形式多用于证明恒等式
规定0!=1.
3.二项式定理
注意通项是展开式的第k+1项,不是第k项
名师点析应用二项式定理时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”,项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正.
(2)运用通项求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求k,再求所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1.
(4)在化简求值时,注意二项式定理的逆用,要用整体思想看待a,b.
考向训练 限时通关
热点小题1 两个计数原理
1. 某单位有4个垃圾桶,分别是可回收物垃圾桶、有害垃圾桶、厨余垃圾桶、其他垃圾桶.因为场地限制,要将这4个垃圾桶摆放在3个固定角落,每个角落至少摆放1个,则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落,它们的前后左右位置关系不作考虑)( )
A.18种 B.24种 C.36种 D.72种
C
解析 根据题意,将4个垃圾桶放到3个固定角落,其中有一个角落放两个垃圾桶,先选出2个垃圾桶,有 =6种选法,之后与另2个垃圾桶分别放在3个不同的角落有 种放法;
所以不同的摆放方法共有 =6×6=36种.
2.南北朝时期数学家祖冲之估计圆周率π的值在3.141 592 6和3.141 592 7之间.祖冲之对圆周率数值的精确推算值,对于中国乃至世界是一个重大贡献,后人将这个精确推算值用他的名字命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到小于3.14的不同数的个数为( )
A.240 B.360 C.600 D.720
A
3.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.数独的一个简化版如图所示,由三行三列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填1个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这3个数字,则不同的填法有( )
A.12种 B.24种
C.72种 D.216种
A
解析 先填第一行,有3×2×1=6种不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12种不同的填法.
4.某新闻机构安排4名记者和3名摄影师进行采访,其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访,另2名记者和2名摄影师分两组(每组记者和摄影师各1人),分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访.如果所有记者、摄影师都能承担3个采访区域的相应工作,则所有不同的安排方案有( )
A.36种 B.48种
C.72种 D.144种
C
解析 根据题意,分3步进行分析:
①在4名记者中任选2人,在3名摄影师中选出1人,安排到“云采访”区域采访,有 =18种情况;
②在剩下的2名记者中选出1人,2名摄影师中选出1人,安排到“汽车展区”采访,有 =4种情况;
③将最后的1名记者和1名摄影师,安排到“技术装备展区”采访,有1种情况.
则共有18×4×1=72种不同的安排方案.
5.在一次大学生运动会中,组委会将5名大学生分配到A,B,C三个路口进行引导工作,每个路口至少分配一人,每人只能去一个路口.若甲、乙要求去同一个路口,则不同的分配方案共有( )
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
C
6.某市要将VR大会展厅前的广场进行改造,在人行道(斑马线)两侧划分5块区域(如图),现有4种不同颜色的花卉,要求每块区域随机种植1种颜色的花卉,且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同,则不同的种植方式共有 种.
答案 288
解析 根据题意,对于区域①②,可以在4种颜色中任选2种,有 =12种选法;
对于区域③④⑤,可以在4种颜色中任选3种,有 =24种选法,则不同的种植方式有12×24=288种.
热点小题2 排列组合
7.(2022·新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
B
8.某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼,现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演,则语言类节目A和歌唱类节目B至少有1个被选中的不同选法种数是( )
A.15 B.45 C.60 D.75
解析 从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有 =90种选法,语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中有 =30种选法,所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90-30=60.
C
9.(2024·九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有( )
A.20种 B.16种
C.12种 D.8种
B
10.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.若空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验,三舱中每个舱至少一人至多三人,则不同的安排方法有( )
A.450种 B.72种
C.90种 D.360种
A
11.(2023·新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
64
12.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成
种不同的音序.
答案 32
解析 ①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有2 =24种音序;
②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的音序;
③若“角”在第二个或第四个位置上,则有2 =8种音序;
综上,共有24+8=32种音序.
13.某单位利用周日安排6名志愿者在某条东西走向的路上相邻的6个十字路口进行“创文”宣传活动,每个路口安排1名志愿者,则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,丙不在两端的安排方式共有 种.
答案 144
热点小题3 二项式定理
14.在 的展开式中,x4的系数为12,则a的值为( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
B
15.(2024·北京,4)在 的二项展开式中x3的系数为( )
A.6 B.-6
C.12 D.-12
A
16.已知多项式(x-1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+… +a10(x+1)10,则a7=( )
A.-960 B.960
C.-480 D.480
A
17.(x2+3x-1)5展开式中x的系数为( )
A.-3 B.3
C.-15 D.15
解析 ∵(x2+3x-1)5=[(3x-1)+x2]5=(3x-1)5+ (3x-1)4·x2+…+(x2)5,
∴含x的项只存在于(3x-1)5中,
∴x的系数为 (-1)4×3=15.
D
18.(多选题)已知 (a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
BCD
19.(多选题) 已知(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则( )
A.a0=28
B.a1+a2+…+a8=1
C.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38
D.a1+2a2+3a3+…+8a8=-8
AD
解析 由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=0,得a0=28,A选项正确.
令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=1,a1+a2+…+a8=1-28,B选项错误.
由此可知a1,a3,a5,a7是负数,a2,a4,a6,a8为正数,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=38,-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=38-28,
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-28,C选项错误.
由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,两边求导得-8(2-x)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,
令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8=-8,所以D选项正确.
答案 -10
答案 -28
答案 -320
22.(2021·山东聊城二模)已知 的展开式中各项系数的和为3,则展开式中的常数项为 .
23.已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1= , a2+a3+a4= .
答案 5 10
解析 因为a1为展开式中x3的系数,
令x=1,则有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,
所以a2+a3+a4=16-5-1=10.
本 课 结 束(共32张PPT)
二级结论——【高效解题】
2025
内容索引
01
02
函数与导数
三角函数与解三角形
03
数列
04
立体几何
05
统计与概率
06
解析几何
1 函数与导数
1.若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
2.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).
3.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,而偶函数则相反.
4.f(x)与g(x)有一个为偶函数,则f[g(x)]为偶函数,只有f(x),g(x)全为奇函数,f[g(x)]才为奇函数.
5.若奇函数f(x)在定义域D上有最值,则[f(x)]max+[f(x)]min=0.
6.若g(x)=f(x)+k,其中f(x)为奇函数,则必有g(-x)+g(x)=2k.
8.可导的偶函数的导函数是奇函数,可导的奇函数的导函数是偶函数.
9.函数y=|x-a|+|x-b|的值域为[|a-b|,+∞),y=|x-a|-|x-b|的值域为[-|a-b|,|a-b|].
13.关于周期性的几个结论:
(1)若函数y=f(x)对 x∈R,f(x+a)=f(x-a)恒成立,则函数y=f(x)的周期为2|a|;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则函数y=f(x)的周期为2|a|;
(3)若y=f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则函数y=f(x)的周期为4|a|;
(4)若函数y=f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称(a≠b),则函数y=f(x)的周期为2|a-b|;
(5)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b对称(a≠b),则y=f(x)的周期为2|a-b|.
14.函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则mn=1.
15.函数与其反函数的图象关于直线y=x对称,且只有单调函数才具有反函数.
16.切线放缩不等式:
(1)ln x≤x-1;(2)ln x≤ ;(3)ex≥x+1;(4)ex≥ex;
(5)x≥sin x(x≥0);(6)ex≥x2(x≥0).
2 三角函数与解三角形
1.当x>0时,总有sin x4.在△ABC中,acos B+bcos A=c,acos C+ccos A=b,bcos C+ccos B=a.
5.在△ABC中,A>B sin A>sin B cos A6.在非直角△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
7.若α,β是一个锐角三角形中的两个锐角,则必有sin α>cos β,sin β>cos α.
8.在△ABC中,sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;
3 数列
1.与等差数列有关的结论
2.与等比数列有关的结论
已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.
(2)当公比q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(3)若等比数列的项数为2n(n∈N*),奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,
则S偶=qS奇.
(4)Sm+n=Sm+qmSn(m,n∈N*).
4 立体几何
4.从同一个点O出发的三条射线OA,OB,OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面BOC上的射影在∠BOC的角平分线所在的直线上.
5.若长方体的一条体对角线与从同一个顶点出发的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则有sin2α+sin2β+sin2γ=2或cos2α+cos2β+cos2γ=1;若长方体的一条体对角线与从同一个顶点出发的三个侧面所成的角分别为α,β,γ,则有sin2α+sin2β+sin2γ=1或cos2α+cos2β+cos2γ=2.
5 统计与概率
1.概率加法公式的推广
(1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(2)若A1,A2,…,An两两互斥,则P( )=1-P(A1∪A2∪…∪An)
=1-P(A1)-P(A2)-…-P(An).
2.若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则
(1)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X);
(2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);
(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2;
(4)若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
(5)若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为:E(X)=μ,D(X)=σ2.
6 解析几何
1.直线系方程
(1)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
(2)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
(3)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0.
2.过圆或圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程
(1)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.
(3)过抛物线C:y2=2px(p≠0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).
3.椭圆、双曲线中焦点三角形的重要结论
(1)椭圆的焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.
③焦点三角形的周长为2(a+c).
(2)双曲线的焦点三角形:若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则 ,其中θ=∠F1PF2.
4.抛物线中的常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
5.椭圆、双曲线及抛物线中的斜率问题
图①
图②
图③
本 课 结 束