(共17张PPT)
素养提升微专题(六) 非线性经验回归问题
2025
问题提出
通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用.经验回归方程不一定总是线性的,也可能是非线性的,此类问题具有十分重要的现实意义.解决此类问题,应先选择合适的函数模型,进行变量代换,求出代换后的经验回归方程,再转化为非线性经验回归方程.
典例分析
[例] 某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表和散点图.
x 1 2 3 4 5 6
y 0.5 1 1.5 3 6 12
z=ln y -0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后,计划分别用①y=bx+a和②y=edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,请根据统计表的数据,确定方案①和②的经验回归方程;(注:系数b,a,d,c按四舍五入保留一位小数)
(2)根据下表中数据,用相关指数R2(不必计算,只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测当研发年投资额为8百万元时,产品的年销售量是多少
规律方法非线性经验回归方程的求法
(1)根据原始数据作出散点图(或题目中已知散点图).
(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数.
(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求经验回归方程.
(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性经验回归方程.
对点演练
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
某公交公司近期推出支付方式A和支付方式B扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(计十人次为1个单位,例如y=6表示60人次),统计数据如表所示.
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数),哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y与x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如下表所示
支付方式 现金 乘车卡 扫码
比例 10% 60% 30%
解 (1)根据散点图判断,在推广期内,y=c·dx(c,d均为大于零的常数)适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型.
本 课 结 束(共60张PPT)
专项突破五 统计与概率解答题
专题五
2025
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.离散型随机变量的方差公式
名师点析方差和标准差都是描述一组数据离散程度大小的量.
2.期望与方差的性质
(1)离散型随机变量期望的性质
①E(aX+b)=aE(X)+b;
②若X~B(n,p),则E(X)=np;
③若X服从两点分布,则E(X)=p.
(2)离散型随机变量方差的性质
①D(aX+b)=a2D(X);
②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);
③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
3.正态分布
正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:(1)P(μ-σ
(3)P(μ-3σ注意是σ2,不是σ
关键能力 学案突破
突破点一
正态分布及其应用
[例1] 某工厂一台设备生产一种特定零件,工厂为了解该设备的生产情况,随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位:cm),经统计得到下面的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2.(用每组数据的中点值代表该组的均值)
①为了监控该设备的生产过程,每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标,如果关键指标出现了[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为生产过程可能出现了异常,需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标:
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
②若设备状态正常,记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件个数,求P(X≥1)及X的均值.
②抽测一个零件关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,
所以抽测一个零件关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为1-0.997 3=0.002 7,
故X~B(10,0.002 7),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 310≈1-0.973 3=0.026 7,
所以E(X)=10×0.002 7=0.027.
规律方法利用正态曲线的对称性求概率的策略
(1)解决此类问题的关键是利用对称轴直线x=μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系,必要时,可借助图形判断.
(2)对于随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),由直线x=μ是正态曲线的对称轴可知:
①对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
②P(X③P(a(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率,将所求问题向P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ ≤X≤μ+3σ)转化,然后利用特定值求出相应概率.同时,要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质.
精典对练 得高分
某网络APP在平台开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立.已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动.
(2)已知该闯关活动累计得分X服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2 500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;
②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)设Ai:第i次通过第一关,Bi:第i次通过第二关,i=1,2,甲可以进入第三关的概率为P.
由题意知
(2)设此次闯关活动的分数记为X~N(μ,σ2).
①由题意可知μ=171,
所以前400名参赛者的最低得分低于μ+σ=261,而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励.
数学思想 扩思路
函数与方程思想
某届女排世界杯共有12支参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球,已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后积分最高的队伍取得最后冠军(若积分相同需要进行加赛).积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮A队对抗B队,设每局比赛A队取胜的概率为p(0(1)若比赛准备了1 000个排球,请估计质量指标在[260,265]内的排球个数(计算结果取整数).
(2)第10轮比赛中,记A队3∶1取胜的概率为f(p).
①求出f(p)的最大值点p0;
②若以p0作为p的值,记第10轮比赛中,A队所得积分为X,求X的分布列及均值.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
X的分布列为
点评在求f(p)的最大值点p0时,因为f(p)是关于变量p的函数,故利用导数研究函数单调性,从而得最大值点.体现了函数与方程思想的运用.
突破点二
均值与方差在实际问题中的应用
等级 A级 B级 C级
个数 40 40 20
[例2]某公司从进入市场的某种商品中随机抽检100个,利用等级分类标准得到数据如下.
(1)以表中抽检的样本估计全市该商品的等级,现从全市上市的该商品中随机抽取10个,若取到k个A级品的可能性最大,求k的值;
销量/吨 15 16 17 18 19 20
年数 2 4 5 6 2 1
(2)一连锁超市采购商每年采购A级该商品,前20年该商品在此超市的实际销量统计如下表.
今年A级该商品的采购价为0.8万元/吨,超市以1.6万元/吨的价格卖出,由于商品不易储存,卖不完当垃圾处理.超市计划今年购进17吨或18吨该商品,你认为应该购进17吨还是18吨 请说明理由.
(2)超市购进17吨该商品时,利润为ξ1,卖出的吨数为X1,
X1的可能取值为15,16,17,
ξ1的可能取值为10.4,12,13.6,
规律方法利用均值与方差进行决策的思想方法
随机变量的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或者集中与分散的状况.品种的优劣、设备的性能、采购的数量、预报的准确与否等很多指标都与这两个特征量有关.
精典对练 得高分
(2024·新高考Ⅱ,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
解 (1)设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”,则P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784.
设A2=“乙在第二阶段至少得5分”,则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875.
设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”,则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686.
(2)(ⅰ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲,则P甲=[1-(1-p)3]·q3=pq3·(3-3p+p2).
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙,
则P乙=[1-(1-q)3]·p3=qp3·(3-3q+q2).
则P甲-P乙=pq(3q2-3pq2+p2q2-3p2+3p2q-p2q2)=3pq(q-p)·(p+q-pq),
由00,p+q-pq=p+q(1-p)>0,
所以P甲-P乙>0,即P甲>P乙.故应该由甲参加第一阶段比赛.
(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15.
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]··q·(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]··q2·(1-q),
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
所以E(X)=[1-(1-p)3]·[15q(1-q)2+30q2(1-q)+15q3]=[1-(1-p)3]·15q
=15pq(p2-3p+3).
若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15.
P(Y=0)=(1-q)3+[1-(1-q)3](1-p)3,
P(Y=5)=[1-(1-q)3]p(1-p)2,
P(Y=10)=[1-(1-q)3]p2(1-p),
P(Y=15)=[1-(1-q)3]p3,
所以E(Y)=15pq(q2-3q+3).
E(X)-E(Y)=15pq(p2-3p-q2+3q)=15pq·(q-p)·(3-p-q),
由00,3-p-q=3-(p+q)>0,
所以E(X)-E(Y)>0,即E(X)>E(Y).
故应该由甲参加第一阶段比赛.
数学思想 扩思路
为了庆祝党的二十大顺利召开,某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节,两个环节均设置10道题,其中5道人文历史题和5道地理环境题.
(1)在抢答环节,某代表队非常积极,抢到4次答题机会,求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率;
(2)在必答环节,每个代表队从5道人文历史题和5道地理环境题中各选2题,各题答对与否相互独立,每个代表队可以先选择人文历史题,也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节,仅当第一类问题中2题均答对,才有资格开始第二类问题答题.已知答对1道人文历史题得2分,答对1道地理环境题得3分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是 ,答对地理环境题的概率都是 .请你为该代表队作出答题顺序的选择,使其得分均值更大,并说明理由.
点评第(2)问,根据题意分类讨论,分别求出该代表队两种不同答题顺序下的均值,比较它们的大小即可得出答案.
突破点三
概率分布与其他知识的综合
(1)封闭集训期间,记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X,求X的分布列与数学期望;
(2)封闭集训期间,记某运动员第n天进行有氧训练的概率为Pn,求P45.
规律方法概率与数列的综合是新高考卷的新命题内容,难度中等偏难,常在大题中考查,在本题问题中,Pn的概率分布只能由Pn-1决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.
精典对练 得高分
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率;
(2)记该同学第n(n∈N*)天选择米饭套餐的概率为Pn,
数学思想 扩思路
数形结合思想
为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示.
甲型号减排器
乙型号减排器
综合得分k的范围 减排器等级 减排器利润率
k≥85 一级品 a
75≤k<85 二级品 5a2
70≤k<75 三级品 a2
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级分层随机抽样的方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取4件,求至少有2件一级品的概率;
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,则:
①若从乙型号减排器中随机抽取3件,求二级品数ξ的分布列及均值E(ξ);
②从长期来看,投资哪种型号的减排器平均利润率较大
点评解决本题的关键是通过阅读已知的频率分布直方图和表格得出需要的数据并应用.
本 课 结 束(共39张PPT)
第1讲 统计与统计案例
专题五
2025
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.抽样方法
(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,则每个个体被抽到的概率都为
等可能性,公平性
名师点析简单随机抽样、分层抽样都是等概率抽样,体现了抽样的公平性,但又各有其特点和适用范围.
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样,即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.
2.统计中的四个数据特征
(1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据.
(2)中位数:在样本数据中,将数据按大小排列,如果数据的个数是奇数,位于最中间的数据作为中位数.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.
探究在频率分布直方图中如何确定众数、中位数和平均数
在频率分布直方图中,众数是最高小长方形底边中点的横坐标;中位数左边和右边的小长方形的面积是相等的;平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
3.变量间的相关关系
(1)一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,那么我们称这两个变量线性相关.
当r<0时,称成对样本数据负相关.当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.
名师点析根据经验回归方程进行预测,得到的仅是一个预测值,而不是真实发生的值.
4.独立性检验
对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其样本频数列联表如下.
X Y 合计
Y=y1 Y=y2 X=x1 a b a+b
X=x2 c d c+d
合计 a+c b+d n
关键能力 学案突破
突破点一
用样本估计总体
[例1] 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下.
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1
旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
规律方法用样本估计总体的解题步骤
(1)用样本的频率估计总体的步骤
①确定样本容量N.②确定事件发生的次数(频数).③求频率 .④估计总体.
(2)用样本的数字特征估计总体的步骤
①确定样本.②求样本的平均数、众数、中位数、方差(标准差).③由数字分析样本、估计总体.
对点练1
(2022·新高考Ⅱ,19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;
(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)估计该地区一人患这种疾病,患者年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口数的16%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.000 1).
解 (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为
=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020
+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).
(2)由题图,得这100位这种疾病患者中年龄位于区间[20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故可估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.
(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)},C={任选一人患这种疾病},由条件概率公式可得
突破点二
线性回归分析
[例2]党的二十大报告提出:“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛道,不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程,决定对其核心系统DAP,采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计(年份代码1~5分别对应2018~2022年)如下折线图.
2018~2022年研发人数折线图
(1)根据折线统计图中数据,计算该公司研发人数y与年份代码x的相关系数r,并由此判断其相关性的强弱;
(2)试求出y关于x的经验回归方程,并预测2024年该公司的研发人数(结果取整数).
规律方法求经验回归方程的方法
(2)若所求的经验回归方程是在解答题中,则求经验回归方程的一般步骤如下:
(3)非线性回归分析问题的求解关键:①转化,通过取对数、取倒数、平方(开方)等,把非线性经验回归方程转化成线性经验回归方程;②判断,通过相关系数或决定系数的计算,判断拟合效果.
对点练2
为促进新能源汽车的推广,某市逐渐加大充电基础设施的建设,该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量(单位:个),得到如下表格.
年份编号x 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
新能源汽车充电站数量y/个 37 104 147 186 226
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的经验回归方程,并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量.
突破点三
独立性检验
[例3]为了解空气质量指数(AQI值)与参加户外健身运动的人数之间的关系,某校环保小组在暑假期间(60天)进行了一项统计活动:每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数,并与当天AQI值(从气象部门获取)构成60组成对数据(xi,yi)(i=1,2,…,60),其中xi为当天参加户外健身运动的人数,yi为当天的AQI值,并制作了散点图:
连续60天参加健身运动人数与AQI值散点图
(1)环保小组准备作y与x的线性回归分析,算得y与x的样本相关系数为
r≈-0.58,试分析y与x的线性相关关系;
(2)环保小组还发现散点有分区聚集的特点,尝试作聚类分析.用直线x=100与y=100将散点图分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(如图),统计得到各区域的点数分别为5,10,10,35,试依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析“参加户外健身运动的人数不少于100是否与AQI值不大于100之间有关联”.
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
解 (1)r≈-0.58,y与x的相关关系为负相关,且|r|<0.75,故线性相关性不强,所以不建议继续做线性回归分析,即使得到经验回归方程,拟合效果也会不理想.
AQI值 人数 合计
人数<100 人数≥100 AQI>100 10 5 15
AQI≤100 10 35 45
总计 20 40 60
(2)建立2×2列联表如下
零假设为H0:参加户外健身运动的人数不少于100与AQI值不大于100之间无关联.
依据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,即认为参加户外健身运动的人数不少于100与AQI值不大于100之间有关联.
规律方法独立性检验的一般步骤
(1)提出零假设H0:X和Y相互独立.
(2)根据抽样数据列出2×2列联表.
(3)计算随机变量χ2的值,查表确定临界值xα.
(4)当χ2≥xα时,就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;否则,就没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.
对点练3
肥胖人群有很大的健康隐患.目前,国际上常用身体质量指数(英文为Body Mass Index,简称BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是 ,中国成人的BMI数值标准为:BMI<18.5为偏瘦,
18.5≤BMI<23.9为正常,24≤BMI<27.9为偏胖,BMI≥28为肥胖.某地区随机调查了6 000名35岁以上成人的身体健康状况,其中有1 000名高血压患者,得到被调查者的频率分布直方图如图.
高血压
非高血压
是否高血压 胖瘦程度 合计
肥胖 不肥胖 高血压
非高血压
合计
(1)求被调查者中肥胖人群的BMI平均值μ(每一组用该组区间的中点值作为代表);
(2)根据频率分布直方图,完成下面的2×2列联表,依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析35岁以上成人患高血压是否与肥胖有关.
α 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解 (1)由题图可知,1 000名高血压患者的肥胖情况如下表所示.
BMI [28,30) [30,32) [32,34)
人数 0.100×2×1 000=200 0.050×2×1 000=100 0.025×2×1 000=50
5 000名非高血压患者的肥胖情况如下表所示.
BMI [28,30) [30,32) [32,34)
人数 0.080×2×5 000=800 0.030×2×5 000=300 0.005×2×5 000=50
被调查者中肥胖人群的BMI平均值
(2)由(1)及频率分布直方图知,1 000名高血压患者中有200+100+50=350人肥胖,5 000名非高血压患者中有800+300+50=1 150人肥胖,所以可得列联表.
是否高血压 胖瘦程度 合计
肥胖 不肥胖 高血压 350 650 1 000
非高血压 1 150 3 850 5 000
合计 1 500 4 500 6 000
零假设为H0:35岁以上成人患高血压与肥胖无关.
依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,
即认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.
本 课 结 束(共55张PPT)
第2讲 概率、随机变量及其分布
专题五
2025
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.概率的计算公式
(2)互斥事件的概率计算公式:P(A∪B)=P(A)+P(B).
(3)对立事件的概率计算公式:P(B)=1-P(A).
对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件
误区警示要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
2.两种特殊分布
(1)超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
名师点析1.超几何分布的模型是不放回抽样,要注意明确其中参数M,N,n的含义.
2.二项分布的条件是独立性与重复性.
3.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),可用表格表示.
X x1 x2 x3 … xn
P p1 p2 p3 … pn
概率之和等于1
名师点析1.离散型随机变量的分布列的两个性质:
(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.
2.均值公式:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi.
关键能力 学案突破
突破点一
古典概型
[例1-1] 某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯(如图所示),其中有2头LED灯出现故障.假设每头LED灯出现故障都是等可能的,则这2头出现故障的LED灯相邻(横向相邻或纵向相邻)的概率为( )
A
解析 每列相邻的LED灯共4对,共有5列,故纵向相邻有4×5种;同理横向相邻也有4×5种,所以这2头出现故障的LED灯相邻的概率为
[例1-2] (2024·新高考Ⅰ,14)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 .
解析 因为甲出卡片1一定输,出其他卡片有可能赢,所以四轮比赛后,甲的总得分最多为3.
若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢,所以只有1种组合:
3—2,5—4,7—6,1—8.
若甲的总得分为2,有以下三类情况:
第一类,当甲出卡片3和5时赢,只有1种组合,为3—2,5—4,1—6,7—8;
第二类,当甲出卡片3和7时赢,有3—2,7—4,1—6,5—8或3—2,7—4,1—8,5—6或3—2,7—6,1—4,5—8,共3种组合;
第三类,当甲出卡片5和7时赢,有5—2,7—4,1—6,3—8或5—2,7—4,1—8,3—6或5—4,7—2,1—6,3—8或5—4,7—2,1—8,3—6或5—2,7—6,1—4,3—8或5—2,7—6,1—8,3—4或5—4,7—6,1—2,3—8,共7种组合.
综上,甲的总得分不小于2共有12种组合,而所有不同的组合共有4×3×2×1=24(种),所以甲的总得分不小于2的概率
规律方法古典概型求解的关键点
(1)解答古典概型问题,关键是正确求出样本空间Ω包含的样本点个数和事件A包含的样本点个数,常用到计数原理与排列、组合的相关知识.
(2)在求样本点个数时,要准确理解样本点的构成.
对点练1
(1)甲、乙两人进行扑克牌积分比赛.比赛规则为:甲、乙两人先各抽三张扑克牌,每局比赛双方同时各出一张牌,牌大者得2分,牌小者得0分,牌一样大两人各得1分,每张牌只能出一次,共比赛三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛结束后甲得4分的概率为( )
D
(2)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数列中(其中n为非零自然数),数列{6n-1}中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴性素数;数列{6n+1}中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是 .
解析 30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个.
其中阴性素数有5,11,17,23,29共5个,阳性素数有7,13,19共3个.
突破点二
条件概率及相互独立事件的概率
命题角度1 条件概率
B
[例2-2]在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5,且三人的测试结果相互独立,则测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为( )
A
规律方法条件概率的3种求法
对点练2
(1)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子,将它们叠成一叠,在已知黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下,黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为( )
C
(2)(2023·广东六校联考)某公司在某地区对商品A进行调查,随机调查了100位购买商品A的顾客的性别,其中男性顾客18位.已知该地区商品A的购买率为10%,该地区女性人口占该地区总人口的46%.从该地区中任选一人,若此人是男性,则此人购买商品A的概率为 .
解析 设从该地区中任选一人,此人是男性为事件B,此人购买商品A为事件C,
则该地区男性人口占该地区总人口的1-46%=54%,
命题角度2 相互独立事件的概率
[例2-3] (2023·新高考Ⅱ,12)(多选题)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是( )
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
ABD
解析 设事件“发送0,收到0”为事件A0,设事件“发送0,收到1”为事件A1,设事件“发送1,收到0”为事件B0,设事件“发送1,收到1”为事件B1.
由题知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互独立.对于选项A,所求事件为B1A0B1,
所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)·(1-β)2,所以A正确;对于选项B,所求事件为B1B0B1,
所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正确;
对于选项C,所求事件为B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,
又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,
所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C错误;
对于选项D,采用三次传输,事件为A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,
所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.
采用单次传输,P(A0)=1-α.
所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)
=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).
因为0<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以发送0,采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率,所以选项D正确.故选ABD.
[例2-4]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18
解析 前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.
规律方法求相互独立事件和n重伯努利试验的概率的注意点
(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的“和”事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的“积”事件,然后用概率公式求解.
(2)注意辨别n重伯努利试验的基本特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.
对点练3
(2022·全国甲,理19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与均值.
解 (1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,
所以甲学校获得冠军的概率为
=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2
=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.
(2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,
所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
均值E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
命题角度3 全概率公式
[例2-5] 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为( )
A.0.23 B.0.47 C.0.53 D.0.77
D
解析 由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%,记事件A1,A2,A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,
所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%,
记事件B为“选到绑带式口罩”,则P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.
[例2-6] 现有甲、乙两个口袋,其中甲口袋内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球;乙口袋内装有两个1号球,一个2号球,一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球,将取出的球放入乙口袋中,第二次从乙口袋中任取一个球,则第二次取到2号球的概率为 .
解析 记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i号球,i=1,2,3.
依题意A1,A2,A3两两互斥,其和为Ω,
增分技巧应用全概率公式求概率的步骤
(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的Ω的一个划分A1,A2,A3,…,An;
(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)来表示待求的事件;
(3)代入全概率公式求解.
对点练4
人工智能领域让贝叶斯公式: 站在了世界中心位置,AI换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下,它有98%的可能鉴定为“AI”;它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下,它有4%的可能鉴定为“AI”视频.已知某个视频被鉴定为“AI”视频,则该视频是“AI”合成的可能性约为( )
A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4%
C
突破点三
随机变量的分布列
命题角度1 超几何分布
[例3-1]为了解学生对食堂用餐满意度情况,某兴趣小组按性别采用分层随机抽样的方法,从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分,满分为100分.调查结果显示:最低分为51分,最高分为100分.随后,兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:
男生评分结果的频数分布表
分数区间 频数
[50,60) 3
[60,70) 3
[70,80) 16
[80,90) 38
[90,100] 20
女生评分结果的频率分布直方图
为了便于研究,兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下表所示.
分数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意
(1)求a的值;
(2)为进一步改善食堂状况,从评分在[50,70)的男生中随机抽取3人进行座谈,记这3人中对食堂“不满意”的人数为X,求X的分布列;
(3)以调查结果的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取一名学生,求其对食堂“比较满意”的概率.
解 (1)因为(0.005+a+0.020+0.040+0.020)×10=1,
所以a=0.015.
(2)依题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为:
(3)设事件A=“随机抽取一名学生,对食堂‘比较满意’”.
因为样本人数为200,其中男生共有80人,所以样本中女生共有120人.
由频率分布直方图可知,女生对食堂“比较满意”的人数共有120×0.020×10=24,
由频数分布表,可知男生对食堂“比较满意”的共有16人.
规律方法求超几何分布的分布列的步骤
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
对点练5
某中学高一(1)班举行知识竞赛.这次竞赛前21名同学的成绩排序如下:
男生 203,204,209,212,216,218,218,222,227,228,229,235,237,238.
女生 200+x(0≤x≤9,且x∈Z),212,216,221,228,230,236.
已知前7名女生的平均得分为221分.
(1)①求x的值;
②如果在竞赛成绩高于205分的学生中按性别分层随机抽样抽取6人,再从这6人中任选3人作为下周班会中心发言人,求这3人中有女生的概率.
(2)如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会,用X表示4人中成绩超过235分的人数,求X的分布列和均值.
命题角度2 二项分布
[例3-2]动车和快速公交(BRT)的出现,方便了人们的出行,并且带动了我国经济的巨大发展.根据统计,2023年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多,为了调查乘客对出行方式的满意度,研究人员随机抽取了500名乘客进行调查,所得情况统计如下所示.
满意 程度 30岁以下 30~50岁 50岁及50岁以上 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT
满意 50 5 100 10 100 20
一般 20 15 40 20 20 25
不满意 5 0 20 10 20 20
(1)若从样本中任取1人,求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率;
(2)记满意为10分,一般为5分,不满意为0分,根据表中数据,计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差;
(3)以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率,若从所有乘客中随机抽取4人,记年龄在30~50岁的乘客人数为X,求X的分布列及均值.
规律方法破解有关二项分布的“四关”
对点练6
“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表);
(2)现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率;
(3)用频率估计概率,从所有参与生态文明建设关注调查的人员(假设人数很多,各人是否关注生态文明建设互不影响)中任意选出3人,设这3人中关注生态文明建设的人数为X,求随机变量X的分布列及均值.
解 (1)由小矩形面积和等于1可得(0.01+0.015+a+0.03+0.01)×10=1,
解得a=0.035.
所以平均年龄为(20×0.01+30×0.015+40×0.035+50×0.030+60×0.010)×10=41.5(岁).
本 课 结 束