湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二（上）期末联考数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省武汉市部分重点中学 2024-2025 学年高二（上）期末联考数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 2 = 4 的焦点到准线的距离是( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 4
2
2.在等差数列{ }中，若 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 150，则 1 + 11的值为( )
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
2
3.已知 1， 2是双曲线
2 = 1的左，右焦点， 是双曲线右支上一点，且|
3 1
2|是| 1|和| 2|的等差中
项，则 △ 的值为( ) 1 2
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
1
4.已知数列{ }为等比数列， 1 = ，公比 = 2，若 是数列{ }的前 项积，则 取最小值时 为( ) 256
A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 9或10
5.在平面直角坐标系 中，已知点 ( 2,0)， (2,0)，点 是平面内一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 若| | + | | = 4，则点 的轨迹为椭圆
B. 若| | 2| | = 0，则点 的轨迹为椭圆
C. 若| | | | = 4，则点 的轨迹为直线
D. 若| | | | = 2，则点 的轨迹为双曲线的一支

6.设等差数列{ }，{ }的前 项和分别为 ， ，若
2 +1
= ，则
7的值为( )
3 1 5
19 27 27 27
A. B. C. D.
26 26 32 38
2 2
7.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点分别为 1， 2，点 是椭圆上的一点，且点 在 轴上方，
△ 1 △ 的内切圆圆心为 ，若 21 2 = (2 < 3)则椭圆的离心率 的取值范围是( ) △ 1 2
1 1 1 1 1
A. [ , ) B. (0, ] C. [ , 1) D. [ , 1)
3 2 3 2 3
2 2
8.已知椭圆 + = 1( > 0)的上，下焦点分别为 1， 2，抛物线
2 = 2 ( > 0)的焦点与椭圆的上焦点
9
5
重合，过 的倾斜角为 的直线交椭圆于 ， 两点，且 = 1 1 1 ，点( , )( ∈
)是抛物线上在第一象
6 7
限的点，且在该点处的切线与 轴的交点为( +1, 0)，若 1 = 2，则 2025的值为( )
第 1 页，共 8 页
1 2023 1 1 1A. ( ) B. ( )2023 C. ( )2024 D. ( )2024
2 4 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛物线 2 = 4 的焦点为 ，过焦点的倾斜角为 的直线交抛物线于 ， 两点，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则
下列结论正确的是( )
A. 1 2 = 2 B. 1 2 = 4
16 1 1
C. 若 = ，则| | = D. + = 1
3 3 | | | |

10.设等差数列{ 2023 }的前 项和为 ，若 有最大值，且 < 1，则下列结论正确的是( ) 2024
A. 当 最大时， = 2023
B. 使 > 0的最大 值为4045
C. 4046 < 1 < 4045

D. 在数列{

}(1 ≤ ≤ 4046)中，当 = 2023时， 取最大值

2 2
11.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右顶点为 (2,0)，过点 作⊙ :
2 + ( 2)2 = 2(1 < < 2)

1
的一条切线与双曲线交于点 ，若 中点为 ，且 = ，过点 作⊙ 的另一条切线与双曲线交于4
点 ，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2，则下列结论正确的是( )
2 √ 5
A. 双曲线方程为 : 2 = 1 B. 双曲线的离心率 =
4 2
6
C. 1 2 = 2 D. 过定点( , 0) 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若等比数列{ }的各项均为正数，且 5
2
6 7 8 = ，则ln 1 + ln 2 + + ln 12 = ．
13.已知数列{ }满足 = 2 + 1( ∈ +1 )，且 1 = 1，则数列{ }的通项公式为 = ．
2 2
14.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，点 是椭圆上在第二象限的
2
√ 2 √ 5 | |
点，且 的纵坐标为 ，若椭圆的离心率 的范围是( , ]，则 1 的范围是 ．
2 3 | 2|
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }各项均为正数，设数列{ }的前 项和为
2
，其中2 = + ．
(1)求数列{ }的通项公式;

(2)令 = ，求数列{ 3
}的前 项和 ．
第 2 页，共 8 页
16.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左顶点为( 1,0)，离心率 为√ 2，过点 (0, 1)的直线 交双曲线左
支于 ， 两点．
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若 是坐标原点，且 △ = √ 2，求直线 的斜率．
17.(本小题15分)
设数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 2．
(1)求数列{ }的通项公式;

(2)令 = +1 ，设 为数列{ }的前 项和，是否存在常数 ，使 < 对 ∈
恒成立 若存在，求出 的
+1
最小值;若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
1 1 1
已知平面内一个动点 到点 (0, )的距离比它到直线 = 的距离少 ．
4 2 4
(1)求点 的轨迹方程;
1
(2)已知 ， ， ， 是点 的轨迹上不同的四点，点 在 轴下方，直线 ， 交于点 ，且 = ， =
2
1
.设 ， 的中点分别为点 ， ．
2
①证明： ， ， 三点共线;
2
②若点 为半椭圆 + 2 = 1( < 0)上的动点，求四边形 面积的最大值．
2
19.(本小题17分)
已知 ∈

， ≥ 5，定义：数列{ }共有 项，对任意 ， ( , ∈
, 1 ≤ ≤ ≤ )， 或 中至少有一
个仍是{ }中的项，则称数列{ }为“乘或除封闭数列”．
(1)若 = 2
且 = 5，判断数列{ }是否为“乘或除封闭数列”;
(2)已知递增数列 1，3， 3，27， 5为“乘或除封闭数列”，求 1， 3， 5;
(3)已知各项均为正且单调递增数列{ }为“乘或除封闭数列”，若 > 1，证明：数列{ }是等比数列．
第 3 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】6
13.【答案】2 1
1
14.【答案】[ , 1)
2
15.【答案】解：(1) ∵ 2 2 = + ，当 = 1时，2 1 =
2
1 + 1，得 1 = 1或 1 = 0(舍)，
当 ≥ 2时，2 2 1 = 1 + 1，∴ 2
2 2
= 2 2 1 = + 1 1，
即 + 1 = ( + 1)( 1)，
∵数列{ }的各项均为正数，即 + 1 > 0，
∴ 1 = 1( ≥ 2)，即数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列，
∴ = ．
1 2 3
(2) ∵ = 3
= ，∴ = + + + + ①，
3 3 32 33 3
1 1 2 3
= 2 + 3 + + + ②， 3 3 3 34 3 +1
2 1 1 1 1 1
① ②得： = + 2 + 3 + 4 + + +1 3 3 3 3 3 3 3
1 1
(1 )3 3 1 1 = 1 +1 = (1 2 3
) +1，
1 3 3
3
3 2 +3
∴ = 4 4×3
第 4 页，共 8 页
= 1 = 1

16.【答案】解：(1)由题得{ = √ 2 ，解得{ = 1 ，
2 + 2 = 2 = √ 2
∴双曲线 的标准方程为 : 2 2 = 1．
(2)由题可知，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = 1，
2 2 = 1
联立双曲线的方程{ ，
= 1
得(1 2) 2 + 2 2 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
则 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
1 1
∵直线 交双曲线左支于 ， 两点，
2 ≠ 0
= 4 2 4(1 2) · ( 2) > 0
∴ { ,解得 √ 2 < < 1，
1 + 2 < 0
1 2 > 0
1 1
∵ △ = | | | | = √ ( + )2 4 = √ 2， 2 1 2 2 1 2 1 2
∴ ( + )2
2 2
1 2 4 1 2 = 8即( )
2
2 4( 2) = 8，
1 1
√ 6
解得 = 0或 = ± ，
2
√ 6
∵ √ 2 < < 1，∴ = 时， △ = √ 2． 2
17.【答案】解：(1) ∵ = 2 2 ①，
当 = 1时， 1 = 2 1 2，即 1 = 2，
当 ≥ 2时， 1 = 2 1 2 ②，

① ②得： = 2 2 1，即 = 2 1，所以
= 2，
1
∴数列{ }是首项为2，公比为2的等比数列，故 = 2
，
(2)由 = 2 ，可得 = 2 +1 +1 ， = 2(2
1)，
+1 1
= +1
2 2 1 1 1
= = = ( )， +1 4(2 1)(2 +1 1) (2 1)(2 +1 1) 2 2 1 2 +1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
故 = ( ) + ( ) + + ( ) 2 21 1 22 1 2 22 1 23 1 2 2 1 2 +1 1
1 1 1 1 1 1 1
= [(
2 21
2 ) + ( 2 3 ) + + ( )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 +1 1
第 5 页，共 8 页
1 1 1
= [ ]
2 21 1 2 +1 1
1 1
= [1 ].
2 2 +1 1
1 1 1
由于 单调递增，可得 1 ≤ < ，即 ≤ < ， 2 3 2
1 1
则存在常数 ，使 < 对 ∈
恒成立，所以 ≥ ，即 的最小值为 ．
2 2
1 1 1
18.【答案】解：(1)设点 ( , )，由题得√ 2 + ( )2 = | + | ，
4 2 4
1 1 1
将上式两边同时平方，得 2 + ( )2 = (| + | )2，
4 2 4
3 1 1 1
化简得： 2 = + | + |，
2 4 2 2
1 3 1 1 1
当 ≥ 时， 2 = + = ，
2 2 4 2 4
1 3 1 1 1 1 1
当 < 时， 2 = + + + = 2 + < ，此时轨迹不存在，
2 2 4 2 4 2 2
综上：点 的轨迹方程为 2 = ．
1 1
(2) ①由 = ， = ，
2 2
可知 ， 分别为 ， 的中点，且 // ，
所以直线 和直线 的斜率相等，即 = ，
设 ( 1,
2 2
1 )， ( 2, 2)， ( 3,
2
3)， ( 4,
2
4)，
+
则点 的横坐标 1 2 = ， 2
+
点 的横坐标 = 3 4 ， 2
2 2 2 2
由 = 2 1 4 3 ，得 = ， 2 1 4 3
( 2 )( 因式分解得 1 2
+ 1) ( 4 )( = 3 4
+ 3)，
2 1 4 3
+ +
约分得 2 + 1 =
1 2 3 4
4 + 3，所以 = ，即 = ， 2 2
所以 ⊥ 轴．
设 ( 0, 0)，因为 ， 分别为 ， 的中点，
+ 2
由 = 0 1， = 0
+ 1
3 2 3
，
2
0+
2
1 0+ 所以 = ( 1)2，
2 2
整理得 21 2 0 1 + 2
2
0 0 = 0，
第 6 页，共 8 页
同理得 22 2
2
0 2 + 2 0 0 = 0，
所以 1， 2是方程
2 2 20 + 2 0 0 = 0的两个根，
= 4 20 4(2
2
0 0) = 8(
2
0 0) > 0，
得 + 21 2 = 2 0， 1 2 = 2 0 0，
+
有 0 =
1 2 = ，得 ⊥ 轴，所以 ， ， 三点共线． 2
2
(2) ②因为点 ( 0, 0)为半椭圆 +
2 = 1( < 0)上的动点，
2
2
则 0 + 20 = 1，且 √ 2 ≤ 2 0
< 0，
+ 2+ 2
又 ( 1 2 , 1 2)，
2 2
2+ 2 2( + ) 2
所以| | = 1 2 1 2 1 2
2 0
=
2 0
4 20 4
2
= 0
+2 0 0 = 3(
2
2 0
0)，
因为| 1 2| = √ ( + )21 2 4 1 2 = √ 4
2
0 8 0 + 4
2
0 = 2√ 2 √
2
0 0，
3 3 1
所以 四边形 = △ = × | | | 1 2| 4 4 2
3 9√ 2
= × 3( 2 ) × 2√ 2 √ 2 = (√ 2 )3
4 0 0 0 0 4 0 0
9 2√ 2 √ = ( 0 0 + 1)
3，其中 √ 2 ≤ 0 < 0， 4 2
2 3
当 0 = 1时，
0 0 + 1取得最大值 ， 2 2
27√ 3
所以四边形 面积的最大值为 ．
8

19.【答案】解：(1)由题意知，数列{ }为2，4，8，16，32，因为
5
5 5 = 32 × 32 > 32和 = 1均不是{ }5
中的项，
所以数列{ }不是“乘或除封闭数列”；

(2)由数列递增可知 1 < 3 <
2
3 < 27 < 5，则 5不是{ }中的项，所以
5 = 1是{ }中的项，所以 1 = 1， 5

因为 5 > 5(1 < < 5, ∈
)，所以 5， 5， 5都是{ }中的项，所以
5 = 3，得 = 81，
27 3 3 27
5

由 5 = 3，得 3 = 9，所以 1 = 1， 3 = 9， 5 = 81； 3

(3)因为数列{ }单调递增，且
2
> 1，则 不是{ }中的项，所以
= 1是{ }中的项，所以 = 1，
1
因为 (1 < ≤ , ∈

)不是{ }中的项，所以
是{

}中的项，

第 7 页，共 8 页
所以1 = 1 < < < < < ，因为 1， ，
， ， ， 共有 项， 1 2 2 1 2 3
所以 = +1 (1 < ≤ 1, ∈
) ①，类似地，2 < ≤ 1， ∈ ， 1 > ，

则 不是{ }中的项，所以 1

1 是{ }中的项，1 = <
1 < 1 < 1 < < 11 < ， 2 2 3 4 3
所以 1 =

(2 < ≤ 2, ∈ ) ②，

由 ①和 ②得

= 1

= 2 = = 3 = 2 = 2 > 1，所以 是首项为1的等比数列． 1 2 3 2 1
第 8 页，共 8 页