湖北省部分市州2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省部分市州 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = { 3, 2, 1,0,1}， = { 3,1}， = { 1,0}，则( ) ∩ =( )
A. { 1,0} B. {0,1} C. { 2, 1} D. { 2, 1,0,1}
2.sin2190 =( )
√ 3 1 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
sin +cos
3.已知tan = 2，则 =( )
2sin cos
1 1
A. B. C. 1 D. 2
3 2
4.已知 = log1.60.8， = 1. 6
0.8， = 0. 81.6，则实数 ， ， 的大小顺序为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <

5.当 ∈ (0, )时，若存在实数 ，使得2 sin2 cos2 = sin2 + 9cos2 成立，则实数 的最小值为( )
2
A. 5 B. 8 C. 12 D. 16
2
6.函数 ( ) = 2在(0,+∞)单调递增的一个充分不必要条件是( )
A. ≥ 2 B. > 1
C. > 3 D. > 2或 < 1
1 1
7.已知函数 ( ) = ( ) 2，那么在下列区间中含有函数 ( )零点的是( )
3
1 1 1 1
A. (0, ) B. ( , ) C. ( , 1) D. (1,4)
3 3 2 2
4 1 2 2025
8.已知函数 ( ) = + sin ，则 ( ) + ( ) + + ( ) =( ) 2 +2 1013 1013 1013
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数 ， ， 满足 > > 0 > ，则下列说法正确的是( )
+
A. + > + B. > C. > D. >
+
10.在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1 cos 为角
的正矢，记作 sin ，定义1 sin 为角 的余矢，记作 sin .下列说法正确的是( )
16 3
A. sin =
3 2
3
B. sin( ) sin( ) = 0
2
第 1 页，共 6 页
sin 1 sin sin 1
C. 若 = 2，则 =
sin 1 2 ( sin + sin ) 3

D. 函数 ( ) = sin(2024 ) + sin(2024 + )的最大值为2 + √ 2
3 6
11.对 ， ∈ 都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (1) = 1.则下列说法正确的是( )
1
A. ( ) = 1
2
B. ( )为偶函数
C. ( + 2) = ( )
D. (1) + (2) + (3) + + (2025) = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知扇形的半径为2，圆心角为30 ，则该扇形的面积为 ．
13.若函数 ( ) = log1( 2 + 3 )在[2,+∞)单调递减，则实数 的取值范围为 ．
2
|log3 |, > 0 ( )14.已知函数 ( ) = { ，若函数 = ( )所有零点的乘积为1，则实数 的取值范围为 ． 3 + 2, 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
5
4 cos ( + )sin ( + )
(1)已知 是第二象限角，且cos = ，计算 2
5
;
tan (3 )sin ( )
2
(2)计算(lg5)2 + lg2 × lg5 + lg2 + 2 log2 3．
16.(本小题15分)
已知关于实数 的函数 ( ) = 2 4 + 3( > 0)．
(1)若 ( ) < 0的解集为{ ∈ |1 < < }，求 的值;
(2)解关于实数 的不等式 ( ) > 2 2 1．
17.(本小题15分)
某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率 与日产量 (万件)之间满足如下函数关系：
4
, 0 < 1
54
= , 1 < < 12.
+4
1
{ , 124
已知每生产1万件合格的产品该厂可以盈利15万元，但每生产1万件次品将亏损5万元.故厂方希望定出合适
合格数
的日产量使得每天的利润最大(注：合格率= ).
生产量
(1)将生产这批产品每天的利润 (万元)表示为日产量 (万件)的函数(利润=盈利 亏损);
(2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大
第 2 页，共 6 页
18.(本小题17分)
已知 ( ) + ( ) = 2 ，其中 ( )为奇函数， ( )为偶函数．
(1)求 ( )与 ( )的解析式;
(2)若对于任意的实数 > 0，都有 ( 2 + 3) > ( )成立，求实数 的取值范围;
(3)若对于任意的实数 1 ∈ [0,+∞)，总存在实数 2 ∈ [1,3]，使得4
2( 1) 2 ( 1) > 2 + 1成立，求实数
的取值范围．
19.(本小题17分)
某小组为了加深奇函数的理解，讨论提出了“局部奇函数”和“广义奇函数”两个概念：
①若在定义域内存在实数 ，满足 ( ) = ( )，则称 ( )为“局部奇函数”;
②函数 ( )的定义域为 ，如果存在实数 ， 使得 ( ) + ( + ) = 对任意满足 ∈ 且 + ∈
的实数 恒成立，则称 ( )为“广义奇函数”．
(1)若 ( ) = lg( + 3)，判断 ( )是否为“局部奇函数”，并说明理由;
(2)判断函数 ( ) = 3 3 2 + + 1是否为“广义奇函数”，如果是，求出对应的实数 ， ，如果不是，
请说明理由;
(3)已知实数 > 1，对于任意的实数 ∈ [0,1]，函数 ( ) = log2( + 1 + )
2 + 4 都是定义域为
[ 1,1]的“局部奇函数”，求实数 的取值范围．
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】
3
13.【答案】( 4,4]
14.【答案】(0,2] ∪ (3,+∞)
3
15.【答案】解：(1)由题意，得sin = √ 1 cos2 = ，
5
5
cos ( + )sin ( + )
2 ( sin )( sin ) 3则 = = sin = ；
tan (3 )sin ( ) ( tan )( cos ) 5
2
1 1 4
(2)原式= lg5(lg5 + lg2) + lg2 + 2log2 3 = lg5 + lg2 + = ．
3 3
16.【答案】解：(1)由条件可得 (1) = 0 = 1，
则 2 4 + 3 < 0 1 < < 3， = 3，
综上 = 2；
(2)由不等式 ( ) > 2 2 1．
可得 2 (2 + 2) + 4 > 0，配方得( 2)( 2) > 0，
2 2
当0 < < 1时， > 2，解得 < 2或 > ，

2
当 = 1时， = 2，解得 ≠ 2，

2 2
当 > 1时， < 2，解得 < 或 > 2，

第 4 页，共 6 页
2
综上所述：当0 < < 1时解集为{ | < 2或 > }，

当 = 1时解集为{ ∈ | ≠ 2};
2
当 > 1时解集为{ | > 2或 < }.

4 1
17.【答案】解：(1)当 ≤ 1时， = 15 5 = 11 ；
5 5
4 4 60 5 2
当1 < < 12时， = 15 (1 ) 5 = ；
+4 +4 +4
1 3
当 ≥ 12时， = 15 5 = 0，
4 4
11 , < 1
60 5 2
综上所述， = { , 1 < < 12；
+4
0,12
(2)由(1)可知，当 ≤ 1， max = 11，
当1 < < 12，令 = + 4 ∈ (5,16)，
5( 2+20 64) 64
则 = = 5( ( + ) + 20) ≤ 20，

此时取等条件为 = 8，即 = 4，
综上11 < 20，则当日产量为4万件时，该厂可以获得最大利润
18.【答案】解：(1)因为 ( ) + ( ) = 2 ， ( )为奇函数， ( )为偶函数，
则 ( ) + ( ) = 2 ，即 ( ) + ( ) = 2 ，
2 2 2 +2
结合两式解得 ( ) = ， ( ) = ；
2 2
(2)因为 = 2 单调递增， = 2 单调递减，所以 ( )单调递增，
22 2 +3 ( + 3) > ( ) + 3 > ，整理得 < ( )，
+1
又对于任意的 > 0不等式都成立，即求不等式右侧的最小值，
令 = + 1 ∈ (1,+∞)，
2 2 +4 4
则( )式右侧= = ( + 2) ≥ 2，当且仅当 = 2时取等，

故 < 2；
(3)4 2( ) 2 ( ) = (2 1 + 2 1)2 (2 1 2 1) = (2 1 2 1)2 (2 1 2 11 1 ) + 4，
令 = 2 1 2 1 ∈ [0,+∞)，
第 5 页，共 6 页
1 2 15 15
则原式= 2 + 4 = ( ) + ≥ ，
2 4 4
11
则原题目转化为存在 2 ∈ [1,3]，使得 2 < 成立， 4
11
当 ≤ 0，成立，当 > 0时，0 < < ，
4
11
综上， < ．
4
19.【答案】解：(1)由 + 3 > 0，得 > 3，则 ( )定义域为{ | > 3}，
由局部奇函数定义可得lg( + 3) = lg( + 3) lg(9 2) = 0，
解得9 2 = 1 = ±2√ 2，
又±2√ 2 > 3，则 ( )为局部奇函数；
(2)( )3 3( )2 + ( ) + 1 + ( + )3 3( + )2 + ( + ) + 1 = (6 6) 2 + 2 3 6 2 +
2 + 2，
令6 6 = 0 = 1，
则(6 6) 2 + 2 3 6 2 + 2 + 2 = 0 = ，
故 ( )是“广义奇函数”，且 = 1， = 0．
(3) ∵ > 1，∴ + 1 + > 0在[ 1,1]上恒成立，
∵对于任意的 ∈ [0,1]，函数 ( ) = log2( + 1 + )
2 + 4 都是定义域为[ 1,1]上的“局部奇函数”，
∴对于任意的 ∈ [0,1]， ( ) = ( )在[ 1,1]上有解，
即log2( + 1 + )
2 4 = log2( + 1 + ) +
2 4 + 在[ 1,1]上有解，
整理得：2 = log [(1 + )2 22 ] 2
2在[ 1,1]上有解，
∴ = 2 的值域是 = log [(1 + )2 22 ] 2
2的值域的子集，
∵ ∈ [0,1]，∴ = 2 的值域是[0,2]，
令 = 2， ∈ [0,1]，则 = log2[(1 + )
2 ] 2 ，
= log 22[(1 + ) ] 2 在 ∈ [0,1]上单调递减，
∴当 = 0时， max = log
2
2(1 + ) ，当 = 1时， max = log2[(1 + )
2 1] 2，
log (1 + )2 ≥ 2
∴ { 2 ，解得：1 < ≤ √ 5 1．
log 22[(1 + ) 1] 2 ≤ 0
第 6 页，共 6 页