湖北省“新高考联考协作体”2024-2025学年高一（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省“新高考联考协作体”2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ (3,+∞)，3 > 5 ”的否定是( )
A. ∈ (3,+∞)，3 ≤ 5 B. ∈ (3,+∞)，3 ≤ 5
C. (3,+∞)，3 ≤ 5 D. (3,+∞)，3 ≤ 5
1
2.已知集合 = { |log3( ) ≤ 1}， = { |10
2 3 1 ≤ 0}，则 ∩ =( )
3
1 1 1 2 1 1 1 2
A. [ , ] B. [ , ] C. ( , ] D. ( , ]
5 2 5 3 3 2 3 3
2025 1
3.已知cos( + ) = ，那么sin =( )
2 3
1 1 2√ 2 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
ln 2
4.函数 ( ) =
+
的图象大致是( )
A.
B.
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C.
D.
5.若函数 ( ) = 2 2 + 8 + 1在区间( 1,1)内恰有一个零点，则实数 的取值范围为( )
1 1 1 1
A. ( , ) B. ( , ) ∪ {0}
10 6 10 6
1 1 1 1
C. ( ∞, ) ∪ ( , +∞) D. ( ∞, ) ∪ ( , +∞) ∪ {0}
10 6 10 6
1
6.已知幂函数 ( )的图象过点(2, )，若 (3 2 ) < 1，则实数 的取值范围为( )
2
3
A. ( ∞, 1) B. (1, )
2
3 3
C. ( ∞, 1) ∪ (1, ) D. ( ∞, 1) ∪ ( , +∞)
2 2
7.已知定义在[ 1,1]上的单调递增函数 ( )，且 = ( ) 2为奇函数，则不等式 (3 2 2) + (3 4) <
4的解集为( )
A. ( ∞, 1) ∪ [√ 2，+∞) B. (1, √ 2]
C. ( ∞, 1] ∪ (√ 2，+∞) D. [1, √ 2)
8.已知2 = 7， = log720， = √ 2，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > > 0， < < 0，则下列说法正确的是( )
+ +
A. < B. > C. < D. >


10.已知函数 ( ) = 3sin( 2 + )(| | < )的图象的一条对称轴方程为 = ，下列说法正确的是( )
2 12

A. 函数 ( )的对称中心为( + , 0)( ∈ )
6

B. 不等式 ( ) > 0的解集为( + , + )( ∈ )
3 6
5
C. 函数 ( )的单调递增区间为[ , ]( ∈ )
12 12
3√ 3
D. 函数 ( )在区间[0, ]上的值域为[ 3, ]
2 2
11.下列说法正确的是( )
1 4√ 3
A. 当0 ≤ ≤ 时， = √ 2 + sin2 + 的最大值为
2 3
√ 2+sin2
3 1 2
B. 当0 < < 时， = + 的最小值为3
2 3 2
C. 当 > 0， > 0且4 = 3( + 2 ) + 8时， + 2 的最小值为8
4 9
D. 当 > 0， > 0且4 + 3 = 5时， + 的最小值为5
2 + 2 +2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.计算：( ) 2 + 31 log34 = ．
3
13.如图，已知扇形 所在圆的半径为2，其圆心角为∠ (0 < ∠ < 2 )，若△ 的面积为1，则
该扇形的面积为 ．
|log2( )|, < 0
14.已知函数 ( ) = { 3 ，若关于 的方程[ ( )]2 ( ) + 3 = 0有6个不同的实根，则
, ≥ 02
实数 的取值范围是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2 2
已知集合 = { | ≥ 0}，集合 = { |1 ≤ 3 2 ≤ 27}．
1
1
(1)当 = 时，求( ) ∩ ; 2
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
5
(1)已知角 的终边过点 ( 0, 4)，且cos = ，求sin ，tan 的值; 13
1+sin 1 sin
(2)已知角 满足：√ √ = 4，其中角 为第三象限角，求3sin2 + 4cos2 + 2sin cos 的值．
1 sin 1+sin
17.(本小题15分)
湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必
先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还
兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀
水果树的单株产量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系： ( ) =
1 4 +
log2 + 15,0 2
{2 5 ，肥料成本投入为5 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为10 元，
25 +
, 2 < 5
1+
71
且 (2) = 16， (5) = ．
3
(1)求实数 ， 的值;
(2)已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 ( )(单位：
元).当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大 最大利润是多少
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = 2cos( + )( > 0)在区间[0,2 ]上有且仅有4个零点．
6
(1)求 的取值范围;
(2)当 ∈

时，若不等式| ( ) | < 3在区间[ , ]上恒成立，求实数 的取值范围;
2 4

(3)当 ∈ 时，若函数 = ( ) + 在区间[ , ]内有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
4 2
19.(本小题17分)
2
已知函数 ( ) = + 是定义在 上的奇函数． 2 +1
(1)求实数 ， 的值;
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(2)判断并证明函数 ( )的单调性;
(3)当 ∈ [1,2]时，不等式 ( 2 4) + ( 2 + 2 ) ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
5
13.【答案】 或
3 3
14.【答案】(2,3)
15.【答案】解：因为( 2 + 2) ( + 1) = 2
1 3 3
+ 1 = ( )2 + ≥ > 0，
2 4 4
2 2
所以 ≥ 0等价于( 2 2)( 1) ≥ 0，且 1 ≠ 0，
1
解得： ≥ 2 + 2或 < + 1，所以集合 = { | ≥ 2 + 2或 < + 1}
所以 = { | + 1 ≤ <
2 + 2}．
又因为1 ≤ 3 2 ≤ 27等价于30 ≤ 3 2 ≤ 33，
解得：0 ≤ 2 ≤ 3，即2 ≤ ≤ 5，所以集合 = { |2 ≤ ≤ 5}．
1 3 9
(1)当 = 时， = { | ≤ < }， 2 2 4
9
所以( ) ∩ = { |2 ≤ < } 4
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，所以集合 是集合 的真子集，
+ 1 ≥ 2
所以{ ，
2 + 2 ≤ 5
解得1 ≤ ≤ √ 3.故实数 的取值范围为[1, √ 3]
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16.【答案】解：(1)因为角 的终边过点 ( 0, 4)，
0 5 5所以cos = = ，且 0 < 0，解得： 13 0 = ， 3
√ 20+16
4 12
所以sin = = ，
√ 2
13
0+16
4 4 12
tan = = =
0 5 5
3
1+sin 1 sin
(2)因为√ √ = 4，
1 sin 1+sin
√ 1+sin √ 1 sin
所以
√ 1 sin √ 1+sin
2 2
(√ 1 + sin ) (√ 1 sin )
=
√ 1 sin √ 1 + sin
2sin 2sin 2sin
= = = = 4，
√ 1 sin √ 1+sin 2 |cos |√ 1 sin
即sin = 2|cos |
又因为角 为第三象限角，所以sin < 0，cos < 0，
所以sin = 2cos ，即tan = 2，
所以3sin2 + 4cos2 + 2sin cos
3sin2 + 4cos2 + 2sin cos
=
sin2 + cos2
3tan2 + 4+ 2tan
=
tan2 + 1
3×4+4+4
= = 4．
4+1
71
17.【答案】解：(1)因为 (2) = 16， (5) = ，
3
1 16+ 25×5+ 71
所以 (2) = log2 + 15 = 16，且 = ，所以 = 4， = 17． 2 5 1+5 3
1 4 +4
30 × ( log2 + 15) 15 , 0 ≤ ≤ 2
(2) ( ) = 30 ( ) 10 5 = 2 5
25 + 17
{30 × 15 , 2 < ≤ 51 +
4 + 4
450 + 15log2 15 , 0 2
= 5 ,
30(25 + 17)
{ 15 , 2 < 51+
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4 +4
当 ∈ [0,2]时， ( ) = 450 + 15log2 15 5
4
1 4

+4 2 +
= 450+ 15log2( × ) = 450 + 15log
2
2 ， 5 2 5
当 = 0或2时，所以 ( )max = 450 + 15log21 = 450．
30(25 +17) 8 240 240
当 ∈ (2,5]时， ( ) = 15 = 30(25 ) 15 = 750 15 = 750 15( +
1+ +1 +1 +1
16 16
1) + 15 = 765 15( + + 1) ≤ 765 15 × 2√ ( + 1) = 645，
+1 +1
16
当且仅当 = + 1即 = 3时等号成立．
+1
综上所述，当 = 3时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元．

18.【答案】解：(1)因为 = + ∈ [ , 2 + ]，则 = 2cos ， ∈ [ , 2 + ]，
6 6 6 6 6

因为函数 ( ) = 2cos( + )( > 0)在区间[0,2 ]上有且仅有4个零点，
6

所以函数 = 2cos 在区间[ , 2 + ]上有且仅有4个零点，
6 6
7 9
结合余弦函数的图象与性质可得： ≤ 2 + < ，
2 6 2
5 13
解得： ≤ < ，
3 6
5 13
所以 的取值范围为[ , ).
3 6
(2)当 ∈

时，由(1)可得： = 2，所以 ( ) = 2cos(2 + )，
6

因为不等式| ( ) | < 3在[ , ]上恒成立，
2 4
5 2
所以 3 < ( ) < + 3在[ , ]上恒成立，又因为当 ∈ [ , ]时，2 + ∈ [ , ]，
2 4 2 4 6 6 3
√ 3
所以cos(2 + ) ∈ [ , 1]，所以2cos(2 + ) ∈ [ √ 3, 2]，
6 2 6
即{ 3 < √ 3，所以 1 < < 3 √ 3，故实数 的取值范围为( 1,3 √ 3).
+ 3 > 2

(3)因为函数 = ( ) + 在区间[ , ]内有两个不同的零点，所以2cos(2 + ) + = 0在区间[ , ]内有
4 2 6 4 2
两个不同的零点，

即cos(2 + ) = 在区间[ , ]内有两个不同的零点，
6 2 4 2

即函数 = cos(2 + )与 = 的图象在区间[ , ]内有两个不同的交点，
6 2 4 2
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1 √ 3
由余弦函数的图象与性质可得： ≤ < 1或 1 < ≤ ，即 2 < ≤ 1或√ 3 ≤ < 2，
2 2 2 2
故实数 的取值范围为( 2, 1] ∪ [√ 3, 2)．
2 2
19.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = + 是定义在 上的奇函数，所以 (0) = 0，即 = 0 ①; 2 +1 2 +1
2 2 1 1
又因为 ( 1) = (1)，所以 1+ = ( )，即 = + ②， 2 +1 21+ +1 2 1+ +1 21+ +1
2 1 1
联立 ① ②可得： = 1+ + 1+ ，解得 = 0，代入 ①可得： = 1 2 +1 2 +1 2 +1
2 2 2 2 +1 2 2 1 2 2
经检验，当 = 1， = 0时， ( ) = 1
2
= 1
+1 2
= = = 1 = ( )，满足+1 2 +1 2 +1 2 +1
题意．
2
(2)由(1)可得： ( ) = 1 ，下面证明函数 ( )在 上为单调递增函数． 2 +1
2 2 2 2 2(2 1+1) 2(2 2+1)
1， 2 ∈ ，当 1 < 2时， ( 1) ( 2) = (1 ) (1 ) =2 1+1 2 2+1 2

2+1 2
= =
1+1 (2 2+1)(2 1+1)
2(2 1 2 2)
(2 2+1)(2
，
1+1)
因为 1 < 2，且 = 2 为 上的增函数，所以0 < 2
1 < 2 2，则2 1 2 2 < 0, 2 1 + 1 > 0, 2 2 + 1 > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在 上为单调递增函数;
(3)因为当 ∈ [1,2]时，不等式 ( 2 4) + ( 2 + 2 ) ≥ 0恒成立，
所以当 ∈ [1,2]时，不等式 ( 2 4) ≥ ( 2 + 2 ) = ( 2 2 )恒成立，
由函数 ( )在 上为单调递增函数得：当 ∈ [1,2]时， 2 4 ≥ 2 2 ，即 2 + 2 + 2 4 ≥ 0恒成立，
令 ( ) = 2 + 2 + 2 4 = ( + )2 4， ∈ [1,2]，
则当 ≤ 1即 ≥ 1时，函数 ( )在[1,2]上单调递增，
所以 ( )min = (1) = 2 +
2 3，所以2 + 2 3 ≥ 0即 ≥ 1或 ≤ 3，所以 ≥ 1;
当1 < < 2即 2 < < 1时，函数 ( )在[1, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，所以 ( )min =
( ) = 4，不符合题意;
当 ≥ 2即 ≤ 2时，函数 ( )在[1,2]上单调递减，所以 ( )min = (2) =
2 + 4 ，所以 2 + 4 ≥ 0，所
以 ≥ 0或 ≤ 4，所以 ≤ 4，
综上，实数 的取值范围为( ∞, 4] ∪ [1,+∞).
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