2024-2025学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导正确的( )
A. B.
C. D.
2.直线的倾斜角的度数为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在处有极大值，则的值为( )
A. B. C. D. 或
4.已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是( )
A. B. C. D.
5.已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点作垂直于轴的直线交双曲线于，两点，，，的内切圆圆心分别为，，，则的周长是( )
A. B. C. D.
7.在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子，分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为( )
A. B. C. D.
8.已知，方程有实数根，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则下列选项中正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在的值域为
C. 函数在点处的切线方程为
D. 关于的方程有个不同的根当且仅当
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，下列命题正确的是( )
A. 若椭圆上存在一点使，则椭圆离心率的取值范围是
B. 若椭圆上存在四个点使得，则的离心率的取值范围是
C. 若椭圆上恰有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
D. 若任意以椭圆的上顶点为圆心的圆与椭圆至多个公共点，则椭圆的离心率的取值范围是
11.已知定义域为上的函数满足，且，记，则下列选项中正确的有( )
A.
B. 当时，
C. 当时，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则 ．
13.已知底面重合的两个正四面体和，为的重心，记，，，则向量用向量，，表示为 ．
14.已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，圆心为的圆与轴相切，动直线过点．
当时，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程
圆上存在点满足，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知数列的前项和满足，，令．
证明：数列为等比数列
求数列的前项和．
17.本小题分
如图五面体中，四边形是菱形，是以角为顶角的等腰直角三角形，点为棱的中点，点为棱的中点
求证：平面
若点在平面的射影恰好是棱的中点，点是线段上的一点且满足，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为．
求抛物线的方程
过动点作抛物线的两条切线，切点为，，，直线与抛物线交于，在第一象限．
求证：点在定直线上
记，的面积分别为，，当时，求点的坐标．
19.本小题分
对定义在数集上的可导函数，若数列满足，其中为的导函数，则称为在上的“牛顿列”．
若为的“牛顿列”，，求的通项公式
若为的“牛顿列”，其中，，求证：，
若为的“牛顿列”，求证：且，，其中为的唯一零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：当时，圆心为，圆的方程，
则圆心到直线的距离为，
若直线的斜率不存在时，则，此时直线与圆相切，不符合题意，
若直线的斜率存在，可设直线的方程为即，
则，得，解得或，
所以直线的方程为或．
记圆的半径为，则，设，
由得，化简得：，即，
所以的轨迹为圆，记圆心为，半径为，
圆上存在点满足，即圆和圆有公共点，
，
因为，则，
实数的取值范围为
16.解：当时，，
，
，，
，
，，
当时，，
是等比数列；
由有是等比数列，且公比为，首项为，
，
，即，
则，
记，
，
两式相减得，，
，
数列的前项和为．
17.解：证明：取的中点，连接，，如图所示，
是的中点，，而平面，平面，平面，
菱形，且，，分别是，的中点， 且，
四边形是平行四边形， ，而平面，平面，平面，
又，、平面，
平面平面，而平面，
平面．
因为点在平面的射影恰好是棱的中点，
所以取的中点，连接，，则平面，
因为是以角为顶角的等腰直角三角形，所以．
故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 根据，所以，可设，
则，，，，，
，
所以，，
，
，，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，取．
设平面与平面所成角，则，，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：由题知抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即，
故抛物线的标准方程为；
证明：设，，，，
则，
即，同理，，
，则直线的方程为，即．
，，
．，
所以点在定直线上．
解：设，，由有直线，直线，
联立，则，，
，则，，
，
因为，在第一象限，所以，
，
两式相乘，可得，
，
，，
或，
或，，，
故．
19.解：，，则，
则为等差数列，公差为，
所以．
，，则，则，同号．
又，所以，．
又，则
又假设存在，，则，这与矛盾
所以，，．
这样，．
所以，．
，，则，且在上单调递增．
又，，则在上有唯一零点，故．
这样，
．
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