河南省郑州市2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

河南省郑州市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线√ 3 + 1 = 0的倾斜角为( )
A. 60 B. 120 C. 135 D. 150
2.抛物线 : = 2 2的准线方程为( )
1 1 1
A. = 1 B. = C. = D. =
2 4 8
3.已知正项等比数列{ }的前 项和为 ， 1 5 = 64， 1 + 3 = 10， = 254，则 =( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2 2
4.已知双曲线 + = 1( > 0, < 0)的渐近线方程为 = ±2 ，则该双曲线的离心率为( )

√ 5 √ 6
A. B. C. √ 3 D. √ 5
2 2
5.在三棱锥 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 为线段 上靠近 的三等分点，若记 = ，
= ， = ，则 =( )
1 1 1 1 1 1
A. + + B. + +
6 6 6 3 3 3
1 1 1 1 1 1C. + + D. + +
3 3 6 3 6 6
1+
6.数列{ }满足 1 = 2， +1 = ，其前 项的积为Ⅱ ，则Ⅱ =( ) 1 2025
A. 2 B. 6 C. 3 D. 1
7.已知 是直线 : + 6 = 0上一动点，过点 作圆 : 2 + 2 4 = 0的两条切线，切点分别为 ， ，则
四边形 周长的最小值为( )
A. 2 + 2√ 7 B. 4 + 4√ 7 C. 4 + 2√ 7 D. 8
8.在边长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 ， 1的中点， ， 分别为线段 1 1， 1 1上
的动点(不包括端点)满足 ⊥ ，则线段 的长度最小值为( )
A. √ 2 B. 2 C. √ 6 D. 2√ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量 = (2, 1,1)， = (1,2,3)，则下列结论正确的是( )
A. = (3,2,5)与 ， 共面
B. | + | = 26
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√ 6 3√ 6C. 在 上的投影向量为( , √ 6, )
2 2
√ 21
D. 与 夹角的余弦值为
14
10.已知 是等差数列{ }的前 项和，且 7 > 9 > 8，下列说法正确的是( )
A. < 0 B. 数列{ }的最小项为 8
C. | 8| > | 9| D. 能使 < 0时 的最大值为15
2 2
11.椭圆 : + 2 = 1( > 0)的两个焦点分别为 1， 16 2
，则下列说法正确的是( )
A. 若0 < < 1，过点 2的直线与椭圆 交于 ， 两点，则△ 1的周长为16
B. 若直线 2 = 0与 恒有公共点，则 的取值范围为[2,+∞)
C. 若 上存在点 ，使得 1 2 = 0，则 的取值范围为(0,2√ 2] ∪ [4√ 2,+∞)
D. 若 = √ 7， 为 上一点， (1,1)， 1为左焦点，则| 1| + | |的最小值为8 √ 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2, 1,2)， = ( 4,2, )，且 ⊥ ，则 = ．
13.一条光线从点 (6,4)射出，与 轴相交于点 (4,0)，经 轴反射，求反射光线所在的直线方程 ．
14.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5， ，其中从第三
项起，每个数等于它前面两个数的和，即 1 =

2 = 1， +2 = +1 + ( ∈ ).后来人们把这样的一列数
组成的数列{ }称为“斐波那契数列”.记 为“斐波那契数列”{ }的前 项和，若
2 2
2024 = ， 1 + 2 +
23 + +
2
2025 = ，则 2025 = . (结果用 ， 表示)
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆心为 的圆经过 ( 1, 1)， ( 2,2)两点，且圆心 在直线 : 1 = 0上．
(Ⅰ)求圆 的标准方程;
(Ⅱ)过点 (0,3)的直线 ′被圆 截得的弦长为8，求直线 ′的方程．
16.(本小题12分)
已知抛物线 2 = 2 ( > 0)上的点 ( , )与抛物线焦点 的距离为3，点 到 轴的距离为√ 2 ．
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若点 在第一象限，则经过抛物线焦点 和点 的直线交抛物线于点 ，经过点 和抛物线顶点的直线交抛
物线的准线于点 ，求证：直线 平行于抛物线的对称轴．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， = 4， = 2√ 3， = = 2，侧棱 ⊥底
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面 ，点 在线段 上运动．
(Ⅰ)证明： ⊥平面 ;
(Ⅱ)若平面 与平面 的夹角为45 ，试确定点 的位置．
18.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1且

+1 = + 1( ∈ ).
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式;
(Ⅱ)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2个数组成一个公差为 的等差数列．
1
(ⅰ)记 = ，求数列{ }的通项公式 ;
(ⅱ)求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题12分)
′ = ,
在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ( , )，总存在一个点 ( ′, ′)满足关系式 : { ( >, > 0)，
′ = ,
则称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
2
(Ⅰ)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换 1，使得圆
2 + 2 = 8变换为椭圆 + 2 = 1;
2
′ = 2 , 2
(Ⅱ)已知曲线 1经过平面直角坐标系中的伸缩变换 2: { 得到的曲线是 :
2 = 1，且 与 轴有 ，
′ = 2 16 1
两个交点( 在 的左侧)，过点(4,0)且斜率为 的直线 与 1在 轴右侧有 ， 两个交点．
(ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ)若直线 ， ， 的斜率分别为 1， 2， 3，证明： 2( 1 + 3)为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】2 + 8 = 0

14.【答案】
+1
15.【答案】解：(1)设圆 的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，
由此可以圆心 的坐标为( , )，
因为圆心 在直线 : 1 = 0上，
所以 1 = 0 ①
因为 ， 是圆上两点，所以| | = | |，
根据两点间的距离公式，有√ ( + 1)2 + ( + 1)2 = √ ( + 2)2 + ( 2)2，
即 3 + 3 = 0--2由 ① ②可得 = 3， = 2，
故圆 的方程为( 3)2 + ( 2)2 = 25．
(2)由(1)知，圆心为 (3,2)，半径为 = 5，
8
设圆心 到直线 ′的距离为 ，则 = √ 52 ( )2 = 3，
2
若直线 ′的斜率不存在，则直线 ′的方程为 = 0，
此时，圆心 到直线 ′的距离为3，符合题意;若直线 ′的斜率存在，
设直线 ′的方程为 = + 3，即 + 3 = 0，
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|3 2+3| |3 +1| 4
由题意可得 = = 3，解得 = ，
√ 2 2
3
+1 √ +1
4
此时，直线 ′的方程为 = + 3，即4 3 + 9 = 0．
3
综上所述，直线 ′的方程为 = 0或4 3 + 9 = 0．
= ±√ 2

16【. 答案】解：(1)抛物线的准线方程为： = ，由题意可得{ + = 3 整理可得： = 4， = 1， = ±2√ 2． 2 2
2 = 2
所以抛物线为： 2 = 8 ;
(2)由题意可知 (1,2√ 2)，则直线 的方程为： = 2√ 2 ①
抛物线的准线方程是 = 2 ②
联立 ① ②，可得点 的纵坐标为 4√ 2．
因为焦点 的坐标为(2,0)，故直线 的方程为 = 2√ 2( 2)， ③
2 = 8
把 ③式和抛物线联立，即{ 消去 得
= 2√ 2( 2)
2 + 2√ 2 16 = 0
又因为 点的纵坐标为2√ 2，故可得 点的纵坐标为 4√ 2
点 和点 的纵坐标相等，于是可得 平行于 轴．
17.【答案】(1)证明：∵ ⊥底面 ， 底面 ，
所以 ⊥ 在△ 中， 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面
所以 ⊥平面
(2)解：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系，依题意得： (2,0,0)， (0,2√ 3, 0)， ( 2,2√ 3, 0)， (0,0,0)， (0,0,2)．
由(1)可知， ⊥平面 ，所以平面 的一个法向量 = (1,0,0)，
设 = ，设点 的坐标为( , , )，则 = ( , , 2)， = ( 2,2√ 3, 2)，
即 = ( , , 2) = = ( 2 , 2√ 3 , 2 2 )，可得点 的坐标为( 2 , 2√ 3 , 2 2 )，
所以 = (0,2√ 3, 0)， = ( 2 , 2√ 3 , 2 2 ).
设 1 = ( 1, 1, 1)是平面 的法向量，则 1 = 0， 1 = 0，
2√ 3 1 = 0即{ ，取 1 = 1 ，则 1 = 0， 1 = ，
2 1 + 2√ 3 1 + (2 2 ) 1 = 0
所以 1 = (1 , 0, )是平面 的一个法向量．
因为平面 与平面 的夹角为45 ，
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1
所以cos45 = |cos < ， 1 > | = | |2 2 ，
1 √ (1 ) +
1
解得 = ，所以点 为线段 的中点
2
18.【答案】解：(1)解：当 = 1时， 2 = 1 + 1 = 2，
当 = 2时， = 1 = ( +1 1) ( 1) = +1 ，
即 +1 = 2 ．
又 2 = 2 1，所以数列 是1为首项，2为公比的等比数列，
所以 = 2 1 ．
(2) ( )在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2个数组成一个公差为 的等差数列，
为新数列的第1项， +1为新数列的第 + 2项，
∴ +1 = + ( + 2 1) ，
2 1
即 =
+1 = ，
+1 +1
1 +1 1
即 = = 1 = ( + 1)( )
1．
2 2
1 1 1 1 1
( ) = 2 × ( )
0 + 3 × ( )1 + 4 × ( )2 + ( ) 2 + ( + 1)( ) 1，
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
= 2 × ( )
1 + 3 × ( )2 + 4 × ( )3 + ( ) 1 + ( + 1)( ) 2，
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
① ②得， = 2 + ( )
1 + ( )2 + ( )3 + + ( ) 1 ( + 1) ( ) ，
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ·( )
= 2 + 2 2 2
1
1 ( + 1)( ) ，
1 2
2
1 1
= 2 + 1 2 ( )
1 1
( + 1) ( )
= 3 ( + 3)( ) ，
2 2 2 2
1
所以 1 = 6 ( + 3)( ) ． 2
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′ = 2
19.【答案】解：(1)将伸缩变换 11: { ( 1 > 0, 1 > 0)代入 +
2 = 1
′ = 1 2
2
( )
得到 1 + ( 2 2 2 2 21 ) = 1，则4 1 + 8 1 = 8 2
1 1
4 2 = 1 1 = ′ = 1 2 2∴ { 2 ∴ { 故所求的伸缩变换 1为{ 8 = 1 √ 2 √ 21 1 = ′ = 4 4
′ = 2 2
(2)因为 1经过平面直角坐标系的伸缩变换 2: { 得到的曲线为 :
2 = 1，
′ = 2 16
2
(2 ) 2
故可得 1的方程为
2 = 1，即 2 = 1
16 4
( ) 1与 轴的两个交点 ， 的坐标分别是( 2,0)，(2,0)，因为直线 过点(4,0)，斜率为 ，所以直线 的方程
为 = ( 4)，代入 2 4 2 = 4，
消去 并整理得(4 2 1) 2 32 2 + 64 2 + 4 = 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则 = ( 32 2)2 4(4 2 1)(64 2 4)1 4 2 = 16(12 2 + 1) > 0，
2 2
32 64 4
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 1 4 1
2 2
32 64 4
因为 与 1在 轴的右侧有两个交点，所以 1 + 2 = 2 > 0，且 1 2 = 2 > 0，
4 1 4 1
1 1 1 1
解得 < 或 > ，所以 的取值范围是( ∞, ) ∪ ( ,+∞).
2 2 2 2
1 1
( )证明：由 ①知 < 或 > ，所以 ≠ 0，
2 2
2 2 2 2 21 2 ( 1 4)( 2 4) 4 ( + )+16 12 3 2 3 = = =
1 2 1 2 = = ，
1 2 2 2 1 2 2( 1+ 2)+4 1 2 2( 1+ 2)+4
2
16 4
2
2 1 1
= 1
1
1 2
1 = 1 = 4 =
1 + 2 21 2 1 4
2
1 4 4
1 3 1
所以， 2( 1 + 3) = 1 2 + 2 3 = + ( ) = 为定值． 4 4 2
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