广东省江门市2024-2025学年高二（上）调研测试（一）数学试卷（PDF版，含答案）

广东省江门市 2024-2025 学年高二（上）调研测试（一）数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进
行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女
队员应抽取的人数为( )
A. 18 B. 16 C. 15 D. 9
2.直线 : √ 6 +√ 2 + 5 = 0的倾斜角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
3.已知 = (2,1,2)， = ( 4,2, )，且 ⊥ ，则|2 | =( )
A. 2√ 13 B. √ 65 C. 11 D. √ 113
4.已知圆 1 :
2 + 2 = 4，圆 2 :
2 + 2 + 8 6 + 9 = 0，则圆 1与圆 2的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断
5.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1的中点，则点 1到直线 的距离为( )
2√ 5 2√ 30
A. B. C. √ 6 D. 2√ 6
5 5
6.某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若
从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为( )
1 29 3 31
A. B. C. D.
8 120 16 120
2 2
7.已知点 1， 2分别是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点，以线段 1 2为边作等边三角形 1 2，
线段 1， 2的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A. √ 3 B. 2 C. √ 5 D. √ 3+ 1
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8.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) 中， ， 分别为 ， 的中点，且 在 方
向上的投影向量为 ，则 的值为( )
2 1 2 1
A. B. C. D.
3 3 5 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量(单位： )结
果如下：
93 106 117 101 80 85 104 90 90 116
下列说法正确的是( )
A. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93
B. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数大于98
C. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37
D. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为104
10.已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ， 为原点，点 ( 0, 0)为抛物线 上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线 的准线方程是 = 1
B. 若| | = 4，则 0 = 3
C. 过点 (1,1)的直线与抛物线交于 ， 两点，若 是线段 的中点，则| | = √ 15
D. 点 是直线 = 3上一动点，则| |的最小值是√ 2

11.已知单位向量 ， ， 两两的夹角均为 (0 < < , ≠ )，若空间向量 满足 = + + ( , , ∈
2
)，则有序实数组( , , )称为向量 在“仿射”坐标系 ( 为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作 =
( , , ) ，则下列命题是真命题的为( )
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2 2 3
A. 若 = (2, , 1) ， = (2,3,0) ， ⊥ ，则 =
3 3 4
3
B. 若 = (0, √ 2, 4) ，则| | = √ 26
4
C. 若 = ( 1,1,3) ， = (1,1,3) ， = (1,1, 1) ， = (3,1,1) ，则不论 取何值， ， ， ， 四
点都共面

D. 若 = (1,1, 1) ，
√ 6
= (1, 1,1) ， = ( 1,1,1) ，则点 到平面 的距离为
3 3 3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数据9，15，13，11，12的方差是 ．
13.在空间直角坐标系 中，点 (2,6,4)关于 轴的对称点为 ，点 (1,1 2 , 2)关于 平面的对称点
为 ，若 // ，则 = ．
14.江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而
2
成，在平面直角坐标系中，利用半圆 : 21 +
2 = 1( ≥ 0)和半椭圆 2 : +
2 = 1( ≤ 0)围成了一个封闭
2
的图形模拟鸡蛋的横截面(图1)，点 为半椭圆 2的焦点，过原点 的直线 交 1于点 ，交 2于点 ，则| |的
1 1
最大值为 ;点 是 2上一点，点 是半圆与 轴的交点(如图2所示)，点 ( , )，则| | + | |的最2 2
大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线 经过两条直线2 + + 5 = 0和 2 5 = 0的交点，且垂直于直线 3 + 1 = 0，圆 经过三
点( 2,0)，(2,0)，(1,1)．
(1)求直线 与圆 的方程;
(2)求直线 被圆 所截得的弦长．
16.(本小题12分)
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盘，全称 闪存驱动器，它是一种使用 接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过
接口与电脑连接实现即插即用.有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的 盘，其中银色 盘4个，黑色 盘
3个，从中任取2个 盘．
(1)求取出的2个 盘都是黑色 盘的概率;
2
(2)如果是4个银色 盘， 个黑色 盘( ∈ )，已知取出的2个 盘都是银色的概率为 ，那么 是多少
5
17.(本小题12分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90 ， = = 2， 1 = 2√ 2， 是 1 1的中点， 是 1的
中点．
(1)证明： 1 ⊥平面 1 ;
(2)求直线 与平面 1 1 所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
2 2
已知点 ( 2,0)是双曲线 : 2 2 = 1的一个焦点，且过点(2,3)．
(1)求双曲线 的渐近线方程;
(2)直线 : = 与双曲线 相交于 ， 两点，若| | = 3√ 2，求△ 的面积;
(3)直线 ′: = + ( ≠ ±√ 3)与双曲线 有唯一公共点 ，过点 与直线 ′垂直的直线分别交 轴、 轴于
点 ( , 0)， (0, )，当 运动时，求点 ( , )的轨迹方程．
19.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 1 : 2 + 2 = 1( > > 0)，短轴长为2，离心率为
√ 3，过点 ( 1,0)的直线 交椭圆 于 ， 两点，
2
1
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点 为椭圆的右顶点( , , 三点不共线)(如图1)．
(1)求椭圆 1的标准方程;
(2)证明：直线 与 的斜率之积为定值;
(3)以椭圆 1的长轴为旋转轴，将椭圆

1旋转90 ，得到椭圆 2(如图2所示，椭圆 1在平面 内，椭圆 2在
平面 内)，椭圆 2上是否存在定点 ，使得平面 ⊥平面 恒成立 若存在，求 的坐标;若不存在，
请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】 1
5√ 2
14.【答案】√ 2 + 1；
2
2 + + 5 = 0 = 1
15.【答案】解：(1)由题意，联立{ 解得{ ，即交点坐标为( 1, 3)， 2 5 = 0 = 3
直线 与直线 3 + 1 = 0相互垂直，则直线 的斜率 = 3，
则直线 的方程为 + 3 = 3( + 1)，化简得3 + + 6 = 0，
所以直线 的方程为3 + + 6 = 0，
设圆的一般方程为 2 + 2 + + + = 0，
可得方程组
所以圆 的方程为 2 + 2 + 2 4 = 0．
(2)由圆 的方程 2 + 2 + 2 4 = 0，即 2 + ( + 1)2 = 5，
可知圆心 的坐标为(0, 1)，半径为√ 5，
|3×0 1+6| 5
圆心 到直线3 + + 6 = 0的距离 = = < √ 5 = √ 2 2 √ 10 ， 3 +1
由于 < √ 5 = ，所以直线 与圆 相交，设交点为 ， ，
则| | = 2√ 2 2 = √ 10，
所以直线 被圆 所截得的弦长为√ 10.
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16.【答案】解：(1)用1，2，3，4表示4个银色 盘，用 ， ， 表示3个黑色 盘，
则该试验的样本空间可表示为 = {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1, )，(1, )，(1, )，(2,3)，(2,4)，(2, )，(2, )，
(2, )，(3,4)，(3, )，(3, )，(3, )，(4, )，(4, )，(4, )，( , )，( , )，( , )}共21个样本点，
设事件 =“两次取出的都是黑色 盘”，
3 1
则 = {( , )，( , )，( , )}，共有3个样本点，故 ( ) = = ．
21 7
(2)设事件 =“两次取出的都是银色 盘”，
则 = {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共有6个样本点，
( ) 6 2
故 ( ) = = = ，∴ ( ) = 15，
( 1) ( 1) 5
1
由(1)可知当 = 3时，样本点个数为21， 越大，样本点个数越多，
故 < 3，又因为 ∈ ，故 取1，2．
若 = 1，则用1，2，3，4表示4个银色∪盘，用 表示1个黑色 盘，
则 1 = {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1, )，(2,3)，(2,4)，(2, )，(3,4)，(3, )，(4, )}，不满足题意，
若 = 2，则用1，2，3，4表示4个银色 盘，用 ， 表示2个黑色 盘，
则 1 = {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1, )，(1, )，(2,3)，(2,4)，(2, )，(2, )，(3,4)，(3, )，(3, )，(4, )，(4, )，
( , )}，
，满足题意，故 = 2．
17.【答案】解(1):以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系.故 F(0,2,√ 2)， 1(0,0,2√ 2)， (2,0,0)， (1,1,2√ 2)， 1(2,0,2√ 2)
故 1 = ( 2,2, √ 2)， = ( 1,1,2√ 2)， 1 = (1,1,0)，
∴ 1 = 0， 1 1 = 0，
∴ ⊥ ， 1 1 ⊥ 1 ，
又因为 1 ∩ = ，
1 , 平面 1
故 1 ⊥平面 1 ;
(2) 1(0,0,2√ 2)， (2,0,0)， 1(0,2,2√ 2)， (0,2,0)，故 = (2, 2,0)， 1 1 = (0,2,0)， 1 = (2,0, 2√ 2)，
设 = ( , , )是平面 1 1 的一个法向量，
· = 0
则{ 1 1
· 1 = 0
2 = 0
∴ {
2 2√ 2 = 0
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令 = √ 2，所以 = (2,0, √ 2)是平面 1 1 的一个法向量，
设直线 与平面 1 1 所成的角为 ，
· |4+0+0| √ 3
则sin = |cos < ， > | = | | = = ， ∈ [0, ]，
| || | √ 6×2√ 2 3 2
√ 6
∴ cos = √ 1 sin2 = ，
3
故直线 与平面 1 所成的角的余弦值为
√ 6
1 ． 3
18.【答案】解：(1)由双曲线的定义可知2 = √ ( 2 2)2 + 32 √ ( 2 + 2)2 + 32 = 2，
所以 = 1， = √ 3，即双曲线 的渐近线方程为 = ±√ 3 ；
2
(2)由(1)可知双曲线的标准方程为 2 = 1，
3
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
=
由题意，联立方程组得{ 22 ，消去 得2
2 + 2 2 3 = 0 ①，
= 1
3
2 +3
1 + 2 = ， 1 2 = ， 2
由| | = √ (1 + 2)[( 1 + 2 22) 4 1 2] = √ 2(3 + 6) = 3√ 2 ，
解得 2 = 1，即 = ±1，
当 = 1时，代入 ①式得 2 + 2 = 0，解得 = 1或 2，即 (1,0)， ( 2,3)，
1 9
则△ 的面积 △ = × | | × 3 = ， 2 2
当 = 1时，代入 ①式得 2 2 = 0，解得 = 1或2，即 ( 1,0)， (2,3)，
1 3
则△ 的面积 △ = × | | × 3 = ， 2 2
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9 3
所以，综上所述，△ 的面积为 或 ，
2 2
2
(3)将直线 ′: = + ( ≠ ±√ 3)代入 2 = 1，
3
化简得(3 2) 2 2 2 3 = 0，
由△= 4 2 2 4(3 2)( 2 3) = 0，解得 2 = 2 + 3，

所以点 的横坐标为 = 2 ，
(3 )
2
2 3将 = 2 + 3代入可得 = 2 = ， =
+ = + = ，

3
由此点 的坐标为( , )，

1 4
由此过点 与 ′垂直的直线的方程为 = ，

4 4 4 4
所以 ( , 0)， (0, )，即点 ( , )，

由 2 = 2 + 3，可得点 的轨迹方程为 2 3 2 = 16( ≠ 0)．
19.【答案】解：(1)2 = 2，所以 = 1，
√ 3
由 = ， 2 = 2 2 = 1得 = √ 3， = 2，
2
2
所以椭圆 1的标准方程为 +
2 = 1;
4
(2)若直线 的斜率不存在，即 的方程为 = 1
√ 3 √ 3
可得 ( 1, )， ( 1, )，
2 2
√ 3 √ 3 1
则 = ， = ，得 6 6 = 12
若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 = ( + 1)，
点 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
将 = ( + 1)
2 2
代入 + 2 = 1得 + 2( + 1)2 = 1，
4 4
化简得(4 2 + 1) 2 + 8 2 + 4 2 4 = 0，
2 2
8 4 4
所以有 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 +1 4 +1
1 又由 = ， = 2 2 ， 1 2 2

则 =
1 2 = 1 2 ，
1 2 2 2 ( 1 2)( 2 2)
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2 2 2
2 2 4 4 8 3 1 2 = ( 1 2 + 1+ 2 +1) = ( 2 2 + 1) = 2 ，
4 +1 4 +1 4 +1
2 2 2
4 4 16 36
( 1 2)( 2 2) = 1 2 2( 1 + 2)+ 4 = 2 + 2 + 4 = 2 ，
4 +1 4 +1 4 +1
2 2
3 4 +1 1
所以 = 2 2 = ，
4 +1 36 12
由此可得直线 与 的斜率之积为定值;
(3)在空间直角坐标系中， (2,0,0)，设 ( 1, 1 , 0)， ( 2 , 2 , 0)， ( 3,0, 3)
则 = ( 3 2,0, 3)， = ( 1 2, 1 , 0)， = ( 2 2, 2 , 0)
设平面 的法向量为 = ( , , )
= ( 3 2) + 3 = 0{ ，
= ( 1 2) + 1 = 0
2 2
令 = 1，则 = 1， = 3，
1 3
2 2
所以有 = (1, 1 , 3)，
1 3
2 2
同理可得平面 的法向量为 = (1, 2 , 3)，
2 3
由平面 ⊥平面 ，
2
所以 = 1 × 1+ 1
2 2 2 2 × + 3 × 3 = 0，
1 2 3 3

又由(2) = 1
2 1 2 1
= = 1 2 2 2 ( 1 2)( 2 2) 12
2
(2 )
所以有 32 = 11， 3
2
2 2 (2 3)
在平面 内，由椭圆 : + 2 = 1，则有 32 +
2
3 = 1，所以得 2 = 11， 4 4
1 3
4
14 4√ 11 14 4√ 11 14 4√ 11
解得 3 = ， = ± ，存在这样的定点 ( , 0, )， ( , 0, ) 15 3 15 1 15 15 2 15 15
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