2024-2025学年北师大版（2012）数学八年级下册第四章因式分解 单元测试A卷基础训练（含答案）

第四章 因式分解 单元测试A卷基础训练
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.将多项式进行因式分解,公因式是( )
A. B. C. D.
2.若,,则的值为( )
A.9 B.16 C.20 D.25
3.下列因式分解结果正确的是( )
A. B.
C. D.
4.某课外密码研究小组接收到一条密文：.已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后,明文可能是( )
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
5.已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足，则该长方形的面积为( )cm2
A. B. C.15 D.16
6.已知a、b、c为的三边,且满足,则是( )
A.直角三角形 B.等腰或直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
7.如图为2024年某月日历,现用一个正方形方框框住部分(阴影部分)9个位置上的数,若最小的数与最大的数的积记为n,中间位置上的数记为m.下列所给的数据中,n不可能是( )
A.161 B.298 C.420 D.465
8.已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为( )
A. B.1 C. D.3
9.将因式分解后得，那么n等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
10.数论是研究整数性质的一门理论.它渗透于我们的中小学数学教材之中，其中整数的奇偶性也属于数论研究内容的一部分，偶数与奇数的运算性质为：奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=奇数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数.有这样一道关于整式运算的试题：已知a，b，c为自然数，使得，请求出a，b，c的值.小明运用整数的奇偶性进行分析，得出以下结论：
①要使等式成立，则三个因式均为奇数；
②可以求出a，b，c的1组解；
③可以求出a，b，c的6组解；
④没有符合条件的自然数a，b，c.
以上结论正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.分解因式：______.
12.分解因式：______.
13.化简：______.
14.已知,则______.
15.定义：任意两个数a,b,按规则扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“鸿蒙数”,若,,比较b,c的大小：b______c.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）因式分解：
(1)；
(2).
17.（8分）阅读理解学习：
将多项式分解因式得，说明多项式有一个因式为，还可知，当时.
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
(1)若多项式有一个因式为，求k的值；
(2)若，是多项式的两个因式，求a，b的值.
18.（10分）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式.有些多项式不是完全平方式,我们可以通过添加项,凑成完全平方式,再减去这个添加项,使整个式子的值不变,这样也可以将多项式进行分解,并解决一些最值问题.
例如：(1)分解因式：
(2)求代数式的最小值.
∴当时,代数式有最小值
结合以上材料解决下面的问题：
(1)若二次三项式恰好是完全平方式,k的值是；
(2)分解因式：；
(3)当x为何值时,有最小值 最小值是多少
19.（10分）若一个整数能表示成(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”例如,5是“完美数”,因为.再如,(x,y是整数),所以M也是“完美数”.
(1)请你再写一个小于10的“完美数”,并判断41是否为“完美数”；
(2)已知(x,y是整数,k是常数),要使s为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.
(3)如果数m,n都是“完美数”,试说明也是“完美数”.
20.（12分）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
(1)提取公因式法：提取各单项式中的公因式,提取完后合并单项式分解因式：；
(2)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解：
①分解因式______；
②解方程：.
(3)拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项,或在多项式中添上两个符合相反的项.
①______；
②______；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等.
[综合应用]分解因式：______.
21.（12分）某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后,发现各因式的常数项是两个连续的整数,且与多项式的系数之间存在着某种联系：
......
我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”.观察上述规律,思考以下问题：
(1)请根据上述规律,再写一个“关于a的连续式”,并写出其因式分解的形式：___________；
(2)已知k为整数,多项式能否成为“关于a的连续式”？若能,请求出k的值,并将该式写成因式分解的形式；若不能,请说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：多项式,
公因式是.
故选：A.
2.答案：C
解析：,,
∴,
故选：C.
3.答案：D
解析：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D.
4.答案：D
解析：
原式
∴对应密文可得到的字为：爱,我,中,大；
故选：D.
5.答案：A
解析：∵长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，
∴，
∴①，
∵，
∴，
∴，
∴②，
联立①②解得，
∴长方形的面积，
故选A.
6.答案：B
解析：,
,
,
,
或,
或,
(舍去负值)或,
是等腰三角形或直角三角形.
故选：B.
7.答案：B
解析：最大和最小的两个数是和,
,
即,
A选项中,当时,,则,,,所以n可能是161,故A不符合题意；
B选项中,当时,,则没有正整数的平方等于,不符合日历,所以n不可能是298,故B符合题意；
C选项中,当时,,则,,,所以n可能是420,故C不符合题意；
D选项中,当时,,则,,,所以n可能是465,故D不符合题意；
故选：B.
8.答案：B
解析：由题意得，①，②，
①-②得，，
，
，
，
，
，
.
故选：B.
9.答案：B
解析：∵
，
又∵将因式分解后得，
∴，
∴，故B正确.
故选：B.
10.答案：B
解析：，，，
，，是2负1正，
，，，
没有符合条件的自然数a，b，c.
故正确的是①④.
故选：B.
11.答案：
解析：,
故答案为：
12.答案：
解析：
.
故答案为：.
13.答案：
解析：原式
.
故答案为：.
14.答案：9
解析：∵,,
∴原式
；
故答案为：9.
15.答案：
解析：由题意得,当,时,
,
,
,
故答案为：.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1),
,
；
(2),
,
,
.
17.答案：(1)
(2)
解析：(1)有一个因式为，
当时，，
当时，，
，
；
(2)，是多项式的两个因式，
当和时，，
和时，，
，
.
18.答案：(1)6或
(2)
(3)时,最小值
解析：(1)恰好是完全平方式,
,
即k的值是6或；
(2)
,
,
；
(3)
,
,
∴当时,代数式有最小值.
19.答案：(1)8,是
(2)时,s为“完美数”,理由见解析
(3)证明见解析
解析：(1),
是完美数,
,
是完美数；
(2)时,s为“完美数”,理由如下：
,
∵x,y是整数,
∴,也是整数,
∴当,即,s是完美数；
(3)证明：设,,(a,b,c,d为整数),
,
∵a,b,c,d是整数,
∴,,,都是整数,
是完美数.
20.答案：(1)
(2)①；②
(3)①；②；综合应用：
解析：(1)；
故答案为；
(2)①；
故答案为；
②
∴或,
∴,；
(3)①
；
②
；
故答案为；；
综合应用：
；
故答案为.
21.答案：(1),
(2)能,,
解析：(1)∵,
∴,
故答案为：,；
(2)能,
由题意,设,
则：,
∴,解得,
∴.