2024-2025学年北师大版（2012）数学八年级下册第四章因式分解单元测试B卷提升训练(含答案)

第四章 因式分解 单元测试B卷提升训练
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.把分解因式,结果正确的是( )
A. B.
C. D.
2.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息：,,,,,分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美,现将因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱美 B.桂林游 C.我爱桂林 D.美我桂林
3.生活中我们经常用到密码,如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是：将一个多项式分解因式,如多项式因式分解的结果是,当取,时,各个因式的值是:,,,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.类似地,对于多项式,当取,时,用上述方法可以产生一个六位数密码.则这个密码可以是( )
A.102030 B.103020 C.101030 D.102010
4.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( )
A.285 B.330 C.512 D.582
5.可以被60和70之间某两个数整除,这两个数是( )
A.61,63 B.61,65 C.63,65 D.63,67
6.甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么的值为( )
A.-8 B.-6 C.-4 D.2
7.已知，，，则代数式的值是( )
A.0 B. C.2 D.3
8.若多项式含有因式和，则的值为( )
A.1 B.－1 C.－8 D.
9.已知关于x的整式,其中a,b,c,d,e为整数,且,下列说法：①M的项数不可能小于等于3；②若,则M不可能分解为一个整式的平方；③若,且a,b,c,d,e均为正整数,则满足条件的M共有4个.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：(s,t是正整数,且),如果在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称是n的最优分解,并规定：.例如24可以分解成,,,这四种,这时就有.给出下列关于的说法：①；②；③；③若n是一个完全平方数,.其中说法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.分解因式：______.
12.若,,则a与b的大小关系为______.
13.新定义：对于任意实数x，都有，若，，则将因式分解的结果为_________.
14.观察以下等式：
；
；
；
.
运用你所发现的规律解决以下问题：已知x,y为实数,,则的最大值为______.
15.已知一个长方形的四条边的长度都是小于10的正整数（单位：），由这个长方形的四条边的长度数可构成一个四位数，且是一个完全平方数，若这个四位数的千位数字与百位数字相同，则这个长方形的面积为_____________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）因式分解：
(1)；
(2).
17.（8分）如图,将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m、宽为n的全等小矩形,且.(以上长度单位：)
(1)用含m,n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分)的长度之和；
(2)观察图形,可以发现代数式可以因式分解为______；
(3)若每块小矩形的面积为,四个正方形的面积和为,试求的值.
18.（10分）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法,其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法：
例如：,
②拆项法：
例如：.
(1)仿照以上方法,按照要求分解因式：
①用分组分解法：；
②用拆项法：；
(2)已知：a,b,c为的三条边,,求的周长.
19.（10分）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算,其算法如下：对于多项式,令时,,则必有一个因式是,且可以分解为,对于多项式,令时,,则必有一个因式是,且可以分解为
(1)分解因式：(当时,原式为0)(方法任意)；
(2)已知多项式既能被整除,又能被整除,求m、n的值(方法任意)
20.（12分）(1)若,则的值是______；
(2)分解因式：
①；
②；
(3)若多项式能分解成两个一次式(常数项为整数)的乘积,求a的值.
21.（12分）(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：.反过来,就得到：.我们发现,二次三项式的二次项的系数a分解成,常数项c分解成,并且把,,,,如图1所示摆放,按对角线交叉相乘再相加,就得到,如果的值正好等于的一次项系数b,那么就可以分解为,其中,位于图的上一行,,位于下一行.像这种借助画十字交叉图分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做“十字相乘法”.
例如,将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积,即,把常数项也分解为两个因数的积,即；然后把1,1,2,按图2所示的摆放,按对角线交叉相乘再相加的方法,得到,恰好等于一次项的系数,于是就可以分解为.
请同学们认真观察和思考,尝试在图3的虚线方框内填入适当的数,并用“十字相乘法”分解因式：__________.
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
①__________；
②__________.
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于x,y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解,如图4.将a分解成乘积作为一列,c分解成乘积作为第二列,f分解成乘积作为第三列,如果,,,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式,请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式__________；
②若关于x,y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积,求m的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：
故选：A.
2.答案：C
解析：
,
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱桂林,
故选：C.
3.答案：C
解析：
,
∵,,
∴,
∴这个密码可以101030,
故选：C.
4.答案：C
解析：∵一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”,
∴设“幸福数”为(n为整数),
∵,
∴“幸福数”是8的倍数,
观察各选项,是8的倍数的只有512,
故选：C.
5.答案：C
解析：∵
,
∴能被和整除,
∵,,
∵,,
∴能被65和63整除,
∴这两个数为：65和63.
故选：C.
6.答案：A
解析：甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，.乙看错了b的值，分解的结果为，，.
7.答案：D
解析：，，，
，，，
.
故选：D.
8.答案：A
解析：多项式的最高次数是3，的最高次数是2，
∵多项式含有因式和，
∴多项式的最后一个因式的最高次数应为1，可设为，
即，
整理得：，
比较系数得：，
解得：，
∴.
故选：A.
9.答案：C
解析：根据,且a,b,c,d,e为整数,可得a最小为0,则M的项数至少是4项,故不可能小于等于3,故①正确；
若,则,假设M可以分解为一个整式的平方,
设,
则
,
,,,,,
,
,,
这与矛盾,
∴假设不成立,
故,则M不可能分解为一个整式的平方,
∴②正确；
若,且a,b,c,d,e均为正整数,
则有,,,,,
或,,,,,
或,,,,共三种情况,故③错误；
故选：C.
10.答案：D
解析：①∵,
∴,故本小题正确；
②∵,
∴,故本小题正确；
③∵,
∴,故本小题正确；
③∵n是一个完全平方数,
∴n分解成两个完全相同的数时,差的绝对值最小,
∴,故本小题正确.
综上所述,说法正确的个数是4,
故选：D.
11.答案：
解析：,
故答案为：.
12.答案：
解析：∵
.
.
故答案为：.
13.答案：
解析：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
，
，
故答案为：.
14.答案：100
解析：∵；
；
；
.
∴
∴
∵,
∴
∵,
∴,
∴的最大值为100,
故答案为：100.
15.答案：28
解析：设长方形的边长为，
则四位数，
N是一个完全平方数，11为质数，
能被11整除，
又，，
，得，
，
是一个完全平方数，
经试算知当时满足条件，故，
从而长方形的面积.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
17.答案：(1)
(2)
(3)49
解析：(1)图中一条竖直裁剪线长为,一条水平裁剪线长为,
∴所有裁剪线(虚线部分)长度之和为：；
(2)解：大长方形的面积由长乘宽可得,由九个小图形之和可得,
∴
即可以因式分解为：,
故答案为：；
(3)依题意得,,,
,
,
.
18.答案：(1)①；②
(2)14
解析：(1)①
；
②
；
(2)
∴,
∴,,,
∴的周长为.
19.答案：(1)
(2),
解析：(1)当时,,
多项式必有一个因式,
设,
,
比较同类项的系数得：,,
由,解得：,
由,解得：,
；
(2)多项式既能被整除,又能被整除,
多项式必有因式和,
当或时,,
当时,,
整理得：①,
当时,,
整理得：②,
①②,得：,
,
将代入②,得：.
,.
20.答案：(1)
(2)①；②
(3)或
解析：(1)∵,
∴,
∴,
∴,,
∴,,
∴,
故答案为：；
(2)①
；
②
；
(3)∵能分解成两个一次式(常数项为整数)的乘积,
∴可设,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵m、n都是整数,
∴,都是整数,
∵,
∴或或或,
∴或或或,
∴或,
解得或.
21.答案：(1)
(2)；
(3)；43或
解析：(1)首先把二次项的系数1分解为两个因数的积,即,把常数项也分解为两个因数的积,即,所以.
故答案为：.
(2)①把二次项系数2写成,,满足,所以.
故答案为：.
②把项系数6写成,把项系数2写成,满足,
所以.
故答案为：.
(3)①把项系数3写成,把项系数-2写成,常数项-4写成满足条件,
所以.
故答案为：.
②把项系数1写成,把项系数-18写成,常数项-24写成或满足条件,
所以或,
故m的值为43或-78.