2024-2025学年广西壮族自治区柳州市高二上学期1月期末联合考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西壮族自治区柳州市高二上学期1月期末联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.在等比数列中，，，是的前项和，则( )
A. B. C. D.
5.若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列满足，其前项和则( )
A. 数列的公比为 B. 数列为递减数列
C. D. 当取最小值时，
8.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列现对数列，进行构造，第次得到数列，，，第次得到数列，，，，，依此类推，第次得到数列，，，，，记第次得到的数列的各项之和为，则的通项公式( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 数列的最大项为 D.
10.下列有关数列的说法正确的是( )
A. 数列，，与数列，，是同一个数列
B. 数列的通项公式为，则是该数列的第项
C. 在数列，，，，，中第个数是
D. 数列，，，，，的一个通项公式为
11.已知直线的方向向量，为直线上一点，若点为直线外一点，则点到直线上任意一点的距离可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，且，，则 ．
13.已知是等比数列，，若，则实数 ．
14.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，，三点共线，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
焦点在轴上，实轴长为，其离心率
渐近线方程为，经过点．
16.本小题分
已知等差数列的前项和满足，．
求的通项公式
，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
证明：
当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值
线段的长为何值时，二面角的大小为．
18.本小题分
已知数列满足，
求证：是等差数列
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且．
求抛物线的方程
过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率．
参考答案
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15.解：由题意设所求双曲线的标准方程为，
则，
所求双曲线的标准方程为
由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为，
该双曲线经过点，，
所求双曲线的标准方程为．
16.解：设公差为 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
，所以 ，
所以
．

17.解：以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
因为，
，所以；
因为为中点，则，
从而，，
设与所成的角为
则．
设平面的法向量为，
，，
由，有，
令，从而，
，
由题意，．
不合题意，舍去，或．
当时，二面角的大小为．
18.证明：由，
又，
，
故，且，
是首项、公差均为的等差数列．
解：由，，则，
又，
，
则，
，
，
则，
，．

19.解：不妨设点在第一象限，因为，所以，则，
因为，所以，即抛物线的方程为．
当直线的斜率不存在时，，，要使得为等边三角形，则，
但是，，为等腰直角三角形，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由
化简得，则，，
故线段的中点为
设，因为，所以，即，
，，
因为为等边三角形，所以，
即，即，．
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