2024-2025学年辽宁省鞍山市普通高中高一上学期质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省鞍山市普通高中高一上学期质量监测数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知命题“，”，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若为函数的零点，则所在区间为( )
A. B. C. D.
3.测甲、乙两组各名学生的身高单位：，所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是( )
A. 两组学生身高的极差相等
B. 甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C. 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小
D. 甲组学生身高在以上的人数较多
4.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征，如函数的图像大致形状是( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则( )
A. B. C. D.
6.下图是易书中的八卦图含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦，每一卦由三根线组成表示一根阳线，表示一根阴线，传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为的概率是( )
A. B. C. D.
7.定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式解集为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
8.已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，共24分。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数的零点是，
B. 若定义在上的函数满足，则为增函数
C. 函数的定义域为，则
D. 已知函数，则的值为
10.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，则( )
A. B.
C. D.
11.有个标记数字，，，，的小球，从中有放回地随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁互斥 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立
12.已知函数，若，且，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 若方程有个不同的实根，则
D. 若方程有个不同的实根，则
三、填空题：本大题共4小题，共20分。
13.已知向量，，且，则 ．
14.已知函数的单调递增区间为 ．
15.已知定义在上函数满足，，，，都有，据此可构造函数 ，且知是 填“奇”或“偶”函数，在上为 填“增”或“减”函数．
16.在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去每次飞时，均从一叶飞到另一叶，而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的倍，如图所示假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知全集，集合，集合
若，求，
若是的充分条件，求实数的取值范围．
18.已知是自然对数的底数，函数，
求证：是偶函数
求不等式的解集．
19.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点点、与点、不重合，设，，
求的值
求的最小值，并求此时，的值．
20.国务院于年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄单位：岁分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
求值，并求这组数据的分位数精确到；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人抽取结果中来自第组和第组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为和已知第组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为和，据此估计第组所有人的年龄的方差．
21.某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在岁到岁之间与年龄在岁到岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，已知甲岁、乙岁两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
22.已知函数，函数，
若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围
设的反函数为，且，，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.奇减
16.
17.解：若，则，
因为，所以，
或
若是的充分条件，则，
则，所以，
即实数的取值范围为
18.证明：因为是定义域为关于原点对称，
又，，所以为偶数；
解：因为函数是定义域为上的偶函数，
所以只需判断上单调性即可；易知，
任取，，，
因为，所以，，，，，得，即，
所以在上是单调增函数，由偶函数性质可得在上单调递减，
因此可得在上单调递减，在上单调递增；
由是偶函数得对函数来说，距离其对称轴轴越近，函数值越小，
因此不等式等价于，即，也即，
整理可得，解得或；
所以不等式的解集为
19.解：如图所示，
因为为 重心，
所以 ，
所以 ，
因为，，三点共线，
所以 ，即 ．
由题意可知 ，且 ，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
又因为，所以，时，的最小值

20.解由表中数据可得，解得，
设第百分位数为，因为前组频率，
前组频率，
所以位于第三组：内即，
由题意得，第组和第组的频率分别为，，
故第组和第组所抽取的人数分别为，，
设第组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，第组人数人，
设第组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，
第组人数人第组和第组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，求得，
即第组所有宣传使者的年龄平均数为，
．
解得即第组所有宣传使者的年龄方差为
21.解：设甲、乙两人第次答对题目分别记为事件，，
则，．
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为．
设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件，
乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件，
则，
．
故所求概率为．
甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为．
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为．
故所求概率为．

22.解：由 ，可得： ，设 ，
则 ，
又 ，故 ，
因此当 时， 取得最小值为 ；
当 时， 取得最大值为 ，故 ．
所以实数 的取值范围为
的反函数为 ，
则，
若对任意的 ，均存在 ，满足 ，
则只需 恒成立即可．
设 ，因为 ，故 ．
设 ，分如下情形讨论：
当 时， ，
此时 ，，不满足 恒成立
当 时， 在单调递减，
，此时只需 在 上恒成立，
则只需： 在 上恒成立，
因为 是开口向上的抛物线，
对称轴为时单调递增，
故只需： 时，不等式 成立即可，
即，
解得： ，与 矛盾；
当 时， 在单调递增，
，
命题成立必须 在 上恒成立，
即 在 上恒成立；
，
当 时， 时，取最小值，
故 成立
整理得 ，
解得： ，
又因为
故 ；
当 时，在 上单调递减，
故当 时， 成立即可，
解得 ，
又 可得 ；
综上 时， ．
综上所述，实数 的取值范围为 ．

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