黑龙江省哈尔滨七十三中2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨七十三中 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = { | 2 = }，则下列说法正确的是( )
A. { } B. {1} = C. { 1,1} D. {0}
1
2.“ 2 2 > 0”是“ < 2”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
3.已知角 的终边经过点 ( 1, √ 2)，则 =( )
√ 3 √ 2 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
3 2 2 3
4.函数 ( ) = 3 + 2 50的零点所在区间为( )
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
5.已知角 = 1370°，则角 的终边落在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8
6.若2 = 6， = 4 ，则 + 2 的值是( ) 3
A. 3 B. log23 C. 3 D. 4

7.已知函数 ( ) = sin(3 + )，若 ( + )是偶函数，则 ( )图象的对称轴方程可能是( )
12
2 3
A. = B. = C. = D. =
4 3 3 4
8.记 { , }表示 ， 二者中较大的一个，函数 ( ) = 2 7 5， ( ) = {31 , log3( + 2)}，若
1 ∈ [ 1, + 1]， 2 ∈ [0, +∞)，使得 ( 1) = ( 2)成立，则 的取值范围是( )
9 5 11 7
A. [ 5, 2] B. [ 4, 3] C. [ , ] D. [ , ]
2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 104 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角 的终边经过点( 2, √ 3)，则下列选项正确的是( )
√ 21
A. 为钝角 B. =
7
√ 21
C. = D. 点( , )在第二象限
7
4
10.已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )的图象关于点( , 0)中心对称，则( )
3
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5
A. = B. 直线 = 是曲线 = ( )的对称轴
3 6
13
C. ( )在区间( , )有两个极值点 D. ( )在区间(0, )单调递增
12 12 12
11.已知函数 ( ) = ( 21 2 + 2)，则以下说法正确的是( )
2
A. ∈ ，使得 ( )为偶函数
B. 若 ( )的定义域为 ，则 ∈ ( √ 2, √ 2)
C. 若 ( )在区间( ∞, 1)上单调递增，则 的取值取值范围是[1, +∞)
√ 7 √ 7
D. 若 ( )的值域是( ∞, 2]，则 ∈ { , }
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
+ 2, ≤ 1
12.已知函数 ( ) = { 2 , 1 < < 2，若 ( ) = 3，则 =______．
2 , ≥ 2
1
13.若sin(180° + ) + cos(90° + ) = ，cos(270° ) + 2 (360° ) = ______．
4
1 2
14.已知定义域为 的函数 ( ) =
2 +1
.若 ( 3 ) + (3 9 + 2) > 0对任意 ≥ 1恒成立，则 的取值范
+2
围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2 1
(1)已知 = ，求 的值．
3 sin cos
1
(2)若 = ，求 的值．
2
16.(本小题12分)
已知一扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ．
(1)若 = 45°， = 10 ，求扇形的弧长 ；
(2)已知扇形的周长为10 ，面积是4 2，求扇形的圆心角．
17.(本小题12分)

已知函数 ( ) = √ 2sin(2 + ) + 6 2 2 + 1, ∈ ．
4
(1)求 ( )的对称轴；
3
(2)求 ( )在区间[0, ]上的值域．
4
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18.(本小题12分)
3 +1
已知函数 ( ) = 是定义在 上的奇函数( > 0, > 0)． 3 +
(Ⅰ)求 ( )的解析式；
(Ⅱ)求当 ∈ [0,1]时，函数 ( ) = ( ) (3 + 1) + 9 1的值域．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log4(2 + ) log4(2 )，函数 ( ) = (4

4 2)．
(1)试判断函数 ( )的单调性，并证明你的结论；
2
(2)若不等式 (log2(2 + 1)) ≤ ( )对 ∈ [ , 2)恒成立，求实数 的取值范围． 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 3
3
13.【答案】
8
4
14.【答案】( ∞, )
3
1 sin2 +cos2 1 2 3 13
15.【答案】解：(1)根据题意，可得 = = + = + = + = ；
sin cos sin cos cos sin tan 3 2 6
1
(2)由 = ，两边平方可得sin2
1
+ cos2 2 = ，
2 4
1 3
所以1 2 = ，解得 = ．
4 8

16.【答案】解：(1)因为 = 45° = 弧度，
4
5
所以 = = × 10 = ( )；
4 2
2 + = 10
(2)由题意得{1
2
，
= 4
2
= 1 = 4
解得{ (舍去)或{ 1，
= 8 = 2
1
故扇形圆心角为 弧度．
2

17.【答案】解：(1)由 ( ) = √ 2sin(2 + ) + 6 2 2 + 1
4

= √ 2 2 √ 2 2 + 3 2 2 = 2 2 2 2
4 4
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= 2√ 2sin(2 )，
4
3
令2 = + ，得 = + ， ∈ ，
4 2 8 2
3
所以 ( )的对称轴为 = + ， ∈ ；
8 2
3
(2)由(1)可知， ( ) = 2√ 2sin(2 )，因为 ∈ [0, ]，
4 4
5 √ 2
则2 ∈ [ , ]， ≤ sin(2 ) ≤ 1，
4 4 4 2 4
3
( )在区间[0, ]上的值域为[ 2,2√ 2]．
4
18.【答案】解：(Ⅰ) ∵ ( )是 上的奇函数，
3 3 3 3
∴ ( ) = ( )，即 = ， 3 + 3 +
3 3 3 3
∴ = ，
3 +1 3 +
∴ = 3， = 1，
3 3 3
∴ ( ) = ；
3 +1
(Ⅱ) ( ) = 3 3 3 + (3 2
3 1
) 1 = (3 )2 3 3 + 2 = (3 )2 ，
2 4
∵ ∈ [0,1]，
∴ 3 ∈ [1,3]，
3 1∴ 3 = 时 ( )取最小值 ；3 = 3时， ( )取最大值2，
2 4
1
∴ ( )的值域为[ , 2]．
4
2+
19.【答案】解：(1) ( ) = 4(2 + ) 4(2 ) = 4 ， 2
( )在其定义域( 2,2)上单调递增．
证明如下：设任意 2 < 1 < 2 < 2，则有：
2+ 1 2+ 2 4( 1 2)
= ，
2 1 2 2 (2 1)(2 2)
∵ 2 < 1 < 2 < 2，
∴ 2 1 > 0，2 2 > 0， 1 2 < 0，
4( 1 2) 2+ 1 2+ 2
∴ < 0，∴ 0 < < ，
(2 1)(2 2) 2 1 2 2
2+ 1 2+ 2
∵ = log4 在(0, +∞)上单调递增，∴ 4 < 4 ，即 ( 1) < ( 2). 2 1 2 2
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∴函数 ( )在( 2,2)上单调递增．
2 2
(2)由(1)知：当 ∈ [ , 2)时， ( ) = ( ) = 42， 3 3
2
由不等式 (log2(2 + 1)) ≤ ( )对 ∈ [ , 2)恒成立， 3
得 (log2(2 + 1)) ≤ log42，
∵ ( ) = 4(4
2)为单调递增函数，
∴ (4 2(2 +1)4 2) ≤ 42，
2 + 1 > 0
∴ 0 < 4 2(2 +1) 2 ≤ 2，∴ {2 < (2 + 1)2 ≤ 4，∴ √ 2 < 2 + 1 ≤ 2，
√ 2 1 1
解得 < ≤ ．
2 2
√ 2 1 1
∴实数 的取值范围( , ]．
2 2
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