2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是( )
A. B. C. D.
2.已知是平面的一条斜线，直线，则( )
A. 存在唯一的一条直线，使得 B. 存在无限多条直线，使得
C. 存在唯一的一条直线，使得 D. 存在无限多条直线，使得
3.已知无穷等比数列，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.双曲线：的渐近线方程为______．
6.已知函数，则 ______．
7.已知等差数列满足，则的值为______．
8.圆与圆的相交弦所在直线方程为______．
9.已知的直观图恰好是直角边长为的等腰直角，，
那么的面积为______．
10.在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有______条
11.一个圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率等于____．
12.如图所示，已知一个半径为的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为______．
13.若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ______．
14.已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围______．
15.已知数列为等差数列，且，设，，，当的前项和最小时，的值组成的集合为______．
16.已知正三棱锥，侧棱长为，底面边长为，若空间中的一个动点满足，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在等差数列中，，且，，构成等比数列．
求数列的通项公式；
令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
18.本小题分
如图所示，正三棱锥的侧面是边长为的正三角形，，，分别是线段，，的中点，若平面交于点．
求多面体的体积；
求证：四边形是正方形．
19.本小题分
如图，在长方体中，，点在棱上移动．
当点在棱的中点时，证明：平面平面；
当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为．
20.本小题分
已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限．
写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
求四边形周长的最小值；
若点横坐标小于，求四边形面积的最大值．
21.本小题分
函数满足：对任意，恒成立或恒成立，则称直线是函数在上的支撑线．
指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：；；
动点在函数图像上，直线：是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值；
直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：在等差数列中，，设公差为，由，，构成等比数列，
可得，即有，得，
因为当时，，不满足题意，舍去，所以，
所以；
由得，则，递增，
，
由，，
可得时，正整数的最小值为．
18.解：由正三棱锥的侧面是边长为的正三角形，得正三棱锥是正四面体，
取中点，连接，，取的中点，底面中心为，如图所示：
则易知，，
所以，
所以上面小三棱锥的高为，正三角形的边长为，下面三棱锥的高为，
所以多面体的体积为：
；
证明：易知，且，
所以四边形是平行四边形，又，
所以四边形为菱形，取的中点，
则，，又，
所以平面，又平面，
所以，所以，
所以四边形是正方形．
19.解：证明：在长方体中，，
当点在棱的中点时，则，
所以，
所以，即，
又平面，平面，
所以．
又，，平面，
所以平面，
又因为平面
所以平面平面；
如图，以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设时，平面与平面所成角为，
则，由图知，平面法向量为，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
因为平面与平面所成角为，
所以，
解得或舍，
所以当为时，平面与平面所成角为．
20.解：易知抛物线，
即，
可得，
此时且焦点在轴正半轴上，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为；
由知抛物线的焦点坐标为，
不妨设，，，
此时，
易知四边形为等腰梯形，
则四边形周长，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
所以四边形周长的最小值为；
易知，，
此时，梯形的高，
则四边形的面积为，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
当时，函数取得极大值，极大值，
又，
所以函数的最大值为．
故四边形的面积的最大值为．
21.解：因为或在不能恒成立，
所以无支撑线；
函数恒成立，
即是的一条支撑线；
直线：是在定义域上的支撑线，
若，则时，；
时，，不合题意，
所以，因为直线：是在定义域上的支撑线，所以恒成立．
令，所以，
由；由，
所以在上递增，在上递减，
所以的最大值为，
又易证在上递减，在上递增，且，
所以，
设，
所以在处的切线斜率为，
所以当在处的切线斜率为，
即时，点到直线：的距离取得最小值为．
直线是函数在上的支撑线．
若在上恒成立，所以，
记，
则，
当时，，所以在上单调递减，符合题意；
当时，，符合题意．
当时，，在上单调递减，，符合题意；
当时，在上单调递增，上单调递减，不符；
若在上恒成立，
在上，不符合题意，
综上，的范围为
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