辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省抚顺市六校协作体 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 + , ≥ 0,
1.已知函数 ( ) = { ，则 ( ( 1)) =( )
| + 1| + 2, < 0.
A. 2 B. 0 C. 2 D. 6
2.若“存在 ∈ ，使得 2 + + 1 < 0”是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. [ 2,+∞) B. ( ∞, 2] ∪ [2,+∞)
C. [ 2,2] D. ( 2,2)
3.已知 > > 0 > ，则下列不等式正确的是( )
1 1 3 3 1 1 A. < B. < C. 2 > 2 D. lg < 0
4.星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等.它们之间可用公式

= + 5 5 转换，其中 为绝对星等， 为目视星等， 为到地球的距离(单位：光年).现在地球某
3.26
处测得1号星的绝对星等为 1，目视星等为 1；2号星绝对星等为 2，目视星等为 2.则1号星与2号星到地
球的距离之比为( )
1+ 2 ( 1+ 2) 1 1 ( 2 2) ( 1 1)( 2 2) 1 1
A. 10 5 B. 10 5 C. 10 25 D. 10 2 2
1 2 2 1
5.已知集合 = { |( ) 2 > 1}， = { | ≤ 1}，则 ∪ =( )
2 +1
A. [ 1,2] B. [ 2,2] C. ( 2,2] D. ( 1,2]
6.函数 ( ) = log (6 )在[0,2]上为减函数，则 的取值范围是( )
A. (0,1) B. (1,3) C. (1,3] D. [3,+∞)
7.已知函数 ( ) = ln( 2 + + )的部分图象如图所示，则 + 的值是( )
A. 1 B. 1 C. 5 D. 5
( ) ( )
8.已知函数 ( )定义域为 ，且 ( ) = 2 + 2，若对任意的1 < 1 < 2 < 2，都有
1 2 > 5成立，
1 2
则实数 的取值范围是( )
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5 5 5
A. [0,+∞) B. [ , +∞) C. ( ,+∞) D. [ , +∞)
4 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对
立事件
B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23
C. 已知甲、乙两门高射炮同时向一目标开炮，若甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.8，则目
标被击中的概率为0.44
D. 数据 1， 2，…， 20的平均数为2，方差为3，则数据3 1 + 5，3 2 + 5，…，3 20 + 5的平均数为11，方
差为27
10.已知幂函数 ( ) = ( 2 3) ( , ∈ )，则下列说法正确的是( )
A. 若 = 1，则 ( )在(0,+∞)上单调递减
B. 若 = + 1，则 ( )是奇函数
C. 函数 = 2 ( 1) + 1过定点(2,1)
D. 若 = 3，则 (5) + ( 4) < 0
11.已知定义在区间[ 4,6]上的函数 ( )满足：对任意 ， ∈ 均有 ( + 1) + ( ) = ( )；当 > 1
时， ( ) > 0.则下列说法正确的是( )
A. (1) = 0
B. ( )在定义域上单调递减
C. ( + 1)是奇函数
D. 若 (2) = 1，则不等式 (2 ) > ( ) + 2的解集为(2,3]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = ( )满足：(1)定义域为 ；(2) ( ) = ( )；(3)在( ∞, 0)上为增函数.请写出满足上述三个条
件的一个函数解析式______(答案不唯一，正确即可)；
13.已知 ( )是奇函数，且当 < 0时， ( ) = 3 ，则 ( 2) = ______．
14.设[ ]表示不超过 的最大整数，如[1.5] = 1，[ 1.5] = 2.则函数 ( ) = 2 [ ] 1的零点为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 148 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 3 < 3 < 4}， = { |2 ≤ 2 2 ≤ 6}， = { | 1 ≤ ≤ + 2}．
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(1)求 ∩ ( )；
(2)若 ∈ 是 ∈ 的充分条件， ∈ 是 ∈ 的必要条件，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻
炼考核评分制度，建立一个每天得分 与当天锻炼时间 (单位：分)的函数关系.要求及图示如下：(1)函数是
区间[0,60]上的增函数；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为20分钟时，当天
得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：① = + ( > 0)，② =

1.2 + ( > 0)，③ = 2( + 2) + ( > 0)． 10
(1)请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由：
(2)根据所给信息求出函数的解析式；
(3)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟. (注：√ 2 ≈ 1.414，结果保留整数)．
17.(本小题12分)
已知 > 0， > 0，且 + 2 = 2．
1 1
(1)求 + 的最小值：

(2)求3 + 9 的最小值；
4
(3)求 的最大值．
+1
18.(本小题100分)
2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类
志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部
分学生的成绩 (单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五
组(50 ≤ < 60,60 ≤ < 70,70 ≤ < 80,80 ≤ < 90,90 ≤ ≤ 100)，其中第二组的频数是第一组频数的2
倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)求 ， 的值，并估计这次竞赛成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)如果用分层抽样的方法从样本成绩为[80,90)和[90,100]的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分
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数恰好来自同一组的概率；

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 1， 2， 3，…， 10，已知这10个分数的平均数 = 80，
标准差 = √ 35，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
19.(本小题12分)
已知 ( )为 上的奇函数， ( )为 上的偶函数，且 ( ) + ( ) = 2 +1．
(1)分别求函数 ( )， ( )的解析式；
(2)判断函数 ( )的单调性，并用定义证明；
(3)设 ( ) = 2( ) 2 ( ) 4， ( ) = 2 2 + ，对任意的 1 ∈ [1,2]，总存在 2 ∈ [ 1,1]，使得
( 1) = ( 2)，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 2(答案不唯一)
1
13.【答案】
8
14.【答案】√ 2
15.【答案】解：(1)因为 = { |2 ≤ 2 2 ≤ 6} = { |2 ≤ ≤ 4}，
所以 = { | < 2或 > 4}，
又 = { | 3 < 3 < 4} = { | 1 < < 6}，
所以 ∩ ( ) = { | 1 < < 2或4 < < 6}．
(2)若 ∈ 是 ∈ 的充分条件，则 ，
因为 = { | 1 ≤ ≤ + 2}，
1 ≤ 2
所以{ ，解得2 ≤ ≤ 3，
+ 2 ≥ 4
若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，则 ，
1 > 1
所以{ ，解得0 < < 4．
+ 2 < 6
综上， 的取值范围为{ |2 ≤ ≤ 3}．
16.【答案】解：(1)建立一个每天得分 与当天锻炼时间 (单位：分)的函数关系，

现有以下三个函数模型供选择：① = + ( > 0)，② = 1.2 + ( > 0)，③ = 2( + 2) +10
( > 0)；
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对于模型③ = 2( + 2) + ( > 0)， 10
对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③；
(2)所求函数过点(0,0)，(20,3)，
22 + = 0
则{ 20 ，解得 = 3， = 3，
2( + 2) + = 310

故所求函数为 = 3 2( + 2) 3， 10
60
经检验，当 = 60时， = 3 2( + 2) 3 = 6，符合题意， 10

综上所述，函数的解析式为 = 3 2( + 2) 3； 10
5
(3) ∵每天得分不少于4.5分，∴ 3 2( + 2) 3 ≥ 4.5，即 ( + 2) ≥ ， 10 2 10 2
5
∴ + 2 ≥ 22 = 4√ 2，即 ≥ 40√ 2 20 ≈ 40 × 1.414 20 = 36.56 ≈ 37，
10
∴每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼37分钟．
1 1 1 1 1 1 2 1 2 3+2√ 2
17【. 答案】解：(1)因为 + 2 = 2，所以 + = ( + 2 )( + ) = ( + + 3) ≥ (3 + 2√ ) = ，
2 2 2 2
2
= = 2√ 2 2当且仅当{ 时，即{ 时等号成立，
+ 2 = 2 = 2 √ 2
1 1 2√ 2+3
所以 + 的最小值为 ；
2
(2)因为3 > 0，9 > 0，
所以3 + 9 = 3 + 32 ≥ 2√ 3 32 = 2√ 3 +2 = 6，
3 = 32 = 1当且仅当{ ，即{ 1时等号成立，
+ 2 = 2 = 2
所以3 + 9 的最小值6；
(3)因为 + 2 = 2，则 = 2 2 > 0，所以0 < < 1，
4 4 4 4 4
所以 = 2 2 = 2 [2( + 1) + 2] = 4 [2( + 1) + ] ≤ 4 2√ 2( + 1) =
+1 +1 +1 +1 +1
4 4√ 2，
4
= 4 2 2
当且仅当{2( + 1) = √ +1，即{ 时，取等号，
+ 2 = 2 = √ 2 1
4
所以 的最大值为4 4√ 2．
+1
18.【答案】解：(1)根据题意可得10 = 0.016 × 10 × 2，解得 = 0.032，
又(0.008 + 0.016 + 0.032 + 0.04 + ) × 10 = 1，解得 = 0.004，
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因为前几组的频率依次为0.16，0.32，0.40，
所以中位数落在区间[70,80)内，
0.5 0.16 0.32
所以估计中位数为70 + = 70.5；
0.04
(2)第四组[80,90)的抽取人数为4，设所抽取的人为 ， ， ， ，
第五组[90,100]的抽取人数为2，设所抽取的人为 ， ，
则从中随机抽取两名学生有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15种情
况，
记事件 =“抽取的两名学生在同一组”，所以事件 包含的基本事件为 ， ， ， ， ， ， ，
共7种情况．
7
所以 ( ) = ；
15

(3)由 = 80，得 1 + 2 + 3 + + 10 = 10 × 80 = 800，
2 1 2 又 = [( 1 ) + (
2
2 ) + + ( 10 )
2] = (√ 35)2 = 35，
10

所以( 1 )
2 + ( 2 )
2 + + ( )210 = 350，
剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为 1， 2， 3，…， 7， 8，

平均数与标准差分别为 0， 0，
+ + + 800 75 85
则剩余8个分数的平均数： = 1 2 80 = = 80 = ； 8 8
2 所以( 1 ) + ( 2 )
2 + ( 2 28 ) + (75 80) + (85 80)
2 = 350，

即：( 2 21 ) + ( 2 ) + + ( 8 )
2 = 350 52 52 = 300．
1 1
方差： 2 20 = [( 1 ) + ( 2 )
2 + + ( 8 )
2] = × 300 = 37.5，
8 8
所以剩余8个分数的平均数为80，方差为37.5．
19.【答案】解：(1)因为 ( )为 上的奇函数， ( )为 上的偶函数，且 ( ) + ( ) = 2 +1①，
则 ( ) + ( ) = 2 +1，
所以 ( ) + ( ) = 2 +1②，
由① ②得到2 ( ) = 2 +1 2 +1，所以 ( ) = 2 2 ；
由①+②得到2 ( ) = 2 +1 + 2 +1，所以 ( ) = 2 + 2 ；
(2)单调递增，证明如下：
取任意 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
1 1
则 ( ) ( ) = 2 1 2 1 (2 2 2 2 11 2 ) = 2 2
2 + 2 1 2 2
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2 1 2 2 1
= (2 1 2 2) + + = (2
1 2 2)(1 +
2 1 2 2 +
)；
1 2
1
易知当 1 <
1 2
2时，2 2 < 0，1 + 2 +
> 0，
1 2
所以 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
因此 ( )在 上单调递增；
(3)因为对任意的 1 ∈ [1,2]，总存在 2 ∈ [ 1,1]，使得 ( 1) = ( 2)，
所以 ( )在[1,2]上的值域是 ( )在[ 1,1]上值域的子集．
设 ( )在[1,2]上的值域为集合 ，
3 3因为 ( ) = 2 2 是增函数，故 ∈ [ 1,1]时， ( ) ∈ [ , ]，
2 2
令 = ( ) = 2 2
3 3
∈ [ , ]，
2 2
则 2( ) = (2 + 2 )2 = (2 2 )2 + 4 = 2 + 4，
21
所以 ( ) = 2 2 ∈ [ 1, ]，
4
21
所以 [ 1, ]，
4
函数 ( ) = 2 2 + 的对称轴为 = ，开口向上，
①当 < 1时， ( ) = (1) = 1 ， ( ) = (2) = 4 3 ，
21
即 = [1 , 4 3 ] [ 1, ]．
4
< 1 < 1
所以{1 ≥ 1
5
，即{ ≤ 2 ，解得 ∈ [ , 1)．
21 5 12
4 3 ≤ ≥
4 12
当1 ≤ ≤ 2时， ( ) = ( ) =
2 + ， (1) = 1 ， (2) = 4 3 ，
1 ≤ ≤ 2

2 + ≥ 1
21
因为 [ 1, ]，所以 21
4 1 ≤
，
4
21
{4 3 ≤ 4
√ 5+1
解得 ∈ [1, ]．
2
当 > 2时， ( ) = (2) = 4 3 ， ( ) = (1) = 1 ，
21
= [4 3 , 1 ] [ 1, ]，
4
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> 2
所以{4 3 ≥ 1，解得 ∈ ．
21
1 ≤
4
5 √ 5+1
综上所述： ∈ [ , ]．
12 2
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