2024-2025学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1
1.设 > 0，则“ > ”是“ < “的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
1 1
2.设 ， ∈ (0, +∞)，且 + 4 = 1，则 + 的最小值为( )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
( )
3.定义在 上的偶函数 ( )在[0, +∞)上是增函数，且 (2) = 0，则不等式 > 0的解集为( )

A. ( 2,0) ∪ (0,2) B. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
C. ( ∞, 2) ∪ (0,2) D. ( 2,0) ∪ (2, +∞)
4.已知函数 ( ) = 3 ，则下列命题正确的是( )
①对于任意 1， 2 ∈ ，都有 ( 1 2) = ( 1) + ( 2)成立；
( ) ( )
②对于任意 1， 2 ∈ ，且
1 2
1 ≠ 2，都有 = > 0成立； 1 2
( )+ ( ) +
③对于任意 1， 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，都有
1 2 > ( 1 2)成立；
2 2
④存在实数 ，使得对于任意实数 ，都有 ( + ) = ( )成立．
A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ②③
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
5.设全集 = { |0 ≤ ≤ 7, ∈ }， = {2,4,6,7}，则 =______．
5
6.将 √ 3化为有理数指数幂的形式为 ．
7.陈述句：“ > 1且 ≤ 0”的否定形式是______．
1
8.已知幂函数 ( ) = 图象经过点(9,3)，则 ( ) = ______．
2
2+
9.函数 = 2 的定义域是______． 1
10.设 ∈ ，则方程|3 5| + | + 2| = |4 3|的解集为______．
11.已知 、 为实数，且函数 = 2 + + 1， ∈ [ , 4]是偶函数，则 = ______．
12.已知函数 = ( )的表达式为 ( ) = 4 2 ，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，第
一次计算 (1)、 (3)的值，第二次计算 ( 1)的值，第三次计算 ( 2)的值，则 2 =______．
13.若关于 的不等式 2 + ( 1) + 4 > 0的解集是 ，则实数 的取值范围是 ．
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1 1
14.若9 = 4 = ，且 + = 2，则 = ______．

15.甲、乙两人解关于 的不等式 2 + + < 0，甲写错了常数 ，得到的解集为( 3,2)，乙写错了常数 ，
得到的解集为( 3,4).那么原不等式的解集为 ．
√ 1, > 1
16.已知函数 = ( )的表达式为 ( ) = {1 1 ，若 < 且 ( ) = ( )，则 的取值范围是
+ , ≤ 1
2 2
______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
1 1
若 = { |1 < ( ) 1 < 4}， = { | ≤ 1}，求 ∩ ．
2 2
18.(本小题8分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 5 + 5) 2的图象关于点(0,0)对称．
(1)求该幂函数 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = | ( )|，在如图的坐标系中作出函数 ( )的图象. (提示：列表、描点、连线作图)
19.(本小题8分)
1
已知 ( ) = 2 + ，其中 为实数．

(1)当 = 2时，证明函数 = ( )在[1,2]上是严格增函数；
(2)根据 的不同取值，判断函数 = ( )的奇偶性，并说明理由．
20.(本小题12分)
某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量 ( )(单
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4500
位：斤)与定价 (单位：元/斤)满足如下函数关系： ( ) = 10 + + 500，15 ≤ ≤ 50．

(1)为使销售量不小于150斤，求定价 的取值范围；
(2)试写出总销售额 (单位：元)关于定价 的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价 的值．
21.(本小题12分)
2 +
已知函数 ( ) = ． 2 +
(1)当 = 4， = 2时，解关于 的方程 ( ) = 2 ；
(2)若函数 ( )是定义在 上的奇函数，求函数 ( )的解析式；
(3)在(2)的前提下，函数 ( )满足 ( ) [ ( ) + 2] = 2 2 ，若对任意 ∈ 且 ≠ 0，不等式 (2 ) ≥
( ) 10恒成立，求实数 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】{0,1,3,5}
8
6.【答案】 5
7.【答案】 ≤ 1或 > 0
√ 2
8.【答案】
2
9.【答案】( 2,1)
5
10.【答案】( ∞, 2] ∪ [ , +∞)
3
11.【答案】4
3
12.【答案】
2
13.【答案】( 3,5)
14.【答案】6
15.【答案】( 2,3)
16.【答案】[1,2)
1
17.【答案】解： = { |1 < ( ) 1 < 4} = { | 1 < < 1}，
2
1
= { | ≤ 1} = { | > 2或 ≤ 1}，
2

∴ = { |1 < ≤ 2}．

∴ ∩ = ．
18.【答案】解：(1)因为 ( )为幂函数，则 2 5 + 5 = 1，解得 = 1或 = 4，
1
若 = 1，则 ( ) = 1 = ，图象关于原点对称，符合题意；

若 = 4，则 ( ) = 2，图象不关于原点对称，不符合题意；
1
综上所述： ( ) = ．

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1
(2)由(1)可得： ( ) = | ( )| = ，则 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，
| |
可得：
1 1
3 2 1 1 2 3
2 2
1 1 1 1
1 2 3 1
3 2 2 3
则 ( )的图象为：
1
19.【答案】解：(1)证明： ( ) = 2 2 + ， ∈ [1,2]，

1 1 1
任取1 ≤ 1 < 2 ≤ 2，则 ( 1) ( 2) = 2
2 2
1 2 2 + = ( 1 2)[2( 1 + 2) ]， 1 2 1 2
1
由1 ≤ 1 < 2 ≤ 2得： 1 2 < 0，2( 1 + 2) > 0， 1 2
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 = ( )在[1,2]上是严格增函数；
(2) ( )的定义域为{ | ≠ 0}，关于原点对称，
1
当 = 0时， ( ) = ，显然 ( ) = ( )， ( )是奇函数；

1 1
当 ≠ 0时， ( 2) = 4 ， (2) = 4 + ，
2 2
因为 (2) + ( 2) = 0 = 0，与题设矛盾，所以 ( )不是奇函数，
又 (2) ( 2) = 0 1 = 0，显然不成立，所以 ( )不是偶函数，
所以此时 ( )是非奇非偶函数．
20.【答案】解：(1)为使销售量不小于150斤，则有 ( ) ≥ 150，15 ≤ ≤ 50．
4500 4500
即 10 + + 500 ≥ 150，即 10 + + 350 ≥ 0，

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10 2 + 350 + 4500 ≥ 0，即 2 35 450 ≤ 0，
解得15 ≤ ≤ 45，故定价 的取值范围为[15,45]；
4500
(2)总销售额 (单位：元)关于定价 的函数表达式为 = ( 10 + + 500)，15 ≤ ≤ 50．

即 = 10 2 + 4500 + 500 = 10( 25)2 + 10750，
故 = 25时， 取最大值为10750，
故定价25元/斤时，总销售额最大为10750元．
2 +4
21.【答案】解：(1)因为 = 4， = 2，所以 = 2 ， 2 2
化简，得(2 )2 3 2 4 = 0，
即2 = 4( 1舍去)，所以 = 2，
(2)因为 ( )是奇函数，
2 + 2 +
所以 ( ) + ( ) = 0，所以 + = 0， 2 + 2 +
化简并变形，得( + )(2 + 2 ) + 2 + 2 = 0，
要使上式对任意的 成立，则 + = 0且 + 1 = 0，
解得 = 1， = 1或 = 1， = 1，
因为 ( )的定义域是 ，所以 = 1， = 1舍去，
2 1
所以 = 1， = 1，所以 ( ) = ， 2 +1
2 1
(3)在(2)的前提下， [ ( ) + 2] = 2 2 ， 2 +1
(2 2 )(2 +1) 1
整理得 ( ) = 2 = 2 + , ≠ 0， 2 1 2
1 1
代入 (2 ) ≥ ( ) 10，得22 + 2 ≥ (2
+ ) 10，
2 2
22
1
+ 2 +10
即 ≤ 2
2
1 恒成立，
+
2
2 12 + 2 +10
所以 ≤ ( 2 1 ) ， 2 +
2
22
1
+ 2 +10
1 2
(2 + ) +8
又 2 2
1 8
=
1 8
1
2 + 2
1 = 2 + + 1 ≥ 2√ (2 +2 2
) × 1 ，
+ 2 + 2 +2 2 2 2
1 8
当且仅当2 + = ，即 = (√ 2 ± 1)时等号成立，
2 1 22 +
2
所以 ≤ 8，即实数 的最大值为4√ 2．
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