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5.2.3简单的复合函数的导数---自检定时练--学生版
【1】知识清单
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
2.复合函数的求导法则 正确地拆分复合函数是求导的前提
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.设函数，则（ ）
A． B． C． D．
2.设函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
3.若，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
4.已知某函数的导数为，则这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
5.函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
6.曲线与曲线的公切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
多选题
7.下列函数是复合函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8.下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
9.已知函数，则 .
10.曲线在点处的切线方程为 .
解答题
11.求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12.已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A B A ACD ACD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1) (2) (3) (4)
12.【答案】
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5.2.3简单的复合函数的导数---自检定时练--详解版
单选题
1.设函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用复合函数求导规则计算即可.
【详解】函数可看作由函数和函数复合而成，
由复合函数求导法则可知．
故选：D.
2.设函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】运用复合函数求导，代值计算即可.
【详解】由复合函数求导法则得，所以．
故选：C.
3.若，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用复合函数求导法则求导并求出，再导数的定义求值即得.
【详解】由，求导得，则，
所以.
故选：B
4.已知某函数的导数为，则这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复合函数导数的运算法则逐项计算即可得到结果.
【详解】对于A，函数可以看作和的复合函数，
∴，符合题意；
对于B，，∴，不符合题意；
对于C，可以看作和的复合函数，
∴，不符合题意；
对于D，，∴，不符合题意．
故选：A.
5.函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值．
【详解】函数，求导得，
在处的切线斜率为，
又在处的切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
6.曲线与曲线的公切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】分别设两曲线的切点为，，通过求导与点斜式的运用求得两点处的切线方程，从而得解得，再代入导数公式求得斜率即可.
【详解】设曲线的切点为，，所以斜率为，
故切线方程为，即；
曲线的切点为，，所以斜率为，
故切线方程为，即.
则，得，所以，
故两曲线公切线的斜率为.
故选：A.
多选题
7.下列函数是复合函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据复合函数的定义逐一分析即可.
【详解】是由对数函数和一次函数复合而成，故符合题意；
是由二次函数和反比例函数相加得到，故不符合题意；
是由指数函数和对数函数复合而成，故符合题意；
是由余弦函数和一次函数复合而成，故符合题意；
故选：.
8.下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用求导公式逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
填空题
9.已知函数，则 .
【答案】
【分析】利用复合函数求导法则求出导数，再代入求出导数值.
【详解】函数，求导得，
所以.
故答案为：
10.曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】先求出函数导函数，进而可求出曲线在点处的切线斜率，再由点斜式即可得解.
【详解】由题得，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
解答题
11.求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复合函数的求导法则，依次计算即可求解.
【详解】（1），设，，
则．
（2）设，，
则．
（3）设，，
则．
（4）设，，
则
12.已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值.
【答案】
【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，利用导数求出曲线在处的切线方程，以及曲线在处的切线方程，根据两切线重合可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出、的值，即可得解.
【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，
对函数求导得，对函数求导得，
则曲线在处的切线方程为，即，
曲线在处的切线方程为，
即，
所以，解得，
故，，所以．
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