2024学年第一学期期末调研测试卷
高三数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A B C D C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 0.38 13. 4 14. 4
3 3
15. （本小题满分 13分）
已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a1 1，8Sn a2n 4an 3， n N ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设b ( 1)na 2n n ，求数列 bn 的前 2n项的和T2n．
解：（1）①当 n 1时，8S1 8a1 a
2
1 4a1 3 a1 3或（ a1 1舍去） ……2分
②当 n 2时，8S a2n n 4an 3
8S 2n 1 an 1 4an 1 3
上述两式相减，整理得 4 an an 1 an an 1 an an 1 又 an 0 ……4分
所以 an an 1 4，所以 an 是以 3为首项，公差为 4的等差数列，
an 3 n-1 4 4n 1； ……6分
（2）由（1）知 b 1 nn an 1 n 4n 1 ，
所以 b2n 1 b2n 1 8n 5 2 1 8n 1 2 8 8n 3 ……9分
T2n b1 b2 b2 b3 .... b2n 1 b2n 8 5 8 13 .... 8 8n 3
8 5 8 8n 3 n 32n2 8n ……
13分
2
16.（本小题满分 15分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 AA1C1C 平面 ABC，AB AC，AB 2， A1AC 120
，
AC AA1 2 3， P为线段 AA1上一点，且 AP AA1 0 1 .
（1）求证： A1C BC1；
21
（2）是否存在实数 ，使得平面 BPC1与平面 ABC的夹角余弦值为 ？7
若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）连接 AC1，四边形 AA1C1C 为菱形，所以 AC1 A1C ……2分
又平面 AA1C1C 平面 ABC，平面 AA1C1C 平面 ABC AC , AB AC
所以 AB 平面AA1C1C
所以 AB A1C ……4分
所以 A1C 平面ABC1 ,所以 A1C BC1 ……6分
（2）如图，以 AC 的中点O为坐标原点，OC,OC1 分别为 y, z 轴,建立空间直角坐标系,则
C1 0,0,3 , A(0, 3, 0) ,C(0, 3, 0) , B 2, 3, 0
设 AP AA1 0, 3 , 3 ，则 BC1 2, 3,3 , BP 2, 3 , 3 ，
记平面 BPC1的法向量 n1 x, y, z
2x 3 y 3 z 0
，得 n1 3 , 3 3,1
2x 3y 3z 0
易得平面 ABC的法向量 n2 0, 0,1 ………11分
由题意：
cos n ,n 1 211 2 ，
13 2 4 4 7
5 1
解得： 或 ，
16 2
5 1
经验证， 或 均符合题意. ………15 分
16 2
17.（本小题满分 15分）
某系统配置有 2n 1个元件（ n为正整数），每个元件正常工作的概率都是 p 0 p 1 ，
且各元件是否正常工作相互独立．如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常
工作．现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
（1）当 n 3, p 0.5时，求该系统正常工作的概率；
（2）现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新
系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由．
解：（1）记系统正常工作的概率为 P，由题意可得
P C30.53 0.52 C 45 5 0.5
4 0.51 1 C5 55 0.5 ……3分2
（2）解法一：系统配置有 2n 1个元件时，记系统正常工作的概率为 P2n 1，
当前有 2n+1个元件，记系统正常工作的概率为 P2n 1，考虑前 2n 1个元件：
第一种情况：前 2n 1个元件恰有 n 1个元件正常工作，则
P =Cn 1 pn 12n 1 2n 1 1 p
n p2 ……5分
第二种情况：前 2n 1个元件恰有 n个元件正常工作，则
P =Cn pn 1 p n 1 2n 1 2n 1 1 1 p
2
……7分
第三种情况：前 2n 1个元件至少有 n 1个元件正常工作，则
P n n n 12n 1=P2n 1 C2n 1 p 1 p ……9分
所以，
P =Cn 1 pn 12n 1 2n 1 1 p
n p2 Cn n n 1 2 2n 1p 1 p 1 1 p P2n 1 C
n n
2n 1p 1 p
n 1
P P =Cn 1 pn 1 1 p n p2 Cn pn 1 p n 1 2 n n n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 1 p C2n 1 p 1 p
pn 1 p n C n2n 1 2p 1 ……12分
故当 p 1 1 1 时，系统可靠性不变，当 0 p 时系统可靠性降低，当 p 1时系统可靠性
2 2 2
提高. ……15分
解法二：系统配置有 2n 1个元件时，记系统正常工作的概率为 P2n 1，
当前有 2n+1个元件，记系统正常工作的概率为 P2n 1，考虑增加的两个元件：
第一种情况：增加的 2个元件恰有 1个元件正常工作，则
P 12n 1=P2n 1C2 p 1 p ……5分
第二种情况：增加的 2个元件都正常工作，则
P = P C n n n 1 22n 1 2n 1 2n 1p 1 p p ……7分
第三种情况：增加的 2个元件都不正常工作，则
P n n n 1 22n 1= P2n 1 C2n 1p 1 p 1 p ……9分
所以，
P =P C1 p 1 p n n n 1 2 n n n 1 22n 1 2n 1 2 P2n 1 C2n 1p 1 p p P2n 1 C2n 1p 1 p 1 p
P 1 2 2 2n 1 C2 p 1 p p 1 p C
n pn 1 p n 1 p2 Cn pn 1 p n 1 1 p 22n 1 2n 1
P Cn n n 1 2 2 2n 1 2n 1p 1 p p 1 p
P Cn pn 1 p n 12n 1 2n 1 2p 1
即 P n2n 1 P2n 1 p 1 p
n Cn2n 1 2p 1 ……12分
故当 p 1 1 1 时，系统可靠性不变，当 0 p 时系统可靠性降低，当 p 1时系统可靠性
2 2 2
提高. ……15分
18. （本小题满分 17分）
2 2
已知 F x y1、F2 分别为椭圆 E： 2 2 1（ a b 0）的左、右焦点，G为 E的上顶点，a b
点 P为椭圆 E上的一个动点，且三角形 F1PF2面积的最大值为 1，焦距为 2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点 F1、 F2 作两直线 l1、 l2 分别与椭圆 E相交于点M、N和点 A、B．
（i）若点M、N不在坐标轴上，且 MGF1 NGF1，求直线 l1的方程；
（ii）若直线 l1、 l2 斜率都存在，且MN AB，求四边形MANB面积的最小值．
解:（1）由题意得 2c 2, S F PF 1 2c b bc 1 故 b c 1,a2 b2 c2 21 2 max 2 ，
x2 2
故椭圆 E的标准方程为 y 1. ……3分
2
（2）（i）设 MGF1 NGF1 ，MG的倾斜角为 ， NG的倾斜角为 ，则
π π π ， ，所以 ，又 kMG tan , kNG tan tan（ ）,4 4 2 2
所以 kMG kNG 1 . ……6分
由题意 l1的斜率不为零，设 l1： x my 1
x my 1
x2联立 得 (m
2 2)y2 2my 1 0，
y
2 1
2
8m2 8 0恒成立.
设M (x1, y1),N(x2 , y2 )，则
y y 2m 11 2 2 , ym 2 1
y2 m2
，
2
k k y 1 y 1又 MG NG 1，所以 1 2 1，x1 x2
即（y1 1）(y2 1) x1x2 （my1 1）(my2 1)
2
，所以3m 2m 1 0，
因为m 1，所以m 1 所以 l1的方程为3x y 3 0 ……10分3 ,
（ii）设M (x1, y1),N (x2 , y2 )，A(x3 , y3),B(x4 , y4 )，l1 :y k(x 1)，
y k（x 1）
联立 x2 2 ，化简得 (2k
2 1)x2 4k 2x (2k 2 2) 0，故 8k 2 8 0恒成立.
y 1 2
4k 2 2k 2 2
由韦达定理得： x1 x2 2 , x1x2 ，2k 1 2k 2 1
2
|MN | k 2 1 (x 2 2 2(k 1)1 x2 ) 4x1x2 2k 2 1 ， ……12分
1
因为MN AB，所以 l2 :y (x 1)k
2 2
| AB | 1 2 2(k 1)同理 1 (x x )23 4 4x3x4 ……14分
k k 2 2
S 1 1 2 （2 k
2 1) 2 （2 k 2 1) k 4 2k 2 1
所以 MANB | AB ||MN | 2 2 k 2
2 2k 2
4
1 2k 4 5k 2 2
2 1 k
2 1 16
（ 4 2 ） （2 1 ） 2 12k 5k 2 2 2 9 ，当且仅当 k 2k 5 k 2
，即
k 2
k 1时，取等号.
16
所以，当 k 1时，四边形MANB面积的最小值为 ……17分
9
19.（本小题满分 17分）
牛顿法是 17世纪牛顿在 《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解
法. 具体步骤如下：设 r 是函数 f x 的一个零点，任取 x0作为 r 的初始近似值，过点
x0 , f x0 作曲线 y f x 的切线 l1，设 l1与 x轴交点的横坐标为 x1，并称 x1为 r 的 1次近
似值；过点 x1 , f x1 作曲线 y f x 的切线 l2，设 l2与 x轴交点的横坐标为 x2，称 x2为 r
的 2次近似值；一直继续下去，得到 x1 , x2 , x3 , , xn ．一般地，过点 xn , f xn 作曲线 y f x
的切线 ln 1，记 ln 1与 x轴交点的横坐标为 xn 1，并称 xn 1为 r 的 n 1次近似值，称数列 xn
为牛顿数列．
（1）若函数 f x x ln x（ x R）的零点为 r ， x0 1 .求 r 的 2次近似值；
（2）设 , 是函数 f x x 2 ax b a,b R 的两个零点，数列 xn 为函数 f x 的
xn 牛顿数列，数列 cn 满足 cn ( n N * )， xx n ．n
（i）求证：数列 ln cn 为等比数列；
n
（ii 1 2）证明： ．
i 1 ci ln c1
f x 1 1解 : （ 1 ） ， 由 题 意 得 ， 过 点 1, f 1 作 曲 线 y f x 的 切 线 l 为
x 1
y f 1 f 1 x 1 y 0, x x 1，令 得 1 ， ……2分2
1 1 1 1 1
过 点 , f2 2
作 曲线 y f x 的 切线 l1 为 y f f x ， 令 y 0,2 2 2 得
x x 1 ln 2 1 ln 22 ， r的 2次近似值为 ……4分3 3
（2）（i）过点 xn , f xn 作曲线 y f x 的切线 ln 1： y f xn f xn x xn ，
f x
其中 f xn 2xn a，令 y 0,
得 xn 1 x
n
n f xn
f xn x2n ax 2n b xn b xn 1 xn x ， ……7分f x nn 2xn a 2xn a
x2n b
x 2
c n 1
2x a x 2 x b a
n 1
n n n ，
xn 1 x
2
n b x
2
n 2 xn b a
2xn a
又 , 是函数 f x x2 ax b的两个零点， a, b
x2 2 x b a x2 2 x 2
2
n n n n xn cn 1 2 2 2 c
2
n ， ……10分xn 2 xn b a xn 2 xn xn
于是， ln cn 1 2 ln cn，故数列 ln cn 为等比数列； ……11分
（ii）由题意可得： cn 1，记 d ln c n 1n n ，则 dn ln c1 2 ，
由 ln x x 1 1 1 1 1，可得： ln cn cn 1 cn ，即 dn cn ，即 ……14分dn cn cn dn
1 n1
n 1 n 1 1 1 1 1 1 1
2 2
c 0
1 2 n 1 . ……17分
i 1 i i 1 dn ln c1 2 2 2 2 ln c1 1 1 ln c1
2
