参考答案及评分细则
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C C B D D A AC BCD ACD
二、填空题
1
11. 12 12. 13. 2
3
三、解答题
15.解：（1）因为A B C π ，
所以， sin
2 A 2sin Asin C sin 2 C sin 2 π B sin Asin C .
a b c
又因为 .
sin A sin B sinC
所以， a2 2ac c2 b2 ac，得b
2 a2 c2 ac，
a2 c2 b2 ac 1
所以，由余弦定理得 cosB ，
2ac 2ac 2
所以， B 60 . …………………………………………………………（6 分）
因为 ABC 的面积为 3 ， b 13 ， B 60o ，
1
所以， ac sin B 3 ， ac 4 ， a2 c2 b2 ac 17
2 ，
因为 BD为 ABC 1的中线，所以， BD (BA BC)
2
2 1
所以， BD (c2 a2 2ac cosB) 1 （17 2 4 1 21 ）
4 4 2 4 ，
BD 21所以， . …………………………………………………………（13 分）
2
16. （1）证明：取DF中点K，连GK、KC，
G为 AF 中点， KG // AD KG 1， AD，
2
BC // AD，BC 1 AD , KG // BC，KG BC
2 K
四边形KGBC为平行四边形，
KC // BG，
参考答案及评分细则 第 1 页 共 5 页
BG 平面DCF，KC 平面DCF ，
BG //平面DCF . …………………………………………………………（6 分）
（2）解： FA 平面ABCD，四边形 ABCD为直角梯形， AD //BC， FA, AD, AB两两垂直.
以 A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空
间直角坐标系.
直线 BF与平面 ABCD 所成的角为 ABF ，有 AB=AF，设 AB AF a(a 0) ，
4
则 B(0,a,0),F (0,0,a),C(1,a,0),D(2,0,0) z
DC ( 1,a,0)，DF ( 2,0,a)，AF (0,0,a)
设平面 DCF 的法向量为 n (x, y, z) ，
n DC 0，
ay x 0，
即 y
n DF 0， az 2x 0，
令x 1 2 1,则y , z ， n (1, 1 , 2 )
a a a a x
2
n AF a
cos n, AF a 2 ,
n AF
12 1
2 2
2 3
a
a a
a 2，即 n (1, 1 ,1) BF (0, 2,2)
2
B BF n 0 1 2 2 点 到平面DCF的距离h . ………………（15 分）
n
12 1
2
3 12
2
x
17.解：（1）当a 1时，f (x) e (2x 1) (x 1)
x 1
x
f (x) e (2x
2 3x)
则 , 令f (x) 0 3，解得x 0或
(x 1)2 2
x 0 x 3 3当 或 时, f (x) 0；当0 x 1或1 x 时, f (x) 0.
2 2
3 3
所以f (x)在 ( ，0）, ( , )单调递增, f (x)在 (0，1）, (1, )单调递减.…（6 分）
2 2
(2)因为x 1时，f (x) 1，
参考答案及评分细则 第 2 页 共 5 页
x
f (x) e (2x a)所以 1(x 1),
x 1
得a 2x x 1(x 1), x 1 x 即a 2x ,e e x min
x
令 h(x) 2x x 1 x (x 1)，则h (x) 2
2 x 2e x 2
x x ，e e e
令 (x) 2e x x 2(x 1),且 (x)在（ ，1）上单调递增，且 (0) 0，
所以，当x 0时， (x) 0,即h (x) 0；当0 x 1时， (x) 0,即h (x) 0.
所以，h(x)在( ,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
所以h(x)min h(0) 1,故a 1 .…………………………………………（15 分）
18.解：（1 2a 2 2b,2c 2 3,又a2 b2 c2）由题意， a 2,b 1 ,
x2 2
所以椭圆 C 的方程为： y 1 .………………………………………（4 分）
4
（2） A( 2,0),B(2,0),由图形对称性可知，定点 M在 x轴上，
设直线PQ方程为：x my x0,M (x0 ,0),P(x1, y1),Q(x2 , y2 ),
1
S AM y1 y21 2 AM x0 2 7 4 3,
S2 1 BM y y BM 2 x0
2 1 2
x0 3,即定点坐标为( 3,0) . ………………………………………（8 分）
（3）设直线PQ的方程为x my x0，P(x1, y1),Q(x2 , y2 ).
x my x, x2 (m2 2 2联立 2 可得 4)y 2mx0 y x0 4 0,
y 1, 4
y y 2mx
2 2
则 0 , y y x0 4 x 41 2 2 1 2 2 ,且y1y
0
2 （y y）.m 4 m 4 2mx 1 20
k1 y1 x2 2 y1 my2 x0 2 my1y y (x 2)于是 2 1 0
k2 x1 2 y2 my1 x0 2 y2 my1y2 y2 (x0 2)
参考答案及评分细则 第 3 页 共 5 页
m x
2 4
（ y y 01 2） y (x 2) 2mx 1 00 x0 2 1 ，
m x
2 4 x 2
（ y1 y2） 0 y2 (x 2)
0
2mx 00
1, 0 k1 1 k ，即 1 的范围是（0, 1）. …………………………（17 分）
k2 k2
19.解：（1）前两次一定会翻到 1，否则第三次翻到 2 也会被翻回，故分两种情况：
1 3 1 1
如果第一张翻出了 1，那么第二次一定不能翻 2，因此 p1 ;5 4 3 20
如果第二张翻出了 1，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了 2 并翻回，为
了保证最优解，在第三次翻卡片时必须把 2 翻开；另一种情况是第一张没有翻出
p 1 1 3 1 1 12，第三张恰好翻到 2，因此 2 .5 4 5 4 3 10
所以 p
3
p1 p2 20 . ………………………………………（4 分）
注：也可以按照出现 2 的次数分类
（2）根据题意可以推断出下面两点：
首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，因此
第二次翻开它时并非随机事件;
其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片
就需要被翻两次.
可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，从左往右依次翻开卡片，遇到
不符合顺序的进行调整，因此需要翻开的次数 X可取 5，6，7，8，9 ，
①当 X=5 时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片，
p 1 1 1 1 1 1因此， 5 4 3 2 1 120
②当 X=9 时，点数为 2-5 的扑克卡片恰好全部在 A 之前翻开，
A4
因此， p 4
1
A55 5
③当 X=6 时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了，
1 2 3 4 1
因此， p A5
5 12
④当 X=8 时，有三张卡片错误地翻开了，
p 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 5因此， A55 12
⑤当 X=7 时，可以继续用插空法，亦可以利用排除法，
参考答案及评分细则 第 4 页 共 5 页
因此 p 1
1 1 1 5 7
120 5 12 12 24
列出分布列有
X 5 6 7 8 9
p 1 1 7 5 1
120 12 24 12 5
E(X ) 5 1 6 1 7 7 5 1 926 463因此 8 9 （次）……（11 分）
120 12 24 12 5 120 60
（3）基于第二问的思考，这实际上是对知晓卡片点数的顺序进行排列，当有 n张卡片时，
值得注意的是写有数字 n的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次，如
果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，记Yn为需要翻开写有点数 n
的纸卡片的次数.
1 n 1
因此 P(Yn 1) ， P(Yn n
2)
n
E(Y ) 1 2(n 1)所以 n 2
1
n n n
于是E(Xn ) E(Xn 1 Yn ) E(Xn 1) E(Yn )
1
E(Xn 1) 2 n
n
而E(X1) 1,
1
于是E(X n ) 2n
i 1 i
E X 3n 1
n 1 3n 1 n 1 n 1 n 1 1
故（ n） 2n 2 i 2 2
0 n 3
i 1 i 1 i
2 n i 3
3n 1
当 n=1，2 时上式等号成立，于是 E（X n） 2 得证. ………………（17 分）
参考答案及评分细则 第 5 页 共 5 页武昌区 2025 届高三年级上学期期末质量检测
数 学
本试题卷共4页，共19题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 A {x | x2 4}， B {x | 0 x 4},则 A B
A. (0,2) B. ( 2,2) C. (0,4] D. ( 2,4]
2.若复数 z满足 i (1 z) 1，则 z z =
A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i
3.已知双曲线 C的渐近线方程为 y 2x，则 C的离心率为
A 5 5. B. 5 C. 或 5 D.不能确定
2 2
4.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 S15 5（a3 a8 ak )，则 k
A.8 B.10 C.13 D.15
5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早 2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代
的开始. 现将一个表面积为1600π cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心
铁锭（浇铸过程体积无变化），该铁锭的上、下底面的边长分别为 20 π cm和 40 π cm，
则该铁锭的高为
A.30cm B. 80 cm C 270.36cm D. cm
7 7
6.已知函数 f (x) cos2x 3 sin 2x π在 [ ,a] π π与 [ ,a ]上的最小值均为 1，最大值也
2 2 6
相同，则实数 a的取值范围为
A [ π. , π ] B. [ π ,0] C π π.[ , ] D π. [ ,0]
6 3 3 3 6 6
数学试题 第 1 页 共 4 页
7.已知平面向量 a，b，c，满足 a c b 6c 2 c 2，则 a b 的最小值是
A.0 B.3 C. 2 D.2
8. f (x) 2已知函数 在定义域 (0， )上单调递减， x (0， )，均有 f (x) f ( f (x) ) 1，
x
则函数 y f (2x 4x )的最小值是
A.8 B 1.6 C.4 D.
4
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.某射击运动员在一次训练中一共进行了 10次射击，成绩依次为 6，5，7，8，6，7，9，
7，9，5（单位：环），则下列说法中正确的是
A.这组数的众数为 7
B.这组数的第 80百分位数为 8
C.若每个数都减去 2，则这组数的均值也会减去 2
D.若每个数都乘以 2，则这组数的方差也会乘以 2
10.已知函数 f (x) x3 ax2 （a2 2)x 1 ，则
A. f (1) 0
B.若函数 f (x)单调递增，则 a2 3
C.当 a 3时，函数 f (x)的图象关于点 1,6 中心对称
D.若存在m 0，使得f (m) 0，则 a的最大值是 1
11.已知非常数数列{a }，其前 n项和为 S ，若 k N*， i N*n n ，i k ，使得 ai Sk , 则
称{an}为包容数列.下列说法错．误．的是
A.数列 0，0，1，1， 1， 1是包容数列
B.任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数
C.若一个包容数列从第 k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则 k
的最小值为 5
D.由 1，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉某一项后依然是包容数列，那么这
项一定是 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. (x y )n展开式中只有第 7项的系数最大，则 n _______.
13. 1已知随机变量 X，Y均服从 0-1分布，若 P(X=1)=P(Y=1)= ，且 P(XY=0)=1，
3
则 P(X=Y)=_______.
14.设圆O：x2 y2 5与抛物线C：y2 2px(p 0)交于点 A(x0，2)，AB为圆 O的直径，过
点 B的直线与抛物线 C交于不同于点 A的两个点 D，E，则直线 AD与 AE的斜率之积
为_______.
数学试题 第 2 页 共 4 页
四、解答题：本题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15.（13分）
在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 D为线段 AC的中点，A，C满足
sinA sinC 2 sin2 A C sinAsinC .
(1)求 ；
(2)若 ABC 的面积为 3 ， b 13 ，求中线 BD的长.
16.（15分）
如图，四棱锥 F ABCD中， FA 平面ABCD，四边形 ABCD为直角梯形， AD // BC，
DAB 90 ，AD 2BC 2 . F
(1)已知G为 AF 的中点，求证： BG //平面DCF；
G
(2)若直线 BF 与平面 ABCD π所成的角为 ，二面角
4
A 2 DC F A的余弦值为 ，求点 到平面 DCF的 B
3
距离. + C
D
第 16题图
17.（15分）
x
f (x) e (2x a)已知函数 .
x 1
(1)当 a 1时，求函数 f (x)的单调区间；
(2)当 x 1时，f (x) 1，求实数 a的取值范围 .
数学试题 第 3 页 共 4 页
18.（17分）
x2 y2
已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的长轴长是短轴长的 2倍，焦距为 2 3，点 A，B分别a b
为 C的左、右顶点，点 P，Q为 C上的两个动点，且分别位于 x轴上、下两侧， APQ
BPQ S和 的面积分别为 S1，S
1
2 ，记 .S2
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若 7 4 3，求证直线 PQ过定点，并求出该点的坐标；
(3) k若 1，设直线 AP和直线 BQ的斜率分别为 k 11，k2 ，求 的取值范围.k2
19.（17分）
有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着 1，2，3，4，5，将它们背面朝上随机
放在桌子上（不叠放），翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如
果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上（翻回不计入次数），
并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止.
(1)求第三次恰好翻开数字为 2的卡片且不再翻回的概率；
(2)记 X为需要翻开的次数，求 X的分布列及数学期望；
(3)将卡片数量改为 n张 (n N*)，并依次写上数字 1，2，3，…，n，记 E X n 为翻开这
3n 1
些卡片需要的平均次数，求证： E X n .2
附：数学期望具有线性可加性，即 E X Y E X E Y .
数学试题 第 4 页 共 4 页
