湖北省部分市州2024-2025学年高二年级（上）期末质量监测数学试题（含答案）

湖北省部分市州2024-2025学年高二年级（上）期末质量监测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两点，，，直线的倾斜角为，则实数等于( )
A. B. C. D.
2.已知公差为正数的等差数列，若，，则等于( )
A. B. C. D. 或
3.已知向量，向量，向量，若，，三个向量共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
4.某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛局采取三局两胜制，假设每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是由于要比赛局，所以每个随机数为一组例如，产生组随机数：

根据随机数估计甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆，则圆与圆的公切线的条数有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6.已知过点的直线与双曲线的左、右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成如图，若，，点，分别为、的中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知点是椭圆上的一点，设，是直线上任意两个不同的点，若时，则使得是等腰直角三角形的点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件与事件相互独立，且，，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，已知直三棱柱中，，，为的中点，在线段上则下列结论正确的是( )
A. 若为中点时，则
B. ，
C.
D. 若直线与平面所成的角为，则的取值范围为
11.在平面直角坐标系内，定义任意两点，“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号已知点，，直线( )
A.
B. 到点“新距离”等于的点所围成的图形的面积为
C.
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线，，，若，则与之间的距离为 ．
13.已知圆的直径为，是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，若点在圆上运动时，则点的轨迹的离心率等于 ．
14.已知个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设个圆的交点总数为，记，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球和个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出个球．
求“摸到两个球颜色不同”的概率
求“至少摸到一个红球”的概率．
16.本小题分
如图，已知四棱锥，底面为菱形，且，侧面为边长等于的正三角形，平面平面，为的中点．
求四棱锥的体积
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知圆圆心在轴上，且过点，两点．
求圆的方程
设点，以线段为直径的圆与圆交于，两点，求线段长度的最小值．
18.本小题分
已知直线与抛物线交于，两点．
若，直线的斜率为，且过抛物线的焦点，求线段的长
如图，若，为坐标原点，点为线段的中点，点为直线与轴的交点，设线段的中垂线与轴、轴分别交于，两点记的面积为，的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且，，数列是首项为，且满足，．
求数列、的通项公式
是否存在正整数，，使得数列第项、第项、第项成等差数列若存在，求满足条件的所有、的值若不存在，请说明理由
类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列的前项和．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：设事件“摸到两个球颜色不同”，
红色球标号、、，绿色球标号、，
从袋中随机摸出个球包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，
事件包含基本事件有：，，，，，，
；
设事件“至少摸到一个红球”则“摸到两个绿球”，
事件包含基本事件有：，
．
16.【答案】解：取中点，连接，，
，为的中点，，
又平面平面，平面，
平面，
易求，又，，
，，
；
由知，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
，
设平面的法向量，
则，即
令，则，，即平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，即
令，则，，
即平面的一个法向量；
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17.【答案】解：依题意，设圆的方程为，
将点，代入圆方程得：
，解得：
即圆的方程为：；
，，
以为直径的圆的方程为：，
整理得：，
由知圆的方程为：，即，
得直线的方程为：，
点到直线的距离为，，
，，
，，，，
当时，，
即线段长度的最小值为．
18.【答案】解：若，即，则抛物线的焦点为，
所以直线的方程为：，
设，
联立，整理得：，
，，．
故，
所以线段的长为．
由题意知，
设直线的方程为，，，，
当，不能构成三角形，不符合题意
当，联立，整理得：，
根据韦达定理有，，，
因为，所以，即，
代入得且满足上述方程．
则，，
则点的坐标为，
因为，所以直线的方程为：
令，，，，
由∽，
得
，
当且仅当，
即当时，等号成立．
的取值范围是

19.【答案】解：，令，，
当时，．
显然满足上式，，，
又，且满足，．
是首项为，公比为的等比数列．
，．
假设存在，，使得，，成等差数列，
则，即，
化简 ，又，，，，，，，，，
当，，，时，不符舍去
当，，
当，，．
存在满足要求的，，或
，
令，
令，
，
得：，
，
得：
，
即得：，
，．
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