2024-2025学年天津市耀华中学高二上学期期末学情调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市耀华中学高二上学期期末学情调研数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.设为实数，已知直线，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.设数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.已知实数满足，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
9.若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
10.设椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上位于第一象限，且点，关于原点对称，若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知数列的前项和为，若，，则有( )
A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为等差数列 D. 为等比数列
12.数列中，已知对任意自然数，，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知空间中的三个点，则点到直线的距离为 ．
14.已知数列满足，且设，则数列的 前项和 ．
15.南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，设数列的前项和为，则 ．
16.数列满足，则 ．
17.已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则_________．
18.已知双曲线的左、右焦点分别为点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，为的中点．

求证：平面；
求直线和平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知椭圆的离心率为，
若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；
设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于，两点，
若，求的值
对于椭圆上任一点，若，求实数，满足的关系式．
21.本小题分
已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，．
求数列，的通项公式；
，求数列的前项和；
将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，且数列满足，求数列的前项和．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.或
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17.
18.
19.
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

依题意，得，，，，，，
则，，
设平面的法向量，
，所以，取，得．
因为，所以，所以．
又面，所以面．
，，，
平面的法向量，
设直线和平面所成角为，
，
直线和平面所成角的正弦值为．
易知平面的法向量，
平面的法向量，
平面与平面夹角的 余弦值为．

20.
由题意得，，而，
解得，，，故椭圆方程为；
因为，，，故，
所以，，
故椭圆的方程可化为，
易知右焦点为，据题意有直线，
由，消去整理得，
设，，显然，所以，，
所以，
所以；
设，因为，
所以，，
所以
，
又，在椭圆上，故有，，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
因为
，
所以整理得：，
即，
所以．

21.
依题可得
因为，解得．
数列是等差数列，设其公差为，
解得．
因为，所以
所以
，
记，，
则
；
，则，
所以
，
所以，
所以；
因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列，
且，，
又因为，
所以数列的前项由中的前项和中的前项构成，
所以

．

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