2024-2025学年吉林省“BEST合作体”高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省“BEST合作体”高一上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：：的否定为( )
A. B.
C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.设角的终边经过点，则的值等于( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是偶函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，函数满足，若，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下计算正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若实数且满足，则的值为
10.下列命题正确的是( )
A. 若对数函数且经过点，则它的反函数
B. 设，则“”是“”的必要不充分条件
C. 函数是周期函数
D. 设满足，满足，则
11.德国数学家高斯，以其卓越的数学成就和广泛的学科影响力被誉为“数学王子”高斯函数为，其中表示不超过的最大整数，例如，，则( )
A. ，
B. 不等式的解集为
C. 当时，的最小值为
D. 定义函数，则的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小正周期为 ．
13.已知为第一象限角，，，则 ．
14.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，，求，；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知，且．
证明：；
求的最小值．
17.本小题分
已知函数对一切实数，，都有成立，且，．
求的值；
求的解析式；
若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式：
将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
当时，求函数的值域；
若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
19.本小题分
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为．
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
已知，，，若，，求的值；
已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离．
参考答案
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15.解：由题意，
若，，
则，
，．
由可知，
而，画数轴如下，
易知，是方程的根，且，
是方程的一个根，即，
并且另一个根在上，
画出满足条件的函数的图象，
设函数，则

解得．
所以的取值范围是．

16.【小问详解】
已知，且，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，证毕；
【小问详解】
因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为

17.【小问详解】
在中，
令，得，
因解得；
【小问详解】
在 中，
令，得即，
所以，；
【小问详解】
由可知：，
由，可得，
即得：，其中，即，
令，函数图象如下图所示：
则有，
因为关于的方程有三个不同的实数解，
所以方程有两个不相等的实根，不妨设为，
由函数的图象可知：，或，
设，由二次函数的图象可得：
，或
解得或，所以，
故实数的取值范围为．

18.解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
由已知得，
当时，，
所以，所以，所以，
所以函数的值域为；
当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，则，，
所以，即，
所以，所以，
故．
19.解：，
，故余弦距离等于；
，
，
故，，则；
因为，，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，则，
所以，
因为，
，所以，
因为，
，
所以，
因为，
所以、之间的曼哈顿距离是．

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