江苏省淮安市2024-2025学年高二第一学期期末调研测试数学试题（含答案）

江苏省淮安市2024-2025学年高二第一学期期末调研测试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过两点，，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的公比为，且前项和为，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数在处可导，且，则等于( )
A. B. C. D.
4.九章算术中“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为升．
A. B. C. D.
5.设，为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
6.已知，是双曲线的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于，两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.数列满足，，数列的前项和为( )
A. B.
C. D.
8.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某物体运动的位移方程为( )
A. 该物体位移的最大值为
B. 该物体在内的平均速度为
C. 该物体在时的瞬时速度是
D. 该物体的速度和时间时的关系式是
10.已知各项均为正数的等比数列的公比为，，，则( )
A.
B.
C.
D. 数列的前项和为
11.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为，且与轴的交点为，则( )
A. B.
C. 四边形为梯形 D. 的面积是的面积的倍
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两条直线，，且，则 ．
13.已知函数，则的单调递增区间为 ．
14.已知，分别是椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于，的一点，在中，，，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知各项为正数的等差数列满足，且，，成等比数列．
求数列的通项公式
若等比数列满足，，问：数列的前项中哪些项在等比数列中
16.本小题分
已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆
求圆的方程
过点且斜率为的直线与圆交于另一点，且，求直线的方程．
17.本小题分
拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得已知函数，数列满足，且．
求，
证明：数列为等比数列
若数列的前和为，且设，问：是否存在实数，，使得对任意，总有成立
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于，两点两点均在轴左侧．
求曲线的方程
若点在轴上方，且，求直线的方程
过点作轴的平行线，直线与直线交于点，线段的中点为，若直线与直线交于点，求证：点恒在一条定直线上．
19.本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求实数的值
若不等式对恒成立，求实数的取值范围
对，关于的方程总有两个不等的实数根，，求证：
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：设数列的公差为，，
因为，，成等比数列，
所以，
所以，解得或，
若，则；
若，则
故数列的通项公式为或．
若，则，
所以等比数列的公比，
所以．
，
，
，，，，，
所以在等比数列中．
若，则，
所以等比数列的公比为，
即，
所以在等比数列中．
16.【答案】解：设圆的方程为，
因为点、，都在圆上，
所以，解得
因此圆的方程为；
设直线的方程为，
因为圆心到直线的距离，
圆的半径，，
所以由，
得，解得或，
因此直线的方程为或．
17.【答案】解：因为，所以，
因此由，
得，
即，所以，
因为，所以，；
证明：由知：，
因此，而，
所以且，
因此数列是首项为，公比为的等比数列；
由知：数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，即，
所以，
因此
，
所以存在，，使得对任意，总有成立．
18.【答案】解：由题知：点的轨迹是以、为焦点，且实轴长为的双曲线，
因此，所以曲线方程为；
设直线：，，，
由，得，
显然，
因此，，，
因为，所以，
因此，，
所以，解得，
因为，两点均在轴左侧，且，
所以直线的斜率，即，
因此，所以直线方程为；
证明：因为直线的方程为：，
令，得，
因此点的坐标为，
所以点的坐标为，
所以直线的方程为：，
设，
因为直线的方程为：，
所以
而由知：，，
因此，解得，
所以点恒在定直线上
19.【答案】解：因为函数在点处的切线方程为，
而，
所以，解得；
由知：，
因此不等式对恒成立等价于：
对恒成立，
当时，对恒成立；
当时，对恒成立等价于：
恒成立，
令
则
令
则
因此函数在区间上单调递增，
所以，即在区间上恒成立，
因此函数在区间上单调递减，
所以，
即此时实数的取值范围是，
综上所述，实数的取值范围为；
证明：由知：，且，
因此函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值为，
记函数的最大值点为点，
函数与轴的交点为点，
因为直线的方程：，
所以由知：在区间上，，
又因为直线的方程为：，
所以当时，，
记与直线交点横坐标记，
直线与直线交点横坐标为，
则
．
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