湖南省株洲市2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题（含答案）

湖南省株洲市2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则( )
A. B. C. D.
4.在下列函数中，周期为的函数是( )
A. B.
C. D.
5.有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则( )
A. 三人都解出的概率为 B. 没有人能解出的概率为
C. 恰有一人解出的概率为 D. 恰有两人解出的概率为
6.在正四棱台中，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若且，则点的轨迹是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆简称“阿氏圆”在平面直角坐标系中，已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 到直线的距离的最小值为
C. 的最小值为
D. 存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离
10.如图，菱形的边长为，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是( )
A. 点到平面的距离为故选
B. 与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若，的最小值为，且，，则参考
C. 若，则
D. 若有两根，则的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，，则 ．
13.曲线在处的切线方程为 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求的面积
求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，，是的中点．
求证：平面平面
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．
求直线的方程用，表示
当点运动时，求点的轨迹的方程
已知点，若直线不过点且与曲线相交于，两点，并且有，问是否存在直线使得的面积为若存在，求出此时直线的方程若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若正整数数列满足：对任意的，都有恒成立，则称数列为“差增数列”．
若，，，为“差增数列”，写出所有可能的，
若“差增数列”满足：，，求的最大值
对所有可能的“差增数列”，记表示数集中的最大值，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】解：，
边所在直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
所以；
设圆的方程为，
由题意得
，，，
所求圆的方程为，
即，
所求圆的圆心坐标是，半径．
16.【答案】解：由定义知，，
令，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
综上，当时，的增区间为，减区间为；
由有两个零点，可知有两个解，
即，即与有两个交点，令，
则，令，且，
时，，时，，
则在上单调递增，在上单调递减且，
要使与有两个交点，
则．
即的取值范围为
17.【答案】解：证明：如图，取的中点为，连接，，
设，连接，
易知四边形为正方形，
，
，，，
，
，为的中点，
，
因为，，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
易知，
又，，，平面，
平面，
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则
取得，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则
取，得，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．

18.【答案】解：
将代入，
整理得，
因为，是双曲线与直线的唯一公共点，
所以，即，
解得点的坐标为，即，其中，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为，即；
由可得，，
所以，即，，
所以，
即，其中；
易知直线的斜率不为若直线的斜率为，
易知，与矛盾，
设直线的方程为，，，
则由
得，其中，
由，可得，
所以，
，
由，，代入并化简，
得，所以，不合题意，舍去，
所以直线恒过定点，
设定点为，则可得的面积
，
并由，得，
，解得或，
所求直线的方程为或．
19.【答案】解：依题意，因为数列，，，为“差增数列”，
则，注意到，，
故所有可能的，为或或或；
由题意知，当时，
，
即，，
当时，，
当时，，
则当时，，
故正整数的最大值为；
令，由题知，，
则，
此时有
，
故，
另一方面，
当，，，，，，，时，
取，
则，，，
且，
，
综上，的最小值为．
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