辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（含答案）

辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
2.当时，函数的值恒小于的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.某地有个快递收件点，在某天接收的快递个数分别为，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验若实验成功，则终止实验已知甲，乙，丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知，，，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，方程有个不同实数解，则的范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.易经是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象如图所示的是八卦模型图，其平面图形如图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 和不能构成一组基底
10.某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识。为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法正确的是( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
D. 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
11.已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，幂函数在上单调递增，其图象不过坐标原点，则
13.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具。现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子简称上珠代表，下面一粒珠子简称下珠代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小。例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字。现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则
14.已知函数，若，则的取值范围
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集是实数集，集合且，
当时，求和
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
中华人民共和国未成年人保护法是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益。根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛。竞赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响。若答对题数合计不小于，则称这个小组为“优秀小组”已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为，
若，，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率
若，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值．
17.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连，为线段上的一个动点．
用基底表示
求的值
设，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数
判断的单调性，并用单调性的定义证明
若，都有成立，求实数的取值范围
是否存在正实数，使得在上的取值范围是若存在，求的取值范围若不存在，请说明理由。
19.本小题分
对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“接近”的，否则就称在上是“不接近”的。现有函数
当时，判断函数在上是否“接近”的，说明理由
是否存在实数，使函数在区间上是“不接近”的，若存在，求实数的取值范围不存在说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，解得，即，
由，解得，所以，即，
故A，；
或，
因为，所以，
若，因为，
当时，，则解为，所以；
若，则，由，所以，
又，所以，
因此，即，故．
综上所述，实数的取值范围为
16.【答案】解：记事件“在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组””，
事件“甲答对两题，乙答对一题”，
事件“甲答对一题，乙答对两题”，
事件“甲、乙都答对两题”，
因为事件、、彼此互斥，
又，
，
，
又，
所以，
所以在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率为；
由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为，
则
，
因为，所以，
又，，
则，即，
而，
令，
则，
的最大值为，当且仅当时等号成立，
此时，或，，
当时，的最小值为，此时，
所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为，最小值为．
17.【答案】解：因为，
，
将代入得；
由与交于点，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知， ，
解得，
所以，即，
所以；
由题意，设，
代入并整理，
可得
，
又，
根据平面向量基本定理，得，
所以，可得，
因为，所以，
，
而在单调递减，
则当时，，
当时，，
所以的取值范围为．
18.【答案】解：在上单调递增，
证明如下：
任取，，且，
，
因为，所以，
可得，又，
所以，即，
所以在上单调递增；
因为，
所以，
所以，
即，
由第问知在上单调递增，
所以，
所以，
即对恒成立，
令，，只需，
令，则，，
因为在上单调递增，
所以当时，，
所以，即，
故实数的取值范围；
由第问知，在上单调递增，
所以
所以，为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实数根，
令，即方程有两个不等的正根，
所以，即，
且，解得且，
所以存在实数满足题意，的取值范围为且．
19.【答案】解：当时，在上是“接近”的，
理由如下：
，
因为在上单调递减，
在上单调递增，故在上单调递减，
则，
所以，
即，，有，
所以当时，在上是“接近”的；
依题意可得在上单调递减，
假设函数在区间上是“不接近”的，
则，，使成立，
即恒成立，
而，，
则有
，
即，
又，
可得恒成立，
即，
由，
令，则，
则，
令，，
令，，
任取，，不妨设，
则
，
因为，，，
所以，即，
所以函数在单调递增，
所以，，
所以，即，
当，时，取最大值，
此时取最大值，
当，时，取最小值，
此时取最小值，故，
又对于任意的，恒成立，即恒成立，
因为，所以，
即，所以，此时，
由且，可得解集为空集，
故不存在实数，使函数在区间上是“不接近”的．
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