江苏省苏州市2025届高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题（含答案）

江苏省苏州市2025届高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，则是，共线的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.现有标号为，，，，的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为的概率为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，两渐近线分别为，，过作的平行线与交于点，记内切圆圆心为若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法中正确的有( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
10.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取名学生通过测验得到了如下数据：甲校名学生中有名学生数学成绩优秀乙校名学生中有名学生数学成绩优秀整理数据如下表：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校
乙校
合计
附：，．
参考数据：
则下列说法正确的有( )
A. 甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高
B. 甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高
C. 甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多
D. 对于小概率值，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异
11.已知是棱长为的正方体表面上一动点，，分别是线段和的中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形，则( )
A. 为平行四边形
B. 存在，使得的面积为
C. 存在，使得和底面的夹角为
D. 点和形成的多面体的体积不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点与焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为 ．
13.已知，则的值为 ．
14.已知函数，，，若的图象与和的图象从左到右依次交于，，三点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点，，．
求
若平分，求．
16.本小题分
已知函数
若，求的极小值
若的图象与直线切于点，求的值．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，，，，分别为线段和线段的中点．
求证：平面平面
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为，，，，，底部格子从左到右分别编号为，，，，，用表示小球最后落入格子的号码．
若，求小球在第行落入编号为的空隙的条件下，最后落入编号为的格子的概率
记的数学期望为，记，．
设数列的前项和为，求证：
设与最接近的整数为，求数列的前项和．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点为，，直线交于，两点，点在上当的坐标为时，的费马点的坐标为
求的方程
当为的右顶点时，若，求与轴的交点的坐标
当过点时，记的费马点为，，，的面积分别为，，，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
则，即，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以
因为平分，所以，即，
由面积相等得，
解得，所以．
由余弦定理得，
所以．
16.【答案】解：函数的定义域为，
当时，，，
令，得，
当时，，在上单调递减
当时，，在单调递增；
综上所述，的极小值为；
，
由题意得
消去得，
令，
易知在上单调递增，且，
所以，所以．
17.【答案】解：连结，因为四边形为菱形，所以．
因为，所以为正三角形．
因为为中点，所以．
因为且为中点，所以．
又因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
因为平面，平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面．
延长，交于点，连结．
因为四边形为菱形，
所以且．
因为为中点，
所以且，
所以为中点．
因为为中点，
所以，
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角．
．
设到平面的距离为，，
所以．
在中，，则．
设与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.【答案】解：设“小球在第行落入编号为的空隙”为事件，“小球最后落入编号为的格子”为事件，设向右下落次数为．
因为小球在第行落入编号为的空隙的条件下，最后落入编号为的格子，
所以在接下来的次下落过程中一定有次向左、次向右，
所以．
即小球在第行落入编号为的空隙的条件下，最后落入编号为的格子的概率为．
证明：∽，则．
所以，，
所以．
因为，
所以．
所以数列的前项和．
因为，
所以．
当为奇数时，，
当为偶数时，．
所以
当时，，
所以
当时，，
所以．
则
19.【答案】解：因为在上，所以．
又因为的费马点的坐标为，
所以，所以，
所以，
所以的方程为．
当为右顶点时，，设，，
若的斜率不存在时，不妨设的直线方程为，
代入椭圆方程整理得，
由得，故的方程为
若的斜率存在时，设的方程为，
由，得，
则．
由
，
因为
，
所以，符合题意，
所以直线与轴的交点坐标为．
设的方程为，
因为过点，所以．
由变形得，
即，
所以，
整理得，
所以，即．
当，中有一条直线斜率不存在时，也满足．
．
因为
，
所以，
即．
令，，则，
所以．
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以当时，的最小值为．


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