山东省滨州市2025届高三上学期1月期末考试数学试题（含答案）

山东省滨州市2025届高三上学期1月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. ，
C. D. ，
2.已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为残差观测值预测值，则( )
A. B. C. D.
4.已知两个等差数列，的首项分别为和，且，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
7.已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义域为的偶函数，满足，当时，，则( )
A. 的周期为
B.
C. 的解集为
D.
10.已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是( )
A. 若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为
B. 若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为
C. 若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为
D. 若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为
11.已知函数其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 若，，则正实数的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为非零向量与的夹角，定义：若，，，则 ．
13.已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与准线交于，两点，且，设直线的斜率为，则 ．
14.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和．
求数列的通项公式
求数列的前项和．
16.本小题分
在四棱锥中，平面，底面为矩形，，与平面所成角的正切值．
求的长
已知是棱上一点，且点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的大小．
17.本小题分
中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
证明：
延长至点，使得，试探究是否为定值并说明理由．
18.本小题分
设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”．
判断函数是否为上的“函数”，并说明理由
若函数是上的“函数”．
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)证明：，．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求椭圆的标准方程
若直线与椭圆相切于点．
(ⅰ)证明：直线与直线的斜率之积为定值
(ⅱ)设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，
当时，；
当时，，
对仍成立，
数列的通项公式为；
由知
，
则
．
16.【答案】解：因为平面，且平面，
所以．
又因为四边形为矩形，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
所以是在平面内的射影，
所以即为直线与平面所成角，
设，则，
在中，因为，
所以，
则在中，，
解得，
即．
方法取边上一点，连接，，，设，
因为，又因为面，
所以，
在中，，
所以，
因为点到平面的距离为，
所以，
所以，解得，
所以．
取的中点，作，垂足为，连接
因为，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以即为二面角的平面角．
在中，，，
所以，
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为．
方法根据题意，，三线两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，即，
令，得，
又因为点到平面的距离为，
则，即，
解得，
所以，
所以，，，
设平面法向量为
则即
令，得．
设平面与平面夹角为，
则，
又因为，
所以平面与平面夹角为．

17.【答案】解：在中，因为，
所以，
所以，
由正弦定理和余弦定理，得，
所以，
即，
所以或，
若，则，又，
所以，，
此时，有，
综上，成立；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
所以．
18.【答案】解：因为，
所以，
因为，，又，
所以，
所以，
所以对于任意恒成立．
故是上的“”函数．
，
由条件得对任意的恒成立，
即任意的恒成立．
当时，对一切成立．
当时，恒成立．
设，则，
所以在上单调递减，
可得．
当时，由恒成立．
设，则，
所以在上单调递减，
可得．
综上所述，的范围是
证明：由(ⅰ)知，
对，．
下面证：，，
即证，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以成立．
所以时，不等式成立．
所以，成立．

19.【答案】解：因为，，
代入，解得，，
所以椭圆
证明：设点，
所以，
设直线的斜率为，方程为，
则，
由消去，得，
因为直线与椭圆相切，
所以方程，
所以，
所以，
其中，
所以关于的方程有两相等实根，
所以，
所以为定值；
椭圆的左、右焦点，，
由得过点与直线垂直的直线为，
令，得，
所以直线与轴交点，
所以，，
，
同理，
所以，
根据内角平分线定理得，为的角平分线，
所以直线过点．
第1页，共1页