高二数学试题答案
一、选择题：
1、解析：D
建立如图所示的空间直角坐标系,则
D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(0,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),由取x=1,则n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量,所以点D1到平面A1BD的距离是。故选D。
2、解析：A
如图,以B为原点,射线BC,BA,BP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4),故=(2,0,-4),=(0,4,-4),取a==(2,0,-4),上的单位方向向量u=(0,1,-1),则点C到直线PA的距离是,即点C到直线PA的距离为2。故选A。
3、解析：B
以A为原点,AC,AM所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,易知A(0,0,0),B(,1,0),F(0,1,),M(0,0,2),所以=(,1,-2),=(0,1,)。设异面直线MB与AF所成角为θ,则cos θ=|cos<,,所以异面直线MB与
AF所成角的余弦值为。故选B。
4、解析:D
在直三棱柱ABC A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,因为AB⊥BC,所以BA,BC,BB1两两垂直,以直线BA,BC,BB1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设BB1=a(a>0),则A(2,0,0),A1(2,0,a),B1(0,0,a),C(0,2,0),所以=(-2,0,a),=(0,0,a),=(-2,2,0)。设平面AA1C1C的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量,所以直线AB1与侧面AA1C1C所成角的正弦值为sin,n>|=,得a=2,所以A1(2,0,2),=(-2,0,-2)。设异面直线A1B与AC所成的角为θ,则cos θ=|cos<,,所以异面直线A1B与AC所成角的正弦值为。故选D。
5、解析:C 由题意知直线l的斜率存在,且不为0。设所求直线的方程为y-1=k(x-2)。令x=0,得y=1-2k,所以点Q的坐标为(0,1-2k)。又因为M为线段PQ的中点,点P的纵坐标为0,所以根据中点坐标公式得=1,解得k=-,所以所求直线的方程为x+2y-4=0。故选C。
6、解析：C 等轴双曲线的一个焦点是F1(0,-6),故焦点在y轴上,c=6且a=b,根据a2+b2=c2,得a=b=3,故双曲线的标准方程为=1。故选C。
7、解析：A 由双曲线C:=1可得左焦点F(-5,0),顶点(-4,0),(4,0)。若l⊥x轴,则|AB|=2×<8,不符合题意,舍去;若l与x轴不垂直,与C的左支交于A,B两点,则|AB|=8,存在两条直线;若l与x轴不垂直,与C的左、右支各交于一点,则只有A,B为顶点时满足|AB|=8,存在一条直线。综上可得,满足条件的直线有3条。故选A。
8、解析：B 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1。根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8。故选B。
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、解析：AD 如题图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1为钝角。故选AD。
10、。解析：AC
A项,直线y=-(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),所以=1,p=2,2p=4,A项正确,且抛物线C的方程为y2=4x。B项,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3+,B项错误。C项,设线段MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直线l的距离等于|MN|的一半,所以以线段MN为直径的圆与直线l相切,C项正确。D项,由上述分析可知y1=-×(3-1)=-2,y2=-,所以|OM|=,|ON|=,所以三角形OMN不是等腰三角形,D项错误。故选AC。
11、解析：BCD 椭圆=1(a>b>0)的焦点在x轴上,顶点在坐标轴上,因为椭圆的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,所以可先求出圆x2+y2-5x-4y+4=0与坐标轴的交点。令y=0,得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4,所以圆x2+y2-5x-4y+4=0与x轴的交点为A(1,0),B(4,0);令x=0,得y2-4y+4=0,解得y=2,所以圆x2+y2-5x-4y+4=0与y轴相切于点C(0,2)。当点A(1,0)为焦点,C(0,2)为顶点时,c=1,b=2,所以a=,则离心率e=;当点A(1,0)为焦点,B(4,0)为顶点时,c=1,a=4,则离心率e=;当点B(4,0)为焦点,C(0,2)为顶点时,c=4,b=2,所以a=,则离心率e=。故选BCD。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、解析：-3 。 因为=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2),且A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),所以所以m+n=-3。
13、解析： (x+1)2+(y+1)2=2 。
kx-y-2k+2=0可化为k(x-2)-y+2=0,所以直线kx-y-2k+2=0(k∈R)过定点A(2,2)。因为圆C上的动点P到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为4,所以圆心C到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为4。又圆心C在直线x+y+2=0上,所以可设C(a,-a-2)。如图,易知直线CA与直线kx-y-2k+2=0(k∈R)垂直时,圆心C到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离最大,即,解得a=-1,故圆心C(-1,-1),故圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2。
14、解析： (-∞,-5)∪(-2,+∞) 。 因为该方程表示双曲线,所以(m+2)(m+5)>0,即m>-2或m<-5,即m的取值范围为(-∞,-5)∪(-2,+∞)。
四、解答题：本题共5小题，共75分
15、（本小题满分12分）
解 (1)证明:以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。设AB=a,则
A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1)。故=(0,1,1),·×0+1×1+(-1)×1=0,所以,即B1E⊥AD1。
(2)存在满足要求的点P,假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0)。设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z)。=(a,0,1),。因为n⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得取x=1,则故n=是平面B1AE的一个法向量。要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即-az0=0,解得z0=。所以存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=。
16、（本小题满分12分）
解 (1)证明:(),
因为··()=(··)+()=0,所以C1O⊥BD。因为CC1=2,CO=,∠C1CO=45°,所以C1O=,所以C1O2+OC2=C,所以C1O⊥OC,又因为BD∩OC=O,且BD,OC 平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD。
(2)如图建立空间直角坐标系,则B(,0,0),A(0,-,0),C1(0,0,),C(0,,0),所以A1(0,-2,),D(-,0,0),所以=(,,0),=(0,-,),=(-,,0),设平面AA1B与平面AA1D的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则有不妨取x1=x2=1,则n1=(1,-1,-1),n2=(1,1,1)。设二面角B AA1 D的平面角为θ,则|cos θ|=,sin θ=。所以二面角B AA1 D的正弦值为。
17、（本小题满分12分）
解 (1)设A'(x,y),由已知条件得所以A'。
(2)在直线m上取一点M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上。设对称点M'(a,b),则故M'。设直线m与直线l的交点为N,则由即N(4,3)。又因为m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0。
(3)设P(x,y)为l'上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(-2-x,-4-y),因为P'在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0。
18、（本小题满分12分）
解 (1)由已知可得,c=2,所以a=。又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是=1。
(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF==-m。当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2。当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式。设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0。所以y1+y2=,y1y2=,所以x1+x2=m(y1+y2)-4=。因为四边形OPTQ是平行四边形,所以,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2)。所以解得m=±1。此时,四边形OPTQ的面积S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|=2。
19、（本小题满分12分）
解 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2。所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1。
(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1)。设直线l的方程为y=kx-1(k≠0)。由得x2+4kx-4=0。设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4。直线OM的方程为y=x。令y=-1,得点A的横坐标xA=-。同理得点B的横坐标xB=-。设点D(0,n),则
,,·+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2。令·=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3。综上,以线段AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3)。湖北省随州市部分高中2025年元月期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是( )
A. B. C. D.
2、如图,在四棱锥P ABCD中,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2BC=4,AB⊥BC,则点C到直线PA的距离为( )
A.2 B.2 C. D.4
3、如图,在三棱锥M ABC中,MA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,MA=2,F是MC的中点,则异面直线MB与AF所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4、在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB⊥BC,且AB=BC=2,若直线AB1与侧面AA1C1C所成的角为,则异面直线A1B与AC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5、已知过点M(2,1)的直线l与x轴、y轴分别交于P,Q两点。若M为线段PQ的中点,则直线l的方程为( )
A.2x-y-3=0 B.2x+y+5=0
C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=0
6、等轴双曲线的一个焦点是F1(0,-6),则其标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
7、已知直线l过双曲线C:=1的左焦点,且与C交于A,B两点,当|AB|=8时,这样的直线l有( )
A.3条 B.2条 C.1条 D.4条
8、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是( )
A.k1C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1
10、。设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2 B.|MN|=
C.以线段MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形
11、椭圆=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,则
该椭圆的离心率的可能取值有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= 。
13、已知圆C的半径为,其圆心C在直线x+y+2=0上,圆C上的动点P到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为4,则圆C的标准方程为
。
14、已知方程=1表示双曲线,则m的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共75分
15、（本小题满分12分）
如图所示,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点。
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE 若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由。
16、（本小题满分12分）
如图,平行六面体ABCD A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°。
(1)证明:C1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角B AA1 D的正弦值。
17、（本小题满分12分）
已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2)。求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程。
18、（本小题满分12分）
已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点。当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积。
19、（本小题满分12分）
已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1)。
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B。求证:以线段AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。
