江苏省常州市2025届高三上学期期末质量调研数学试题（含答案）

江苏省常州市2025届高三上学期期末质量调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.设随机变量服从正态分布，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.若函数在处取得极小值，则实数( )
A. B. C. 或 D.
6.已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知角的终边经过点，角为钝角，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四棱柱中，，，为底面的中心，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 若在上的值域为，则的取值范围是
B. 若在上恰有一条对称轴，则的取值范围是
C. 若在上单调递增，则的取值范围是
D. 若在上有且只有两个不同的零点，则的取值范围是
11.某人有元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表和表所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股元．则下列说法正确的有：
表甲每股收益的分布列
收益元
概率
表乙每股收益的分布列
收益元
概率
A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B. 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥方差小
C. 此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为元
D. 此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数满足以下两个条件：是奇函数在上单调递减请写出符合要求的的一个解析式 ．
13.已知的展开式中项的系数为，则 ．
14.在中，点满足，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，．
求证：；
求二面角的正弦值．
16.本小题分
某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得分，没有答对的班级得分．设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响．
经过轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望；
求经过轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率．
17.本小题分
已知数列满足．
设，求数列的通项公式；
若数列的前项和为，且，求的值．
18.本小题分
平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，其右焦点与抛物线：的焦点重合．
求，的方程；
点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若在区间上单调，求实数的取值范围；
若函数有两个不同的零点．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)若恒成立，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】答案不唯一
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为为直棱柱，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为中点，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设平面的法向量为，
则
取，得，，
故平面的一个法向量为，
又易知平面的法向量，
记二面角为，
则，
则．
故二面角的正弦值为．
16.【答案】解：由题意，随机变量的可能取值为，，，
且，
，
，
故的分布列为
则
由知，，，
因为经过轮比赛班累计得分高于班，
则班得分或分或分，
故所求概率为．
17.【答案】解：当时，，
当时，，
则，
又满足上式，则，；
由可知，，
则，又，则，
若为偶数，，，
若为奇数，，，
故，
解得或．
18.【答案】解：解：由题意，椭圆的离心率，得，
所以椭圆的方程为，其右焦点为，
于是抛物线的焦点为，所以，即，
故抛物线的方程为；
设点，由，得，
所以抛物线在点处的切线斜率为，
则切线方程为，即，
由，得，
设，，
则，，
，
所以的中点的坐标为，
所以直线：，
令，得，
即，点在定直线上
定直线存在，方程为．
19.【答案】解：，，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由在区间上单调，所以，
即实数的取值范围为：；
，
令，，
若，恒成立，所以在上单调递增，
此时至多个零点，故也至多个零点，不满足题意；
当时，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
要满足函数有两个不同的零点，
至少要满足，解得，
又，，
另设，，
所以，所以，
根据零点存在定理可知：在和各存在一个零点，
综上所述，的取值范围为：；
证明：
由可知，在和各存在一个零点，记作，，
由题意知，为的两个零点，则，，
，
要证，即证，
即证，
令，且，即证对恒成立，
令，，
所以在上单调递增，则，
即在恒成立，
要证，即证，
即证，
令，且，即证对恒成立，
则，，
所以在上单调递减，所以，
故，
综上所述，成立，故原不等式得证．
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