湖南省株洲市2025届高三年级教学质量统一检测数学试题（含答案）

湖南省株洲市2025届高三年级教学质量统一检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若虚数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在方向上投影向量为( )
A. B. C. D.
5.若展开式中的第项与第项的系数相等，则的值为( )
A. B. C. D.
6.记等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知三个电流瞬时值的函数表达式为，，，，它们合成后的电流瞬时值的函数为的部分图象如图所示，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知点为三棱柱的棱上一点，经过顶点，及点的平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数某地区进行调研考试，共名学生参考，测试结果单位：分近似服从正态分布，且平均分为，离散系数为，则下列说法正确是( )附：若随机变量服从正态分布，
A. 学生考试成绩标准差为
B. 学生考试成绩近似服从正态分布
C. 约有名学生的成绩低于分
D. 全体学生成绩的第百分位数约为
10.若，则
A. B. C. D.
11.在平面直角坐标系中，已知定点和定直线，若到点与直线的距离之和等于的点的轨迹记为曲线给出下列四个结论，其中正确是( )
A. 曲线关于轴对称
B. 若点在曲线上，则
C. 若点在曲线上，则
D. 若点在曲线上，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是第二象限内的角，，则 ．
13.已知长方体的长、宽、高分别为、、，连接其各面的中心，得到一个八面体已知该八面体的体积为，则该长方体的表面积的最小值为 ．
14.在箱子里有六张印有名同学名字名字都不相同的卡片，名同学随机在箱子中抽取一张卡片为了使名同学都能拿到自己的卡片，每次只有名同学可以互换手中的卡片，则这名同学至少进行次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，且是边长为的等边三角形．
求证：
若，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
如图，在等边三角形中，为边上一点，，点、分别是边，上的动点不包括端点，若，且设．
求证：不论为何值，恒成立
当和的面积相等时，求的值．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为过焦点的直线交抛物线于，两点抛物线在点处的切线为直线，过点作平行于直线的直线交抛物线于点设点，，
求证：，，成等差数列
求的面积的最小值．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值
若函数存在唯一极值点，求的取值范围
若函数存在极大值，记作，求证：．
参考结论：当时，这里表示从的右边逼近，表示从的左边逼近
19.本小题分
已知集合是由为大于的整数个连续的正整数组成的集合现将集合拆分成个子集，且集合满足：两两没有公共元素元素的个数均为个，则称对集合进行了“个均分拆”进一步，若集合又满足条件，则称对集合进行了“条件下个均分拆”．
若集合，请写出对集合进行“个均分拆”的所有拆法．
若集合，试判断是否可以对集合进行“条件下个均分拆”条件为“，其中，，，”，并说明理由．
若集合，是否可以对集合进行“条件下个均分拆”条件为“集合中的最大数等于另外的两数之和”若能，求出整数的最大值，并给出一种拆法若不能，说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：证明：取的中点，连接，，四边形为菱形，且，
则，又为等边三角形
，而，，平面，平面，
又平面，
若，由可知，，
而，，平面，，故平面，而，
以点为原点，，，的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建系，如图所示：
则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
，，即，
令，则，，
所以平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16.【答案】解：证明：在中，，
，
在中，，
所以，
在中，由正弦定理得：，
，
在中，由正弦定理得：，
，
，所以不论为何值，恒成立；
因为，
，
，
，且由可知，，
，
化简得：，
整理得：，所以．
17.【答案】解：证明：由题意得切线的斜率为，
直线的斜率为，
因为，所以，
于是，即，，成等差数列；
解法一：依题意可知，设的方程为：，
联立方程：，化简得：，
易知：，，
设的中点为，由可知轴，
所以的面积是的两倍，
直线的方程为：，即，
所以，
所以
，
所以当时，的面积最小，最小值为；
解法二：依题意可知，设的方程为：，
联立方程：，化简得：，
易知：，，
所以
，
所以点到直线的距离为，
可得：，
又由可得：，且
所以，
，
所以，
所以当时，的面积最小，最小值为．
18.【答案】解：且，
则，所以切线方程为，
所以，有
存在唯一极值点等价于在上有唯一解，
记，，
知，可知在上单调递减，在上单调递增，
因为当时，这里表示从的右边逼近，表示从的左边逼近
所以在上的值域为，在上的值域为，
所以，即的取值范围为：．
记，
当时，，，，
由零点存在性定理可知：，记作：，
所以在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；
于是存在极大值，极小值，不成立
当时，只有唯一零点，知在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递增，于是只有极小值
故若函数存在极大值，则且，有，，则，
所以，，
从而
令，，，即在上单调递增，且，故，
即．
19.【答案】解：由题意可得，，，
情形，或，，
情形，或，，
情形，或，；
不可以，理由如下：
假设可以对集合进行“条件下个均分拆”，
，一定是一个奇数一个偶数，
，，，中至多两个偶数，
则对于的一种符合要求的拆分和，且每个均有两个偶数，
若两个集合分别为和，则或，不存在，使得符合要求，
若两个集合分别为和，则或，不存在，使得符合要求，
若两个集合分别为和，则或，不存在，使得符合要求，
所以不可以对集合进行“条件下个均分拆”；
假设可以对集合进行“条件下个均分拆”，
有个元素，可以拆分个三元子集，
将个三元子集中的最大的数依次记为，，，，，
则
，
另一方面，中所有元素和为
，
，
，解得，
又，，
当时，，
对集合进行“条件下个均分拆”的一种情况如下：
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
或者，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
拆法不唯一
综上所述，可以对集合进行“条件下个均分拆”，
并且的最大值是．
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