数学-辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期末双基测（PDF版，含答案）

{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
2025 年大连市高三双基测试
数学参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主
要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一
半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、单项选择题：
1. C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D
二、多项选择题：
9. AD 10. ABD 11. ABD
三、填空题
9
12. 7 13. 4√3 + 2 14.
8
第 14 题答案提示：满足| | + | | = 的点( , )在以( , )为中心，对角线长为2
的正方形上，如图（1）所示.
1
( ) = | + 1 sin | + |2 + 5 cos2 | = | + 1 sin | + | + 2 + sin2 |，
2
令 = sin , ∈ [ 1,1]，则y = | + 1 | + | + 2 ( 2)|为( + 1, + 2)到
9
( , 2) , ∈ [ 1,1]的曼哈顿距离.故数形结合如图（2）所示可得最小值为 .
8
图（1）
图（2）
数学答案 第1页（共 7 页）
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
四、解答题：
15．（本小题满分 13 分）
解析：（1）因为∠ = 120°， = ，所以∠ = 30°，因为 = ，所以
∠ = 30°，因为∠ = 120°，∠ = 90°所以 ⊥ ，…………………………2 分
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面
，…………………………………………………………………………………………4 分
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．……………………………………………………5 分
（2）在平面 内，过点 作 的垂线交 于 ，则 ⊥ ，以点 为坐标原点，
AB, AD, 方向分别为 , , 轴正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系 ，不妨设 = = 1，则
= √3， = = √3，则
3 3
( ) √ ( ) √
3 3
0,0,0 , ( , , 0) , 0,1,0 , ( , 0, )， =
2 2 2 2
√3 1 √3 3( , , 0) , = ( , 1, )
2 2 2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 = 0,
则{ 即{ √3 3 ，令 x = 3 ，可取 = (√3,0,1)，……………………8 分
= 0, + = 02 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
√3 1
= 0, + = 0
则{ 即{ 2 2 ，令 = 1，可得 = (1, √3, √3)，………………10 分
= 0, √3 3 + = 0
2 2
2√3 √21
所以 , = | | = ，……………………………………………………………12 分
2×√7 7
由图可知二面角 的平面角为钝角，
21
因此二面角 的余弦值为 √ ．………………………………………………13 分
7
16． （本小题满分 15 分）
解析：（1）设椭圆C与其伴随双曲线Γ的离心率分别为 1， 2，
3 1
依题意可得 2 = 4， √ 2 21 = 3 2
，即 1 = ， 3 2
4 2 1 4+ 2
即 = × ，解得 2 = 2，…………………………………………………………4 分
4 3 4
2 2 2 2
所以椭圆C： + = 1，则椭圆C伴随双曲线Γ的方程为 = 1．………………6 分
4 2 4 2
数学答案 第2页（共 7 页）
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
（2）
由（1）可知 (0,√6)，直线 的斜率存在，故设直线 的斜率为 ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，则直
线 的方程 = + √6，
2 2
与双曲线 = 1联立并消去 ，得( 2 2) 2 + 2√6 + 2 = 0，………………8 分
4 2
2√6 2
则 2 2 ≠ 0， = 16 2 + 16 > 0， 1 + 2 = ， = 2 1 2 2 2
，………………9 分
2
2
= < 0则 21 2 2 < 2，……………………………………………………………10 分 2
4√ 2+1 4√ 2+1
又| 1 2| = √( 21 + 2) 4 1 2 = = ，
√( 2 2)2 2 2
4√ 2+1
则| | = √1 + 2 = 8，解得 2 = 1，…………………………………………12 分
2 2
1 | || |
又 = | || |
1 sin 1 1
sin ， 所 以 = × = | || | cos = =
2 tan 2 tan 2 2
1 1 1
( 1 2 + 1 2) = [ 1
2
2 2 2
+ ( 1 + √6)( 2 + √6)] = [(1 + ) 1 2 2 + √6
( 1 + 2) + 6]

因为 2 = 1，所以 = 7．……………………………………………………………15 分
tan
17.（本小题共 15 分）
sin sin
解析：（1）由 + = 1及正弦定理得 + = 1，
sin +sin sin +sin + +
2+ 2 22 2 2 1整理得 + = ，由余弦定理得cos = = ，………………2 分
2 2
因为 ∈ (0, )，

所以 = ，……………………………………………………………………………4 分
3
2
又 + + = ，所以 + = ，则 = ，
3
所以 , , 成等差数列．……………………………………………………………6 分
（2）方法一：由（1）可知： 2 + 2 2 = 及 = √3， = √2，
2 2
得 2 = ( )2 + ，即(√3) = (√2) + ，解得 = 1，…………………8 分
sin
在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin∠
数学答案 第3页（共 7 页）
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
sin
在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin∠

由 = 得sin ∠ = sin∠ ，……………………………………………………10 分

所以∠ + ∠ = ，

即∠ + ∠ + ∠ = ，所以∠ = ， …………………………………12 分
3
设△ 的面积为 △ ，
1 1 1
则 △ = sin∠ = sin∠ + sin∠ ， 2 2 2
2 2
即 = 1 + ，又 √ = √2，解得 = ，所以 的长为 .………………15 分
2 2
方法二：由（1）可知： 2 + 2 2 = 及 = √3， = √2，
得 √
6+√2
c = , …………………………………………………………………………………7 分
2
√6 √2
= ，…………………………………………………………………………………8 分
2
2+3 2 √2 √6 6 2
在△ 中，cos∠ = = ，则 √ √cos∠ = ，…………………10 分
2√3 4 4
√6 √2 √6+√2 3 3
又 = ，则 √2 = 2 ，解得 = ，………………………………………12 分 +√3 2
1
在△ 中，由余弦定理知 2 = 2 + 2 2 cos∠ = ，
2
√2 2即 = ，所以 的长为 .………………………………………………………15 分
2 2
18．（本小题共 17分）
1 1 1 2
解析：（1）欲证原不等式只需证ln 2 < ，令 ( ) = ln
2，则 ′( ) = ，令
2 e 2
′( ) > 0，解得0 < < 1；令 ′( ) < 0，解得 > 1，即 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, +∞)
1
上单调递减，则 ( ) ≤ (1) = . ……………………………………………………2 分
2
1
令 ( ) = （ > 0），则 ′( ) = ，令
′( ) < 0，解得0 < < 1；令 ′( ) > 0，解得
e e
> 1 ， 即 ( ) 在 (0,1) 上 单 调 递 减 ， 在 (1,+∞) 上 单 调 递 增 ， 则 ( ) ≥ (1) =
1
. …………………………………………………………………………………………4 分

1 1 1
又 < ，则ln 2 < ，原不等式得证. ……………………………………5 分
2 2 e
2 ( 2) +
（2） ( ) = ln 2ln( + 1)， ′( ) = = ，
+1 ( +1)

令 ′( ) = 0，解得 = ，……………………………………………………………6 分
2
数学答案 第4页（共 7 页）
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}

因为 0 < < 2,所以 > 0 ，又 > 0，
2
当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如下表：

(0, ) ( ,+∞)
2 2 2
′( ) + 0
( ) ↗ 极大值 ↘

则函数 = ( )单调递增区间是(0, )，单调递减区间是( , +∞)，………………8 分
2 2
即 ( )的最大值为

( ) = ln 2ln ( + 1) = ln + (2 )ln(2 ) 2ln2. ………9 分（不化简不
2 2 2
扣分）
（3）设 ( ) = ln + (2 )ln(2 )，(0 < < 2)， ′( ) = ln ln(2 )，
令 ′( ) = 0，解得 = 1.又0 < < 2，当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如下表：
(0,1) 1 (1,2)
′( ) 0 +
( ) ↘ 极小值 ↗
而 (1) = 0， 则 ln + (2 )ln(2 ) ≥ 0，………………………………………11 分
1 2 2 3 3 2 1 2 1
当 ≥ 2时，要证( )( ) ( ) ( ) > 1，

1 2 2 3 3 2 1 2 1
两边同时取对数，即证ln [( ) ( ) ( ) ( ) ] > ln1，即证

2 1

∑ ln ( ) > 0

=1
2
两边同时乘以 ，即证

2 1

2 ∑ ( ) ln ( ) > 0

=1
而
2 1

2 ∑ ( ) ln ( )

=1
2 1 2 1
2 2
= ∑ ( ) ln ( ) + ∑ ( ) ln ( )

=1 =1
数学答案 第5页（共 7 页）
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
2 1

= ∑ [( ) ln ( ) + (2 ) ln (2 )]

=1
………………15 分
又 ln + (2 )ln(2 ) ≥ 0，

令 = ，( = 1，2 ，2 1)， ∈ (0,2)，代入上式，


得( ) ln ( ) + (2 ) ln (2 ) ≥ 0，且只有在 = 时等号成立，所以有

2 1

∑ [( ) ln ( ) + (2 ) ln (2 )] > 0

=1
原不等式得证. ………………………………………………………………………………17 分
19.（本小题满分 17 分）
4 3 1 5 4 1 6 5 1
解析：（1）因为 = ， = ， = ，
3 1 2 4 2 2 5 3 2
1
所以数列 1，2，3，4，5，6 的所有商 子列为
2
1，3，4； 2，4，5； 3，5，6. ………………………………………………………3 分
al+2 al+1
（2）由题意， 1，从而 al+2 al+1 al+1 al ， ∈ {1,2,… , 2} ，…………4 分 al+1 al
因为1 i j k n，所以
( = 1
)+( 1 2)+ +( +1 ) ( )( ≥ +1
) =
+1
，……………………6 分
( 1)+( 1 2)+ +( +1 ) ( )( 1)
= ≤ = ，……………………8 分
1

因为 +1 ≥ 1，所以 ≥ . ……………………………………………9 分
al+2 al+1
（3）由题意 = 2，得 2 = 2 ，
al+1 a
+2 +1 +1
l
所以 2 1 = 1 2 2 = = 3 2 2 = 2 2 1=0
又因为 = 1，故 = 2 11 , ∈
………………………………………………………11 分
(求通项公式的方法很多，其他方法请酌情给分)
a a 2k 1 2 j 1k j
设数列ai ,a j ,ak (1 i j k n)是数列 an 的商 2 子列，则 = 2，即 = 2，a j 1j ai 2 2i 1
整理得2k i 1 = 3 2 j i 1 1，又 k i 1 2 1=1，所以2k i 1为偶数，进而3 2 j i 1为奇数，所
以 j i 1= 0，进而2k i 1 = 2， k i = 2，
数学答案 第6页（共 7 页）
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}
故数列 an 的商 2 子列只有数列al ,al+1,al+2 (1 l n 2) .………………………………14 分
综上，数列 an 的商 2 子列共有n 2个，
n (n 1) (n 2)
而数列ai ,a j ,ak (1 i j k n)
3
的个数为Cn = ，
6
n 2 6
所以Pn = =3 .…………………………………………………………………15 分 Cn n (n 1)
1 1 2 3 6 6 9 6 9
因为 ， ，所以 2 ，即 Pn .……………17 分
n n 1 n n +1 n n (n 1) n
2 1 n2 n2 1
数学答案 第7页（共 7 页）
{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}