数学-河南省三门峡市2025届高三上学期第一次大练习试题（期末）（PDF版，含答案）

河南省三 峡市 2024-2025学年 三上学期第 次 练习数学试题
2025年 1 14
注意事项：
1.答题前，考 务必将 的姓名、考 号填写在试卷和答题卡上，并将考 号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2.选择题答案使 2B铅笔填涂，如需改动， 橡 擦 净后，再选涂其他答案标号； 选择
题答案使 0.5毫 的 墨 签字笔书写，字体 整、笔迹清楚．
3.请按照题号在各题的答题区域（ 线框）内作答，超出答题区域书写的答案 效．
4.考试结束后，将答题卡交回．
第 I卷（选择题 共 58分）
、单选题：本题共 8 题，每题 5分，共 40分.在每题给出的四个选项中，只有 项是符合
题 要求的.
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
2.在复平 内，复数 满 ，则复数 对应的点的坐标是
A. B. C. D.
3.对两组数据 x，y和 v，u分别进 回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归 程分别是 和
，并对变量 x，y进 线性相关检验，得到相关系数 ，对变量 v，u进 线性相关检验，得到
相关系数 ，则下列判断正确的是
A. B. C. D.
4. “ChatGPT”横空出世，全球科技企业报起 场研发 AI 模型的热潮，随着 AI算 等硬件底座逐步搭建
完善，AI 规模应 成为可能，尤其在图 创意，虚拟数字 以及 业软件领域已出现较为成熟的落地应
.Sigmoid函数和 Tanh函数是研究 智能被 泛使 的 2种 作神经 络的激活函数，Tanh函数的解析
式为 ，经过某次测试得知 ，则当把变量减半时，
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A. B. C. D.
5.若向量 ，则“ ”是“ ”的
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知点 P、Q在直线 上，且 P、Q到坐标原点的距离均不 于 1，则 的最 值为
A. B. C. D.
7.已知数列 的前 项和 ， 项 ，且满 ，则 的值为
A.4093 B.4094 C.4095 D.4096
8.在棱 为 1的正 体 中，E，F，G分别为棱 的中点，动点 在平 EFG
内，且 .则下列说法正确的是
A.存在点 ，使得直线 DH与直线 FG相交 B.存在点 ，使得直线 平 EFG
C.直线 与平 EFG所成 的 为 D.平 EFG被正 体所截得的截 积为
、多选题：本题共 3 题，每 题 6分，共 18分.在每 题给出的四个选项中，有多项符合
题 要求，全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分.
9.下列命题中，真命题的是
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
10.已知 的部分图象如图所示，则
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A. 的最 正周期为 B. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
C. 在
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（2）若 ，求 的 积.
16.（本 题满分 15分）如图，在直三棱柱 中， 为 的中
点.
（1）证明： 平 ；
（2）若 的余弦值为 ，求点 到平 BCD的距离.
17.（本 题满分 15分）已知函数 .
（I）求曲线 在点 处的切线 程；
（II）求函数 在区间 上的最 值和最 值.
18.（本 题满分 17分）已知 A，B是椭圆 的左，右顶点，点 与椭圆上的点
的
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（ii）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
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2024—2025学年度 三第 次 练习数学—参考答案
、选择题：本题共 8 题，每 题 5分，共 40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C D A C
、多选题：本题共 3 题，每 题 6分，共 18分.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，
有选错的得 0分.
题号 9 10 11
答案 BC ABD AC
三、填空题：本题共 3 题，每 题 5分，共 15分.
12. （或 ，答案不唯 ） 13.600 14.
四、解答题：本题共 5 题，共 77分.解答应写出 字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本 题满分 13分）【解析】（1） ，可得

（2）由正弦定理得， ，
由余弦定理， ，可得， ，
联 程组整理得， ，所以 或 （舍）.
16.（本 题满分 15分）【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知 ，四边形
为平 四边形，
因为 ，所以四边形 为正 形，所以 ，
因为 ，
所以 平 ，
所以 ，
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因为 ，
所以 ，
因为 平
所以 平 .
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建 如图所示的空间直 坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，
所以平 ABC的 个法向量为 ，
设平 BCD的 个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
所以 ，
设 的 为 ，
则 ，解得 ，
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所以 ，平 BCD的 个法向量 ，
设点 到平 BCD的距离为 ，
则 ，
所以点 到平 BCD的距离为 .
17.（本 题满分 15分）【解析】（I）因为 ，所以
.
因为 ，所以曲线在点 处的切线 程为 .
（II）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最 值为 ，最 值为 .
18.（本 题满分 17分）【解析】（1）设是椭圆上 点，则 ，
因为 ，
①若 ，解得 （舍去），
②若 ，解得 （舍去）或 ，
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所以 点的坐标位 .
（2）（i）设直线 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，①
由 ，得 或 ，
易知直线 AC的 程为，②
直线 BD的 程为 ，③
联 ②③，消去 ，得 ，④
联 ①④，消去 ，则 ，
解得 ，即点 在直线 上；
（ii）由图可知， ，即 ，所以点 在以 AB为直径的圆上，
设 ，则 ，所以 ，即 .
故直线 AC的 程为 ，
直线 AC的 程与椭圆 程联 ，得 ，因为 ，
所以 ，所以 ，故 .
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19.（本 题满分 13分）【解析】（1）依题可得 表示所有不超过正整数 m，且与 m互质的正整数的个
数，
因为与 2互质的数为 1，所以 ；
因为与 3互质的数为 1，2，所以 ；
因为与 6互质的数为 1，5，所以 ．
（2）（i）因为 中与 互质的正整数只有奇数，
所以 中与 互质的正整数个数为 ，所以 ，
因为 中与 互质的正整数只有 与 两个，
所以 中与 互质的正整数个数为 ，
所以 ，所以 ，
（ii）解法 ：因为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，因为 ，
所以数列 是以 为 项， 为公 的等 数列，
所以数列 的前 n项和 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
解法 ：因为 ，所以 ，
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因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以
因为 ，所以 ，
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