厦门市2025届高中毕业班第一次质量检测数学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内,对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】
【解析】易知,所以对应的点为(1,-1),位于第二象限,故选.
2.设集合,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】易知集合,所以,故选.
3.已知等轴双曲线的焦点到其渐近线的距离为1,则的焦距为
A.B.2C.D.4
【答案】
【解析】设等轴双曲线的焦距为,因为焦点到其渐近线的距离为,所以,双曲线的焦距为,故选.
4.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,,则下列说法正确的是
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【答案】
【解析】若,则平行或异面,选项错误;
若,则或选项错误;
若,则不一定垂直,也可能平行或相交,选项错误;
若,则选项正确;故选.
5.已知随机变量,若,且,则
A.-1B.C.0D.
【答案】
【解析】如图所示,,
所以,
解得,故选.
6.已知,若,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,因为,
所以,解得,故选.
7.过抛物线的焦点的直线交于两点,交直线于点,若,则与的面积之比为
A.B.C.D.1
【答案】
【解析】易知为的准线,过分别作的垂线,垂足分别为,
因为,所以,即,
所以与的面积之比为,故选.
8.若函数的图象关于直线对称,则的值域为
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,依题意,,
所以,所以,解得,
所以,因为,所以,
故选.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知平面向量,则
A.不可能垂直
B.不可能共线
C.不可能为5
D.若,则在方向上的投影向量为
【答案】
【解析】选项正确；
若向量共线,则,解得,所以向量可能共线,选项错误;
,所以选项正确；
若,则,所以在方向上的投影向量为选项正确;
综上所述,应选.
10.药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤.在某新药的临床实验中,志愿者摄入一定量药物后,在较短时间内,血液中药物浓度将达到峰值,当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时,需要立刻补充药物.已知某药物的峰值浓度为,为探究某药物在人体中的代谢情况,研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据,如下表所示:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
120 110 103 93 82 68 59 47 38
已知根据表中数据可得到经验回归方程,则
A.B.变量与的相关系数
C.当时,残差为-1.5D.代谢约10小时后才需要补充药物
【答案】
【解析】因为样本中心点(4,80)在直线上,所以选项正确；
血液中药物浓度随代谢时间的增大而减小,所以变量与的相关系数
选项错误;
当时,,残差为选项正确;
令,解得选项错误;综上所述,应选.
11.已知定义在上的函数满足,其中表示不超过的最大整数,如.当时,,设为从小到大的第个极小值点,则
A.B.
C.数列是等差数列D.
【答案】
【解析】,故选项错误;
当时,,等式两边同时加,得
,故,
,故选项正确;
当时,设,则极小值点为,
所以当时,,此时,的极小值点为,即,所以,数列是等差数列,故选项正确;
所以设,则,
所以,当时,,故选项错误.
综上所述,应选.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知圆锥的母线长为6,且其轴截面为等边三角形,则该圆锥的体积为_____.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为,则,解得,所以圆锥的高为,
所以圆锥的体积为,应填;
13.已知函数的图象经过两点,若在区间上单调递减,则_____；_____.
【答案】(第一空3分,第二空2分)
【解析】依题意,,所以,
即,
解得,所以,因为,所以,应填;
14.从集合的所有非空子集中任选两个,则选中的两个子集的交集为空集的概率为_____.
【答案】
【解析】设,且,
易知集合的非空子集个数为,任取两个集合共有种选法.
(方法一)①若,则共有种选法.;
②若,从4个元素里选3个,再分成两组(不平均),有种选法;
③若,4个元素平均分为两组共有种；不平均分组共有种,
小计共有7种选法;
所以选中的两个子集的交集为空集的概率为.
(方法二)①当时,4个元素里任选一个放入集合中,集合共有种情况,故有种情况;
②当时,4个元素里任选两个放入集合中,集合共有种情况,
故有种情况;
③当时,4个元素里任选三个放入集合中,集合共有种情况,
故有种情况;总共有种情况,
所以选中的两个子集的交集为空集的概率为.
(方法三)对于集合中的任意元素均有,且,且这三种选法,再减去集合其中一个为空集的情况,故共有种,
所以选中的两个子集的交集为空集的概率为.应填;
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在中,角所对的边分别为,且.
(1)求;
(2)设为边的中点,若,且,求.
【答案】或.
【解析】(1)方法1:由正弦定理可得2分
即,即..3分
因为,可得,所以,4分
因为,所以.·5分
评分细则:
方法1:分两个过程(3分+2分)
过程1:边化角:利用两角和的正弦公式及化解(3分).
过程2:求值:求出,求出
方法2:由余弦定理可得,,·1分
所以,整理得,,.3分
所以,·4分
因为,所以.-5分
评分细则:
方法2:分两个过程(3分+2分)
过程1:余弦定理角化边:化解整理结果正确(3分).
过程2:求值:求出,求出.说理过程酌情给分.
(2),所以,
所以,或,.7分
(写出的两个余弦值,得2分)
(i)当时,因为,
所以,.9分
(由正弦和角公式得到的正弦值(2分),过程正确结果错误扣1分)
在中,由正弦定理得,,即,
所以,10分
在中,由余弦定理可得,
解得,,·11分
(求出得1分,求得1分)
(ii)当时,同理得,
所以,或.·13分
(漏一种情况,扣两分,和值各占1分)
16.(15分)在三棱柱中,.
(1)证明:平面平面；
(2)若与平面所成角为,求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】解:(1)方法1:取的中点,连接,
因为,所以,且,1分
因为为的中点,所以,
所以,所以,.3分
因为平面平面,
所以平面,5分
因为平面,所以平面平面.6分
评分细则:
方法1:垂直关系证明(3分),说理过程酌情给分.
线面垂直证明(2分),线面垂直面面垂直(1分).说理过程酌情给分.
方法2:设为在底面的射影,则与均垂直,.1分
因为,所以.3分
射影为底面的外心,又为直角三角形,
所以恰为斜边的中点,5分
因为平面,所以平面平面.6分
评分细则:
方法2:设为投影,得出,说理过程酌情给分.
证明恰为斜边的中点(2分),面面垂直证明(1分).
(2)由(1)可知,平面,
所以与平面所成角即为,所以,.7分
因为,所以,所以,-8分
无推理过程直接写出不扣分.求出.
方法1:如图所示,以为原点,分别以所在方向为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系,则,
所以,10分
建系及点的坐标,向量,建系正确设平面的法向量为,
则有即令,则,
所以,.12分
易知平面的一个法向量为,·13分
设平面与平面的夹角为,
所以,
所以平面与平面夹角的余弦值为..15分
法向量需要有求解过程.,
代入运算(1分),结论(1分).
若有其他建系方法,仿照上述方案给分.
方法2:如图,过作的平行线,因为,所以,
过作,垂足为,10分
因为,
所以平面,因为平面,所以,.12分
所以平面与平面的夹角即为,
易知,所以,.14分
所以,平面与平面夹角的余弦值为.15分
作出平行线,垂足(1分),
证明,证明过程酌情给分;
写明即为所求夹角(1分),求出,结论(1分).
17.(15分)已知动圆与圆内切,且与圆外切,记圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)设点在上,且以为直径的圆经过坐标原点,求圆面积的最小值.
【解析】解:(1)设圆的半径为,则由题意可知,且,2分所以,所以圆心的轨迹为椭圆,.3分易知椭圆的长轴长为,焦距为,所以,所以,·5分所以的方程为.6分设圆半径表达由椭圆定义证明轨迹为椭圆(1分)计算出有计算错误酌情给分写出的方程(1分).(2)方法一:设,由可知,,当直线的斜率不存在时,设直线,则,由可得,,所以,解得,此时,圆的面积为.-8分当直线的斜率存在时,设直线,由可得,,所以,10分所以,所以,即,12分代入,所以.14分当且仅当时,取得最小值,所以圆面积的最小值为.·15分考虑直线的斜率不存在的情况,并计算圆的面积(2分)联立直线与椭圆,设点写
出韦达关系(2分)由垂直关系,得到的关系式(2分)写出的表达式
(1分),求出最小值(1分),结论(1分)
方法二:因为以为直径的圆经过坐标原点,所以,.7分
①当直线,中有一条斜率不存在时,则另一条斜率为0,
易知,所以圆的半径为,所以圆的面积为.·8分
②若直线,的斜率均存在,
设直线,直线,
所以由可得,
同理可得,10分
所以,
·12分
所以,·14分
当且仅当时,取得最小值,
所以此时,圆面积的最小值为,
因为,所以圆面积的最小值为.·15分
考虑直线或者斜率不存在的情况,并计算圆的面积(2分)
若计算错误,写出了与的垂直关系,给1分.
联立直线与椭圆,得到与的关系(2分)
写出的表达式(2分),求出最小值(2分),结论(1分)
方法三:设,·7分
因为,所以,-8分
所以
,10分
因为,所以,
整理得,,·11分
由基本不等式,得,
所以,13分
设,则,即,解得,·14分
所以,
所以圆面积的最小值为.·15分
由参数方程分别写出的坐标(1分)
由与的垂直关系,得到两参数关系(1分)
写出的表达式(2分),求出最小值(4分)计算过程酌情给分,结论(1分)
方法4:设,
因为,所以可设,且,·8分
因为点在上,所以,
所以,
同理可得,,所以,10分
所以,12分
所以
,·14分
当且仅当,或时等号成立,
所以圆面积的最小值为..15分
写出的坐标(2分)
分别写出与的表达式(2分),得到
求出的最值(2分),结论(1分).
18.(17分)设函数.
(1)当时,求的单调区间；
(2)若单调递增,求的取值范围;
(3)当时,设为的极小值点,证明:.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为;
(3)证明见解析.
【解析】解:(1)当时,,·1分
当时,单调递减,
当时,单调递增,-3分
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.4分
求导正确(1分),单调性(2分),可根据具体书写形式酌情给分,结论(1分).
(2),
设,·5分
当时,单调递减,当时,,单调递增,当时,取得极小值,(i)所以当时,,所以单调递增,符合题意;6分(ii)当时,,又存在两个零点,即存在区间使得所以不恒成立,不合题意;分(iii)当时,若,因为的零点为,
且
则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同,
所以,解得,
此时,当时;
当时,则9分
所以综上的取值范围为·10分
求导(1分)
情形(i)(1分),情形(ii)(1分)情形(iii)(2分)求出(1分),说理过程酌情给分,结论(1分).
(3)当时,,,设为的零点,则,因为,所以,·11分
所以当时,,所以单调递增,
当时,,所以单调递减,
当时,,所以单调递增,13分
所以,且,即,·14分
所以,
设,则单调递增,
所以分所以.·17分
判断,讨论单调性(2分),说理过程酌情给分;
判断,写出的表达式(1分),求导判断单调性(1分),结论(1分).
19.(17分)若数列满足数列是等差数列,则称为“绝对等差数列”,的公差称为的“绝对公差”.
(1)若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2,且,求的值；
(2)已知“绝对等差数列”满足,,且的“绝对公差”为1,记为的前项和,
(i)若,求;
(ii)证明:对任意给定的正整数,总存在满足.
(2)(i);(2)见解析.
【解析】(1)设,则,
因为,2分
若与均为负数,则,解得,不合题意;
若与一正一负,则或-2,不合题意;
所以,-4分
所以,解得,故.·5分
拆解成,有设参过程正确理解题意给1分,
与正负讨论(2分),直接判断为正可扣1分,结论(1分).
(2)(i),·6分
因为.7分
所以.-8分
求得,结论
若有其他求解方法,酌情给分.
(ii)依题意,,记,其中,
①若为奇数,令,由(i)可知,,9分
因为,
所以,符合题意;
所以对任意给定的奇数,存在满足的使得.10分
为奇数情形(2分),其中
②若为偶数,因为,
.......
,
累加得分
由(i)知,令可得,.
若,则,符合题意,故下面只讨论的情况.·12分
写出,讨论的情况满足题意(1分)
易知,·13分
当为大于1的奇数时,,设此时的,即,
构造新数列,其中,
其余各项均不变即,所以,
记调整为后该数列的前项和为,
则·15分
写出(1分),构造新数列,得到的表达式(2分)有调整相邻两项的思路给1分,其他表达书写过程酌情给分.
令,解得,·16分
则对任意给定的偶数,当,或时,其中为不超过的最大整数,即存在满足,所以综上所述,对任意给定的正整数,总存在一个满足·17分
依题意,解得的范围(1分),说明存在满足题意的和结论(1分)
(3)参数方法二:依题意,设,其中.因为,所以10分
写出,写出的表达式(1分)
(i)若为奇数.因为,所以当时,,符合题意;·12分
为奇数情形(2分)
(ii)若为偶数.由(2)知,当时,.若,当时,,符合题意,故下面只讨论的情况.·13分
讨论的情况满足题意(1分)
设正整数满足.若将和的值对调,的改变量
所以此时的前项和为.15分
调整相邻两项系数为相反数,求得
有调整相邻两项的思路给1分,其他表达书写过程酌情给分
记为不超过的最大整数.
当取遍时,取遍.
因为,且上述序列中相邻两数之差为8,
所以存在,使得,符合题意..17分
证明存在满足题意的调整方案(1分),结论(1分).厦门市2025届高中毕业班第一次质量检测数学
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合，则
A. B. C. D.
3.已知等轴双曲线的焦点到其渐近线的距离为1，则的焦距为
A. B.2 C. D.4
4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.已知随机变量，若，且，则
A.-1 B. C.0 D.
6.已知，若，则
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点的直线交于两点，交直线于点，若，则与的面积之比为
A. B. C. D.1
8.若函数的图象关于直线对称，则的值域为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知平面向量，则
A.不可能垂直 B.不可能共线
C.不可能为5 D.若，则在方向上的投影向量为
10.药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤.在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物.已知某药物的峰值浓度为，为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
120 110 103 93 82 68 59 47 38
已知根据表中数据可得到经验回归方程，则
A. B.变量与的相关系数
C.当时，残差为-1.5 D.代谢约10小时后才需要补充药物
11.已知定义在上的函数满足，其中表示不超过的最大整数，如.当时，，设为从小到大的第个极小值点，则
A. B.
C.数列是等差数列 D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为_____.
13.已知函数的图象经过两点，若在区间上单调递减，则_____；_____.
14.从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在中，角所对的边分别为，且.
(1)求;
(2)设为边的中点，若，且，求.
16.(15分)在三棱柱中，.
(1)证明:平面平面;
(2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.
17.(15分)已知动圆与圆内切，且与圆外切，记圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)设点在上，且以为直径的圆经过坐标原点，求圆面积的最小值.
18.(17分)设函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)若单调递增，求的取值范围;
(3)当时，设为的极小值点，证明:.
19.(17分)若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”.
(1)若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值；
(2)已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前项和，
(i)若，求;
(ii)证明:对任意给定的正整数，总存在满足.
