2024-2025学年浙江省宁波市高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的部分图象如下图所示，则( )
A. B.
C. D.
4.设，，分别是的三个内角，则( )
A. B.
C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，对任意，，下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
7.若函数与函数的图象有交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中成立的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点成中心对称图形
C. 的图象可以由的图象平移得到
D. 的图象与的图象在区间上有唯一公共点
11.已知函数，如果存在不全为零的实数，，使得为奇函数，那么叫做关于的“类奇函数”下列结论正确的有( )
A. 为“类奇函数”
B. 为“类奇函数”
C. 若为“类奇函数”，则可以是偶函数
D. 若是关于的“类奇函数”，则的图象关于点成中心对称图形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则________．
13.函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________．
14.正数，满足，则使恒成立的实数的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，集合，其中．
若，求的取值范围；
若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
16.本小题分
单位圆与轴正半轴的交点为，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．
如图，当的长为时，求线段与所围成的弓形阴影部分面积；
记，，当，点的横坐标为时，求的值．
17.本小题分
定义在上的奇函数和偶函数满足．
求，的解析式；
若恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求图象的对称轴方程；
若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数
(ⅰ)求的值域；
(ⅱ)若，，求的值．
19.本小题分
已知函数的定义域为，给定集合，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是上的“级优函数”．
请写出一个上的“级优函数”，并说明理由；
已知是上的“级优函数”，
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)当时，，其中，，求，的值．
参考答案
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15.解：因为，所以或，
即；
因为“”是“”的充分条件，
所以，
所以，解得，
即．
16.解：设所对的圆心角为，弧长为，弓形的面积为．
因为，圆的半径为，所以，
，，
．
设，由题知，于是，，
．
即．
17.解：因为 ，，
所以 ．
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
得 ，得 ．
因为，
所以原不等式可以化为，
即，
即，
令，其中，当且仅当时，取“”，
原不等式转化为对任意的，都有恒成立，
设，，
易知为上减函数，
所以的最大值为，
所以．

18.解：因为，令，，解得，，
所以图象的对称轴方程是，；
由题知，，
于是
，
(ⅰ)因为，所以，即的值域是；
(ⅱ)若，即，因为，
所以，所以，，
所以，
即．
19.解：函数是上的“级优函数，
理由如下：因为当时，有，
所以是上的“级优函数”；
(ⅰ)证明：因为是上的“级优函数”，
由定义可得对任意，，当时，有，
所以，
又，所以；
(ⅱ)由(ⅰ)可得，，
以上两式相减可得，
在上式中，以代可得，
再令，可得，
又对任意，，
当时，有，
因为是上的“级优函数”，
所以，又，
所以，即对任意，，
当时，都有，
故是上的“级优函数”，
由上述分析可得，且是上单调递增函数，
当时，，其中，，有，
当时，，此时在上单调递增，满足题意；
当时，则或，解得
当时，，此时无解，
综上所述，，或．
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