2024-2025学年湖南省·百师联盟高二上期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省·百师联盟·高二上期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知正方体的棱长为，，，分别为向量，，的单位向量下列用，，表示的向量中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在等差数列中，为其前项和若，，则( )
A. B. C. D.
5.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为( )
A. B. C. D. ．
6.在数列中，为其前项和若，，则( )
A. B. C. D.
7.给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合，即在空间直角坐标系中，若，，设，则平面的方程为根据以上信息，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.若是函数的极小值点，则的极大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有( )
A.
B. 当时，
C. 当时，是数列中的项
D. 若是数列的项，则的值不可能为
10.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. D. 点到抛物线的焦点的距离为
11.如图，在棱长为的正方体中，，，，则下列说法正确的有( )
A.
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 若，则点到直线的距离为
D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足为正整数，若，则的所有可能取值之和为 ．
13.直线与椭圆交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 ．
14.若曲线的一条切线方程为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上，
求圆的标准方程
若倾斜角为的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在长方体中，，是的中点，是的中点．
求证：平面平面
求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，
当时，判断的单调性
若函数在处取得极小值，求的取值范围．
18.本小题分
已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．
求点的轨迹方程
若直线与点的轨迹交于，两点，与相交于，两点，且，求面积的最大值．
19.本小题分
已知等比数列的各项都是正数，是的前项和，，．
求数列的通项公式及其前项和
若，求的值．
参考答案
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15.解：因为点，，所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为．
设线段的中点为，则，
所以线段的垂直平分线的方程为．
由解得所以圆心，半径，
所以圆的标准方程为．
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为．
因为，所以圆心到直线的距离．
设直线的方程为，则点到直线的距离．
由，解得或，
所以直线的方程为或．

16.证明：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，所以．
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，所以．
因为，所以，
所以平面平面．
解：由知，，，平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，则
即
令，则，，所以．
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为．

17.解：当时，，，
则．
令，解得或
令，解得，所以在上单调递减
令，解得或，所以在，上单调递增．
综上，函数在，上单调递增，在上单调递减．
，，
求导得．
当时，恒成立，
令，解得，所以在上单调递减，
令，解得，所以在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，符合题意．
当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，符合题意．
当时，令，解得，此时，恒成立且不恒为，
函数单调递增，故函数无极值，不符合题意．
当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，不符合题意．
综上，的取值范围是

18.解：圆的圆心为，半径为．
因为是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交半径于点，
所以，
所以，
因此点的轨迹是以，为焦点的椭圆．
其中，，，
所以点的轨迹方程为．
如图，设线段的中点为，则
在圆中，，由，得，所以．
在中，，则的面积．
当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，代入方程，
解得，
所以，．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
由题意，得
由消去，整理得，
由，得．
由一元二次方程根与系数的关系，得，．
由圆心到直线的距离为，得，所以，
满足，所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
此时．
综上，面积的最大值为．

19.解：设等比数列的公比为，则．
由，，得，即，解得或舍去
所以，．
由知，，所以．
因为，
所以当时，，
所以
当时，，
当时，，
当时，，，
当时，，所以
当时，由，，得当时，，，，，，构成以为首项，为公差，项数为的等差数列．
因为，所以当时，，．
当时，，．
当时，，，，构成了
组等差数列，且这组等差数列的首项分别为，，，，公差分别为，，，，项数分别为，
，，．
设每组等差数列的所有项的和为，，，，，
则．
所以，
设，则，
两式相减，得，
所以，
所以．
当，时，均满足上式，所以．

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