2024-2025学年重庆市秀山高级中学高二（上）适应性数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市秀山高级中学高二（上）适应性数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差( )
A. B. C. D.
2.已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
3.已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知，直线：的方向向量与直线：的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.某学习小组研究一种卫星接收天线如图所示，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处如图所示已知接收天线的口径直径为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( )
A. B. C. D.
7.直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，且，记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列是首项为，公比为的等比数列，则( )
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.下列说法正确的是( )
A. 若向量共面，则它们所在的直线共面
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则，，，四点共面
D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11.已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于，两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是( )
A. 线段的最小值为
B. 的内切圆与直线相切于点
C. 当时，双曲线的离心率为
D. 当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为______．
13.在等比数列中，，，则 ______．
14.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三点，，，记的外接圆为．
求的方程；
若直线：与交于，两点，求的面积．
16.本小题分
已知圆：经过点，离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ直线与椭圆交于点异于顶点与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程．
17.本小题分
已知数列的首项，设为数列的前项和，且有．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，已知椭圆：的两个焦点为，，且，为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为，和，．
求双曲线的标准方程；
证明：直线，的斜率之积为定值；
求的取值范围．
参考答案
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15.解：设的方程为，
由题意可得，解得，
所以的方程为；
由可得圆心，半径，
所以圆心到直线：的距离为，
且，
因此的面积为．
16.解：由题意可得，
所以，
所以椭圆方程为；
由题意可得直线的斜率存在，如图，
故设直线的方程为，，，
联立，
所以，
由根与系数的关系可得，
所以，，
故，
所以，
所以，
所以，解得，
故直线的方程为．
17.解：，可得，
上面两式相减可得，
化为，
即，
则，
对也成立，故，；
，
数列的前项和，
，
上面两式相减可得
，
化简可得．
18.Ⅰ证明：取中点，连接，，
由于，分别为，的中点，
故E，且，
又因为，，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以 平面分
Ⅱ解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，
可得，，，．
由为棱的中点，得．
向量，设为平面的法向量，
则即
可得为平面的一个法向量，
且
于是有，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ解：向量，，，．
由点在棱上，设，若，则
故．
由，得，
因此，解得，若，则
即设为平面的法向量，
则，即，
可得为平面的一个法向量．
取平面的法向量，
则，
二面角是锐角，所以其余弦值为．
19.解：由椭圆：的方程可得两个焦点，的坐标分别为，，
题意可得双曲线的顶点坐标为，
设双曲线的方程为：，则，
又离心率，，，
所以双曲线的标准方程为：；
证明：设，则，
由题意，
即证得直线，的斜率之积为定值；
由可得积为定值，可得直线，的斜率存在且不为，
设直线方程为，设，，
联立，整理可得：，
因为在椭圆内部，所以，，，
所以，
因为两条直线的斜率之积为，则斜率的倒数之积也为，同理可得，
所以求，
因为是不为的实数，所以，
因为渐近线方程的斜率为，直线与双曲线有两个交点，则直线，的斜率不等于，则，
所以，，
可得的取值范围为，
所以的取值范围为：．
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