(共20张PPT)
7．1.3 两条直线被第三条直线所截
知识点1：认识同位角、内错角、同旁内角
1．(柳州期中)如图，下列各角与∠1是同位角的是( )
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
D
2．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
C
3．【传统文化】风筝是由中国古代劳动人民发明的，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸鸢骨架中，与∠3构成同旁内角的是( )
A．∠1
B．∠2
C．∠4
D．∠5
C
4．(1)如图①，∠1和∠2是直线 和 被直线 所截形成的 角；
(2)如图②，∠3的内错角是 ，∠4的内错角是 ，∠1的内错角是 ；
(3)如图③，与∠B是同旁内角的角有 个，分别是 .
AB
BC
AC
同位
∠5
∠6
∠9
3
∠C，∠BAC，∠BAE
知识点2：三线八角之间的关系
5．如图，若∠1＝∠2，则在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中，相等的有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
6．如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，∠CHG＝∠DHG＝∠AGE.
(1)CD与EF有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)求∠CHG的同位角、内错角、同旁内角的度数．
解：(1)CD⊥EF，
理由：因为CD是直线，
所以∠CHG＋∠DHG＝180°，因为∠CHG＝∠DHG，
所以∠CHG＝∠DHG＝90°，所以CD⊥EF.
(2)因为∠CHG＝∠DHG＝ ∠AGE＝90°，
所以∠AGE＝120°，
所以∠CHG的同位角∠AGE＝120°，
∠CHG的内错角∠BGH＝∠AGE＝120°，
∠CHG的同旁内角∠AGH＝180°－∠AGE＝60°.
易错点：忽视截线导致找错同位角
7．如图，∠1和∠2是同位角的是( )
A
8．【真实情境】数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．从左至右依次表示( )
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
D
9．在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角、同旁内角．在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是( )
C
10．如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系中不正确的是( )
A．∠1与∠4是同位角
B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角
D．∠2与∠4是同旁内角
D
11．如图，∠1和∠B是直线 和直线 被直线 所截得到的
角；∠2和∠4是直线 和直线 被直线 所截得到的 0角；∠D和∠4是直线 和直线 被直线 所截得到的 角．
AD
BC
AB
同位
AB
CD
AC
同位
AC
AD
CD
同旁内
12．两条直线都与第三条直线相交，∠1与∠2是内错角，∠3和∠1是同旁内角．
(1)根据上述条件，画出符合题意的图形；
(2)若∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解：(1)如图所示(答案不唯一)．
(2)由∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，
设∠1＝x°，∠2＝2x°，∠3＝3x°.
由∠2与∠3是邻补角，得
∠2＋∠3＝2x°＋3x°＝180°，
解得x°＝36°，2x°＝72°，3x°＝108°.
所以∠1＝36°，∠2＝72°，∠3＝108°.
13．(1)如图①，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对；
4
2
2
(2)如图②，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对；
12
6
6
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有
对．(均用含n的式子表示)
2n(n－1)
n(n－1)
n(n－1)(共18张PPT)
小专题三 相交线与平行线中的思想方法
类型1：方程思想
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，
∠AOD＝4∠EOD，则∠AOF的度数为 .
120°
2．如图，点O在直线AB上，点E，F，G在直线CD上，AB∥CD，连接
OE，OF，OG，其中OE⊥OG，∠OEF＝∠FOG.
(1)求证：OF⊥AB；
(2)当∠FHB∶∠OFH＝6∶2时，请求出∠DFH的度数．
(1)证明：∵OE⊥OG，
∴∠EOG＝90°，∴∠FOG＋∠EOF＝90°，
∵AB∥CD，∴∠OEF＝∠AOE，
∵∠OEF＝∠FOG，
∴∠OEF＝∠FOG＝∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＋∠EOF
＝∠FOG＋∠EOF
＝90°，
∴OF⊥AB.
(2)解：∵∠FHB∶∠OFH＝6∶2，
∴设∠FHB＝6x，∠OFH＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠CFH＝∠FHB＝6x，
∠CFO＋∠AOF＝180°，
∵∠AOF＝90°，∴∠CFO＝90°，
∴∠CFH＝∠CFO＋∠OFH＝90°＋2x，
∴90°＋2x＝6x，解得x＝22.5°，
∴∠DFH＝180°－∠CFH＝180°－6x＝45°.
类型2：分类讨论思想
3．已知∠ABC＝60°，D为射线BC上的一点，过点D作DE∥AB，M是同一平面内一点，若∠EDM＝30°，则∠BDM的度数是 .
90°或150°
4．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°.将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，
∠AOM的度数是 .
135°或45°
5．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD.
(1)若∠BOE∶∠EOC＝1∶4，求∠AOC的度数；
(2)在(1)的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
解：(1)∵OB平分∠EOD.
∴∠BOD＝∠BOE
＝∠DOE.
∵∠BOE∶∠EOC＝1∶4，
∴∠EOC＝4∠BOE＝4∠BOD.
∵∠EOC＋∠DOE＝180°，
∴4∠BOD＋2∠BOD＝180°，解得∠BOD＝30°.
∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
(2)作OF⊥CD，
①当OF在直线AB下方时，∠EOF＝30°；
②当OF′在直线AB上方时，∠EOF′＝150°.
综上所述，∠EOF的度数为30°或150°.
类型3：利用平移进行转化求图形的周长或面积(转化思想)
6．木匠有32 m长的木材，想要在花圃周围做边界，以下四种设计方案中，设计不合理的是( )
A
7．如图，在长方形ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，E，F分别为AD，BC的中点，分别以C，F为圆心，2 cm 为半径画圆，把长方形分成三个部分，则图中两个阴影部分的面积和为( )
A．2 cm2
B．4 cm2
C．6 cm2
D．无法确定
B
8．如图，直角三角形AOB的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为 .
100
类型4：从特殊到一般的类比思想
9．如图①，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有 对；如图②，四条直线两两相交，任意三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有 对．
6
24
10．如图，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的平分线相交于点F.
(1)如图①，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
(2)如图②，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图②，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，直接用含有n，m的式子表示∠M.
解：(1)过点E向左作EG∥AB，过点F向右作FH∥AB.
∵AB∥CD.∴EG∥AB∥FH∥CD.
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＋∠BEG＝180°，
∠GED＋∠CDE＝180°.
∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°.
∵∠BEG＋∠DEG＝∠BED＝80°.
∴∠ABE＋∠CDE＝280°.
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABF＋∠CDF＝(∠ABE＋∠CDE)＝140°，
∴∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝∠ABF＋∠CDF＝140°.
(2)6∠M＋∠E＝360°.
证明：∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF.
∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM.
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM.
由(1)知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°，
∴6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°.
过点M向右作MN∥AB，
易得∠BMD＝∠ABM＋∠CDM，
∴6∠BMD＋∠E＝360°.
(3)由(2)可得2n∠ABM＋2n∠CDM＋∠E＝360°，
∠M＝∠ABM＋∠CDM，
∴∠M＝.(共11张PPT)
小专题一 平行线基本模型(一)“M”型图和“铅笔”型图
模型一：“M”型
条件：AB∥CD.
方法：过点P向左作PQ∥AB，
结论：∠APC＝∠BAP＋∠PCD.
模型二：“铅笔”型
条件：AB∥CD.
方法：过点P向左作PQ∥AB，
结论：∠ABP＋∠BPD＋∠PDC＝360°.
类型1：用基本图
1．(济宁中考)如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E.若∠BGE＝60°，则
∠EFD的度数是 .
30°
2．山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行(AM∥BD∥
CN)，且每两个支撑架之间的索道均是直的．若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，则∠ABC的度数为 .
100°
3．如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺ABC按如图所示的位置放置，顶点A在直线a上，∠BAC＝90°，∠B＝60°，若∠1＝24°，求∠2的度数．
解：过点B作直线c∥a.
∵a∥b，
∴a∥b∥c.
∴∠1＝∠4＝24°，∠2＋∠3＝180°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠3＋∠4＝60°，
∴∠3＝60°－∠4＝36°，
∴∠2＝180°－∠3＝144°.
类型2：构基本图
4．如图，AB∥CD，此时∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间有什么关系？请说明理由．
解：∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D，
理由：过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∴∠E＝∠B＋∠EFH，∠G＝∠GFH＋∠D，
∴∠E＋∠G＝∠B＋∠EFH＋∠GFH＋∠D
＝∠B＋∠EFG＋∠D.
5．如图，AB∥CD.求∠EAB＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数．
解：分别过点E，F向右作EM∥AB，FN∥AB.
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD.
∴∠EAB＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD
＝180°×3
＝540°.(共22张PPT)
7．4 平 移
知识点1：认识平移现象
1．下列现象中属于平移的是( )
A．火箭从点火开始垂直上升
B．小朋友荡秋千
C．凌云塔倒映在洞庭湖湖面上
D．五星红旗迎风飘扬
A
2．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，2011年中国皮影戏入选人类非物质文化遗产代表作名录，平移如图所示的孙悟空皮影造型，能得到下列图中的( )
D
知识点2：平移的性质
3．如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．30° B．60°
C．100° D．120°
B
4．(南充中考)如图，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是( )
A．2
B．2.5
C．3
D．5
A
5．如图，将三角形ABC平移得到三角形DEF，下列结论中不一定成立的是( )
A．BE∥CF
B．AD＝CF
C．BE＝EF
D．S三角形ABC＝S三角形DEF
C
6．如图，∠ACB＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC的方向平移10 cm，得到三角形A′B′C′，已知BC＝5 cm，AC＝8 cm，则阴影部分的面积为
cm2.
60
7．如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移2 cm 到三角形DEF的位置．
(1)找出图中所有平行线；
(2)找出图中与AD相等的线段，并写出其长度；
(3)若∠ABC＝65°，求∠BCF的度数．
解：(1)AE∥CF，
AC∥DF，BC∥EF.
(2)AD＝CF＝BE＝2 cm.
(3)∵AE∥CF，
∠ABC＝65°，
∴∠BCF＝∠ABC＝65°.
知识点3：平移作图
8．如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是( )
C
9．如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′.
(1)画出平移后的三角形A′B′C′；
(2)写出AA′和BB′的位置关系和数量关系．
解：(1)如图所示．
(2)平行且相等．
10．如图，将要给甲、乙、丙三户接电表，若使每相邻两户的电线等距排列，则三户所用的电线( )
A．甲户最长
B．乙户最长
C．丙户最长
D．一样长
D
11．如图，现将四边形ABCD沿AE方向平移，得到四边形EFGH，则图中与CG平行的线段有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
D
12．如图，AB＝4，BC＝5，AC＝2，将三角形ABC沿BC方向平移a(0＜a＜5)，得到三角形DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 .
11
13．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点A，B，C在网格线的格点上，将三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到三角形A1B1C1.在网格中画出三角形
A1B1C1.三角形A1B1C1的面积为 .
解：三角形A1B1C1如图所示．
14．如图，已知东西长32 m，南北宽20 m的长方形院子，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要种上蔬菜，若每条道路的宽均为1 m，求蔬菜的总种植面积．
解：蔬菜的总种植面积为
(20－2×1)(32－1)＝558( m2)．
答：蔬菜的总种植面积为558 m2.
微专题1：利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型
【模型展示】
周长＝2(a＋b) S空白＝(a－x)(b－x)
【针对训练】
1．如图，在一块长为m m、宽为n m的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是1 m，其他部分都是草地，则草地的面积为 m2.
(mn－n)
2．(绥阳期中)如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为1 m．则绿化的面积为 m2.
375(共10张PPT)
7．2.2 平行线的判定
第1课时 平行线的判定
知识点1：同位角相等，两直线平行
1．(教材P15T3变式)如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是( )
A．∠2＝90° B．∠3＝ 90°
C．∠4＝90° D．∠5＝90°
C
2．如图，若∠1＝∠2，则 ∥ ；若∠2＝∠3，则 ∥ .
AB
DE
BC
EF
知识点2：内错角相等，两直线平行
3．如图，已知∠1＝∠2，则有( )
A．AB∥CD
B．AE∥DF
C．AB∥CD且AE∥DF
D．以上都不对
B
4．如图，若∠1＝ ，则AD∥BC；若∠3＝ ，则AB∥CD.
∠2
∠4
知识点3：同旁内角互补，两直线平行
5．如图，若∠1＝100°，∠4＝80°，则 ∥ ，理由是 0
；若∠3＝70°，则当∠2＝ 时，可推出AB∥CD.
AB
CD
同旁内角互
补，两直线平行
110°
6．如图，下列能判定AB∥CD的条件有( )
①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
D
7．(教材P32数学活动变式)如图所示的四种沿AB折叠纸带的方法：(Ⅰ)如图①，展开后测得∠1＝∠2；(Ⅱ)如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；(Ⅲ)如图③，测得∠1＝∠2；(Ⅳ)如图④，展开后测得∠1＋∠2＝
180°.其中能判断纸带两条边a，b互相平行的 (选填序号)．
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅳ)
8．【整体思想】如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2＝
90°.试说明AB∥CD.
解：∵BE平分∠ABD，
DE平分∠BDC(已知)，
∴∠ABD＝2∠1，
∠BDC＝2∠2(角平分线的定义)．
∵∠1＋∠2＝90°(已知)，
∴∠ABD＋∠BDC＝2(∠1＋∠2)＝180°(等式的性质)．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．(共21张PPT)
7．2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
知识点1：两直线平行，同位角相等
1．(重庆中考)如图，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数是( )
A．105°
B．115°
C．125°
D．135°
B
2．如图，若AB∥CD，EF⊥CD，∠2＝36°，则∠1＝ .
54°
3．如图，已知a，b，c，d四条直线，其中a∥b，c∥d.若∠1＝110°，求∠2的度数．
解：∵a∥b，c∥d，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠3.
∴∠4＝∠1＝110°.
∴∠2＝∠4＝110°.
知识点2：两直线平行，内错角相等
4．(随州中考)如图，直线l1∥l2，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上．若∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
B
5．(岳阳中考)如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是 .
25°
知识点3：两直线平行，同旁内角互补
6．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，则∠D的度数为( )
A．120°
B．135°
C．145°
D．155°
B
7．如图，AB∥CD，BC∥EF.若∠1＝58°，则∠2的度数为( )
A．120°
B．122°
C．132°
D．148°
B
知识点4：平行线性质的应用
8．一杆古秤在称物时的状态如图，此时AB∥CD，∠1＝75°，则∠2的度数为 .
105°
9．【跨学科】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面与杯底互相平行，∠1＝45°，∠2＝
120°，则∠3＋∠4＝ .
105°
易错点：误用平行线的性质致错
10．已知∠1与∠2是同旁内角，若∠1＝60°，则∠2的度数是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不能确定
D
11．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上．若∠1＝
2∠2，则∠1的度数为( )
A．120°
B．80°
C．60°
D．40°
B
12．如图，直线l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为( )
A．36°
B．46°
C．72°
D．82°
A
13．(乌当区期末)如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝
130°，则∠BCD的度数是 .
20°
14．(台州中考)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 .
140°
15．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠EFB＝
∠B，HF⊥FB.
(1)若∠B＝20°，求∠DFH的度数；
解：∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠B＝20°.
∵HF⊥FB，
∴∠BFH＝90°.
∴∠DFH＝∠BFH－∠BFD＝70°.
(2)试说明FH平分∠GFD.
解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，
∵∠EFB＝∠B，∴∠EFB＝∠BFD.
∵∠BFH＝90°，∴∠BFD＋∠DFH＝90°，
∠GFH＋∠EFB＝90°.
∴∠DFH＝∠GFH，即FH平分∠GFD.
16．(1)【问题背景】如图①，已知AB∥CD，写出∠AEG，∠CFG与
∠EGF之间的数量关系，并说明理由；
解：∠AEG＋∠CFG＝∠EGF.
理由：过点G作GH∥AB.
∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD.
∴∠AEG＝∠HGE，∠CFG＝∠FGH.
∴∠AEG＋∠CFG＝∠HGE＋∠FGH＝∠EGF.
(2)【知识迁移】如图②，∠1＝60°，m∥n，则∠2－∠3＝ ；
【解析】作PQ∥m，由(1)得∠2＝∠4＋∠5，易解．
120°
(3)【方法应用】如图③，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∠A＝110°，∠B＝150°，则∠C的度数是 .
140°
【解析】延长DC至点N.∵AE∥CD，
∴∠EAB＋∠NCB＝∠ABC，∴∠NCB＝40°，
∴∠BCD＝180°－∠NCB＝140°.(共9张PPT)
7．2 平行线
7．2.1 平行线的概念
知识点1：平行线的概念
1．在同一平面内的两条不重合的直线的位置关系为 ．
2．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，写出其对应的位置关系：
(1)a与b没有公共点，则a与b ；
(2)a与b有且只有一个公共点，则 a与b ；
(3)a与b有无数个公共点，则a与b ．
平行或相交
平行
相交
重合
知识点2：平行线的画法
3．如图，直线MN，PQ交于点O，R为MN，PQ外一点，过点R画直线AB∥PQ，直线CD∥MN.
解：如图所示．
知识点3：平行线的基本事实及推论
4．下列推理中正确的是( )
A．因为a∥b，b∥c，所以c∥d
B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c
D．因为a∥b，c∥d，所以a∥c
C
易错点：对平行公理理解不透彻
5．如图，在同一平面内，经过一点作已知直线m的平行线，可作平行线的条数为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．无数条
C
6．下列说法中错误的是( )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
D．在同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，则它与另一条也相交
A
7．观察如图所示的长方体，回答下列问题：
(1)用符号表示两棱的位置关系：
A1B1 AB，AA1 AB，
A1D1 C1D1，AD BC；
(2)AB与B1C1所在的直线不相交，它们 平行线(选填“是”或“不是”)．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线．
∥
⊥
⊥
∥
不是
同一平面
8．【操作实践】如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDFE无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？
解：因为CD∥EF，
AB∥EF，
所以CD∥AB.(共12张PPT)
小专题二 平行线基本模型(二)“钩型”图
模型一：“三角旗”型
条件：D，A，B三点共线．
方法：过点C向右作CP∥AB.
结论：∠ACB＝∠CAD－∠CBD.
模型二：“外钩”型
条件：AB∥CD.
方法：过点P向右作PQ∥AB.
结论：∠BPD＝∠PBA－∠PDC.
模型三：“内钩”型
条件：AB∥CD.
方法：过点P向右作PQ∥AB.
结论：∠BPD＝∠PDC－∠PBA.
1．如图，已知AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝35°，则∠C＝ .
55°
2．如图，已知AE∥BD，AC，BD相交于点F，若∠1＝3∠2，∠2＝25°，则∠C＝ .
50°
3．如图，AB∥CD，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC的度数为
.
40°
4．如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向，拐到点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设．若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为
.
80°
5．在如图所示的螳螂示意图中，AB∥DE，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，求∠BCD的度数．
解：延长ED交BC于点F，
∵AB∥DE，∴EF∥AB，
∴∠CFE＝∠CBG＝180°－∠ABC＝56°，
∴∠CDF＝180°－∠CDE＝108°，
又∵∠CDF＋∠CFD＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝16°.
6．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝36°，∠A＝72°，∠DEF＝∠CEF，判断AB与DE是否平行，并说明理由．
解：AB∥DE，
理由：∵BD∥EF，
∴∠CEF＝∠ACD
＝180°－∠ACB，
又∵∠A＝72°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝72°，∴∠CEF＝108°，
∴∠D＝∠DEF＝∠CEF＝36°＝∠B，
∴AB∥DE.(共21张PPT)
7．1.2 两条直线垂直
知识点1：垂线的定义
1．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，则图中∠AOC与∠BOE的关系是( )
A．互为补角 B．互为余角
C．对顶角 D．不确定
B
2．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O.若∠1＝145°，则∠3的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
C
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE 和∠COF的度数．
解：因为∠DOF＝65°，
所以∠COF＝180°－∠DOF
＝115°.
因为OE⊥CD，OF⊥AB，
所以∠BOE＋∠BOD＝90°，∠DOF＋∠BOD＝90°，
所以∠BOE＝∠DOF＝65°.
知识点2：垂线的画法
4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )
D
5．按要求画垂线：
(1)如图①，过点P分别画OA，OB的垂线；
(2)如图②，过点A画BC的垂线．
解：(1)(2)如图所示．
知识点3：垂线的性质
6．在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q与l垂直的直线．这样的直线能折出 条，依据是 0
．
1
在同一平面内，过一点有
且只有一条直线与已知直线垂直
知识点4：垂线段的性质
7．(广州中考)如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，
PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是 cm.
5
易错点：考虑问题不全而出错
8．已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，若∠AOE＝
55°，则∠BOD的度数为 .
145°或35°
9．如图，直线BC与直线DE相交于点O，OA⊥BC，垂足为O，∠COD∶∠AOD＝2∶7，则∠AOE度数为( )
A．140°
B．130°
C．120°
D．110°
D
10．(钦州期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α－90°；②∠EOB＝180°－α；③∠AOF＝360°－2α，其中正确的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
D
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段
AB上运动，则线段CD长度的最小值为 .
4.8
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝∠2，试说明ON⊥CD；
(2)若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度数．
解：(1)因为OM⊥AB，
所以∠AOM＝∠BOM＝90°，
所以∠1＋∠AOC＝90°，
因为∠1＝∠2，
所以∠2＋∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，所以ON⊥CD.
(2)因为∠1＝ ∠BOC，
所以∠BOM＝2∠1＝90°，解得∠1＝45°，
所以∠BOD＝∠AOC＝90°－∠1＝45°.
13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOD.
(1)若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
(2)若∠AOC ∶∠COE＝2∶3，求∠DOF的度数．
解：(1)因为∠BOD＝40°，
所以∠AOD＝180°－
∠BOD＝140°.
因为OF平分∠AOD，
所以∠DOF＝∠AOD＝70°.
所以∠COF＝180°－∠DOF＝110°.
(2)因为∠AOC ∶∠COE＝2∶3，
所以设∠AOC＝x°，则∠COE＝x°.
因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°.
因为∠AOE＝∠AOC＋∠COE，
所以x＋x＝90，解得x＝36，所以∠AOC＝36°.
又因为∠AOD＋∠AOC＝180°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝144°，
所以∠DOF＝∠AOD＝72°.
14．【跨学科融合】光的反射定律为：入射光线、反射光线
和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线
和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角(入
射角)等于反射光线与法线的夹角(反射角)．某兴趣小组想让
太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜CD以改变光的路线，当太阳光线EF与水平线AB的夹角∠AFE＝30°时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底(即FG⊥AB)，则调整后平面镜CD与水平线AB的夹角∠AFC为( )
A．30° B．60° C．70° D．80°
B(共21张PPT)
第2课时 平行线的判定和性质的综合运用
知识点：平行线的判定和性质的综合运用
1．(金华中考)如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是( )
A．120°
B．125°
C．130°
D．135°
C
2．如图，E为BC上一点，AB∥DE，∠1＝∠2，则AE与DC的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
B
3．如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论中一定正确的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
D
4．如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝
.
72°
5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝60°.当∠D＝ 时，
AD∥BC.
60°
6．如图，AB∥CD，∠ABC＝∠CDE.若∠CBD＝70°，试求∠BDE的度数．请补充求解过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠C.
∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠ ＝∠ .
∴BC∥DE( )．
∴∠CBD＋∠ ＝180°( )．
又∵∠CBD＝70°，
∴∠BDE＝ .
C
CDE
内错角相等，两直线平行
BDE
两直线平行，同旁内角互补
110°
7．请填空，完成下面的推理．
如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1＋∠2＝180°，试说明
∠CGD＝∠CAB.
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADC＝∠EFC＝90°( )，
∴AD∥EF( )，
∴∠3＋∠2＝ ( )，
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝ ( )，
∴DG∥AB( )，
∴∠CGD＝∠CAB( )．
垂直定义
同位角相等，两直线平行
180°
两直线平行，同旁内角互补
∠3
同角的补角相等
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
8．如图，已知四边形ABCD，点E在BC的延长线上，连接AE， AD∥BC，∠B＝∠D，试说明 AB∥CD.
解：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCE，∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD.
9．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝
50°，GM平分∠FGB交直线CD于点M，则∠3的度数为( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．130°
B
10．(桐梓县期末)【生活情境】某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车放在水平地面的实物示意图．其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，当∠MAC为 时，AM与CB平行．
66°
11．如图，已知∠B＝∠BCD，∠BAC＝90°，∠B＋∠D＝180°，
∠ACB∶∠ACD＝1∶2，则∠BAD＝ .
112.5°
12．(兴宁区期中)如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，试说明∠B＋∠CDE＝180°.
解：∵∠1＝∠2，且∠1＝∠BFH，
∴∠BFD＝∠2，∴BC∥DE，
∴∠C＋∠CDE＝180°，
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＋∠CDE＝180°.
13．如图，已知CF∥AB，∠1＋∠B＝180°.
(1)尝试判断EF与BC平行吗？请说明理由；
(2)若CF平分∠BCD，CF⊥AD于点F，∠BCD＝54°，求∠DFE的度数．
解：(1)EF∥BC，
理由：∵CF∥AB，
∴∠B＋∠FCB＝180°，∵∠1＋∠B＝180°，
∴∠1＝∠FCB，∴EF∥BC.
(2)∵CF⊥AD，∴∠CFD＝90°，
∵CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，
∴∠DCF＝∠FCB＝27°，
由(1)可得∠1＝∠FCB＝27°，
∴∠DFE＝∠CFD－∠1＝63°.
14．如图，在三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，∠3＋∠2＝180°，∠1＝∠B.
(1)试说明DE∥BC；
(2)若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．
解：(1)∵∠DFE＋∠2＝
180°，∠3＋∠2＝180°，
∴∠DFE＝∠3，
∴BD∥EF，
∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC.
(2)由(1)知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，
∴∠2＝∠ADC，∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，
∵∠3＋∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，
∴3∠B＋2∠B＝180°，解得∠B＝36°，
∴∠ADC＝72°，∴∠2＝72°.(共22张PPT)
7．3 定义、命题、定理
知识点1：命题的定义与结构
1．下列语句中是命题的是( )
A．延长线段AB到C
B．用量角器画∠AOB＝90°
C．两点之间，线段最短
D．任何数的平方都不小于0吗
C
2．把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果……那么……”的形式：
．
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
3．指出下列命题的题设和结论：
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；
(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
(3)同一个角的补角相等．
解：(1)题设：a∥b，b∥c；结论：a∥c.
(2)题设：两个角相等；结论：这两个角是对顶角．
(3)题设：两个角是同一个角的补角；结论：它们相等．
知识点2：真命题与假命题
4．(广西中考)下列命题中，假命题是( )
A．－2的绝对值是－2
B．对顶角相等
C．如果a，b都是正数，那么ab＞0
D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b
A
5．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
(1)钝角大于它的补角；
(2)相等的角是内错角．
解：(1)如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角．是真命题．
(2)如果两个角相等，那么这两个角是内错角．是假命题．
知识点3：定理与证明
6．下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短．其中可作为定理的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
7．下列说法中错误的是( )
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．有一些真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理
C
8．(宜昌中考)能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( )
C
9．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
已知：如图， .
求证： .
AB⊥EF，垂足为B，CD⊥EF，垂足为D
AB∥CD
证明：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABD＝∠CDF＝90°，
∴AB∥CD.
易错点：对命题的“否定”的真假性不会判断
10．下列命题中，真命题有( )
①任何数的平方都是正数；②若一个数的绝对值是2，则这个数是－2；③两点之间，线段最短；④如果两条直线都不平行于第三条直线，那么这两条直线也不平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
11．关于命题：若|a|>|b|，则a>b.下列说法正确的是( )
A．它是真命题
B．它是假命题，反例a＝3，b＝－4
C．它是假命题，反例a＝4，b＝3
D．它是假命题，反例a＝－4，b＝3
D
12．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．
(1)“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．反例： ；
(2)“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是一个假命题．反例： .
a＝1，b＝－1，c＝0
a＝1，b＝－1
13．对于同一个平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题： ．(用序号写出一个即可)
①②→④(答案不唯一)
14．如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；
②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD.
(1)由上述条件可得哪几个真命题？请按“ → ”的形式一一书写出来；
(2)请根据(1)中的真命题，选择一个进行证明．
解：(1)上述条件可得
3个真命题，分别是：
命题1：①②→③；
命题2：①③→②；
命题3：②③→①.
(2)选择命题2：①③→②.
证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.
∴∠A＝∠B.(答案不唯一)
15．如图，射线AB交折线ACGFEN于点B，D，E.已知∠A＝∠1，∠C＝∠F，BM平分∠CBD，EN平分∠FEH.求证：∠2＝∠3.
证明：∵∠A＝∠1，
∴AC∥FG，
∴∠C＝∠G.
∵∠C＝∠F，
∴∠G＝∠F，
∴CG∥EF，∴∠CBD＝∠FEH.
∵BM平分∠CBD，EN平分∠FEH，
∴∠2＝∠CBD，∠3＝∠FEH，
∴∠2＝∠3.
16．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥EF.
(1)如图①，若∠B＝40°，则∠E＝ ；
(2)如图②，∠B与∠E有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图③，∠B与∠E有怎样的数量关系？请说明理由；
(4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．
40°
解：(2)∠B＝∠E.
理由：∵AB∥DE，∴∠B＋∠BGE＝180°.
∵BC∥EF，∴∠BGE＋∠E＝180°.
∴∠B＝∠E.
(3)∠B＋∠E＝180°.
理由：∵AB∥DE，∴∠B＋∠BGD＝180°.
∵BC∥EF，∴∠E＝∠BGD.
∴∠B＋∠E＝180°.
(4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．(共19张PPT)
复习提升(一) 相交线与平行线
【重难点突破】
重难点1：与相交线有关的概念和性质
1．(乐山中考)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分
∠CEF，GE⊥EF.则∠GEB的度数为( )
A．10° B．20°
C．30° D．40°
B
2．如图，下列结论中正确的是( )
A．∠5与∠2是对顶角
B．∠1与∠3是同位角
C．∠2与∠3是同旁内角
D．∠1与∠2是同旁内角
D
3．(兴宁区期末)如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A，B，C，D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁出口下车回家的路径最短．
B
4．(青秀区期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OC，OF是∠AOE的平分线，∠AOF＝38°，求∠BOD的度数．
解：∵OF是∠AOE的平分线，∠AOF＝38°，
∴∠AOE＝2∠AOF＝76°，∵OE⊥OC，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOC＝∠COE－∠AOE＝14°，
∴∠BOD＝∠AOC＝14°，
即∠BOD的度数为14°.
重难点2：平行线的性质与判定
5．(通辽中考)将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是( )
A．45°
B．35°
C．30°
D．25°
B
6．如图，下列推论中错误的是( )
A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD
B．由AD∥BC，可以推出∠4＝∠8
C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC
D．由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7
B
7．【生活情境】如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠3＝148°，则∠2的度数为( )
A．56°
B．66°
C．68°
D．72°
A
8．(上思县期中)如图，AD∥BC，∠FAD＝∠C，∠B＝60°.
(1)∠C＝ ；
(2)如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
60°
解：(2)AB∥DE，
理由：∵AD∥BC，
∴∠ADC＋∠C＝180°，
∵∠C＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝60°，
∵∠FAD＝∠C＝60°，
∴∠FAD＝∠ADE，∴AB∥DE.
重难点3：定义、命题、定理
9．下列命题中，是真命题的是( )
A．若a>b，则a2>b2
B．a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．内错角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
D
10．要通过“举反例”的方式说明命题“如果5>3，那么5m>3m”是错误的，可以取的m值为 (写出一个即可)．
－2(答案不唯一)
11．如图，已知下列三个条件：①∠1＋∠2＝180°；②∠3＝∠A；③∠B＝∠C.从中选出两个作为题设，另一个作为结论，可以组成三个命题．从中选择一个真命题，写出已知、求证，并证明．
已知： ，求证： 0.(均选填序号)
①②
③
证明：∵∠1＋∠2＝180°，
∴AD∥EF.∴∠3＝∠D.
∵∠3＝∠A，∴∠A＝∠D.
∴AB∥CD.∴∠B＝∠C.
(答案不唯一)
重难点4：平移
12．如图，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，则下列说法中不正确的是( )
A．AD＝CF
B．∠BAC＝∠EDF
C．BC＝EF
D．CE＝CF
D
13．如图是一个边长为4 cm的正方形先向右再向下平移后得到的图形，依据图中所标数据可知：正方形向右平移的距离是 cm，向下平移的距离是 cm，阴影部分的面积是 cm2.
2
1
6
【综合提升】
14．如图①，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为B.
(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝ ；
(2)如图②，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
(3)如图③，在(2)问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝
∠DEB，求∠DEB的度数．
130°
(2)证明：过点B作BF∥DM，
则∠ADB＋∠DBF＝180°.
∵BD⊥AM，∴∠ADB＝90°.
∴∠DBF＝90°，∠ABD＋∠ABF＝90°.
又∵AB⊥BC，
∴∠CBF＋∠ABF＝90°.
∴∠ABD＝∠CBF.
∵AM∥CN，∴BF∥CN，
∴∠C＝∠CBF.∴∠ABD＝∠C.
(3)解：设∠DEB＝x°，
由(2)可得∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠DEB，∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°.
过点B作BF∥DM，
∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC.
∴∠CBE＝∠EBF＋∠FBC＝∠DEB＋∠C＝2x°.
∴∠DBC＝∠ABC＋∠ABD＝90°＋x°.
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC＝2∠CBE＝4x°，
即4x＝90＋x，解得x＝30.
∴∠DEB的度数为30°.(共24张PPT)
第七章 相交线与平行线
7．1 相交线
7．1.1 两条直线相交
知识点1：认识对顶角与邻补角
1．下列图中，∠1和∠2是对顶角的有( )
C
2．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
C
3．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOD的对顶角为 ，∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的对顶角为 .
∠BOC
∠BOD
∠AOF
知识点2：对顶角与邻补角的性质
4．如图，利用工具测量角，则∠1的度数为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
A
5．(日照中考)如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为( )
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
B
6．(曲靖期末)如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOD＝120°，OA平分∠EOC，则∠BOD的度数是( )
A．40°
B．45°
C．30°
D．35°
C
7．【传统文化】王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录．如图①是一把剪刀，把它抽象为图②所示，如果∠1＋∠2＝60°，那么∠3的度数是 .
150°
8．如图，两条直线a，b相交．
(1)如果∠2＝3∠1，求∠3，∠4的度数；
(2)如果∠2比∠1大60°，求∠4的度数．
解：(1)因为∠1与∠2互为邻补角，
所以∠2＋∠1＝180°.
因为∠2＝3∠1，
所以3∠1＋∠1＝180°，解得∠1＝45°，
所以∠3＝∠1＝45°，∠2＝3×45°＝135°.
所以∠4＝∠2＝135°.
(2)根据题意，得∠2＝∠1＋60°，
又因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠1＋∠1＋60°＝180°，解得∠1＝60°.
因为∠1＋∠4＝180°，所以∠4＝120°.
易错点：未给出图形，考虑不周全
9．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝ .
40或80
10．将一张长方形的纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC的度数为 .
73°
11．(教材P3T2变式)如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当∠1增大2°时，下列说法中正确的是( )
A．∠2增大2°
B．∠3减小2°
C．∠4减小2°
D．∠4减小1°
C
12．下列说法中正确的是( )
A．互补的两个角是邻补角
B．相等的角必是对顶角
C．有公共边的两个角互为邻补角
D．两边互为反向延长线的角是对顶角
D
13．如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．
解：方法一：延长AO到C，测量∠BOC，利用邻补角的数量关系求
∠AOB.
所以∠AOB＝180°－∠BOC.
方法二：延长AO到C，延长BO到D，测量∠DOC，利用对顶角相等求
∠AOB.
所以∠AOB＝∠DOC.
14．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝2∶3，OF平分∠BOE.
(1)若∠BOD＝65°，求∠BOE的度数；
(2)若∠AOE＝∠BOF－10°，求∠COE的度数．
解：(1)因为∠AOC与∠BOD是对顶角，
所以∠AOC＝65°.
因为∠AOE∶∠EOC＝2∶3，
所以∠AOE＝∠AOC
＝26°.
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝154°.
(2)设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x.
因为∠AOE＝∠BOF－10°，
所以∠BOF＝4x＋20°.
因为OF平分∠BOE，
所以∠BOE＝2∠BOF＝8x＋40°.
所以∠AOE＋∠BOE＝2x＋8x＋40°＝180°.
所以x＝14°.所以∠COE＝3x＝42°.
15．探究题：
(1)三条直线相交，最少有 个交点；最多有 个交点，画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数
1
3
解：(1)如图：
对顶角有6对，邻补角有12 对．
(2)四条直线相交，最少有 个交点；最多有 个交点，画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
1
6
(2)如图：
对顶角有12对，邻补角有24对．
(3)依此类推，n条直线相交，最少有 个交点；最多有 个交点，对顶角有 对，邻补角有 对．
1
n(n－1)
2n(n－1)(共19张PPT)
第2课时 平行线判定方法的综合运用
知识点1：平行线的判定的综合运用
1．如图，下列条件能判定BD∥CE的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠A＝∠F
C．∠ABD＝∠2
D．∠C＝∠D
A
2．如图，∠DCA＝60°，要判定AB∥CD，需要的条件是( )
A．∠EAD＝60°
B．∠B＝60°
C．∠BCD＝120°
D．∠EAC＝120°
D
3．如图，下列推理不正确的是( )
A．∵∠1＝∠2，∴AE∥BD
B．∵∠1＝∠2，∴AB∥ED
C．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD
D．∵∠5＝∠2＋∠4，∴AE∥BD
B
4．如图，已知∠COF＋∠C＝180°，∠C＝∠B.试说明AB∥EF.
解：∵∠COF＋∠C＝180°(已知)，
∴EF∥CD(同旁内角互补，两直线平行 )．
∵∠C＝∠B(已知)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
∴AB∥EF(平行于同一直线的两条直线平行)．
5．如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？
解：AB∥CD，BC∥DE.
理由：∵∠ABC＝∠1＝60°，∠2＝120°，
∴∠ABC＋∠2＝180°.
∴AB∥CD.
又∵∠2＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵∠D＝60°，∴∠BCD＝∠D.
∴BC∥DE.
知识点2：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
6．平面内有三条直线a，b，c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.其中( )
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
A
7．如图，AF⊥AC，CD⊥AC，点B，E分别在AC，DF上，且AF∥BE.试说明BE∥CD.
解：∵AF⊥AC，CD⊥AC，
∴∠A＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠C＝180°，
∴AF∥CD.
∵AF∥BE.
∴BE∥CD.
8．在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是( )
A．相交 B．相交且垂直
C．平行 D．不能确定
C
9．将一副三角板按如图所示方式放置，结论①：若∠1＝45°，则有BC∥AE；结论②：若∠1＝30°，则有DE∥AB.下列判断正确的是( )
A．①和②都对
B．①和②都不对
C．①不对，②对
D．①对，②不对
D
10．如图，已知直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1＝140°，则当∠2＝ 时，AB∥CD.
50°
11．如图，已知∠1∶∠2 ∶∠3＝2∶3∶4，∠AFE＝60°，∠BDE＝
120°，则图中互相平行的直线有 .
AB和DE，EF和BC
12．如图，∠ADE＋∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E.
(1)AD与BC平行吗？为什么？
解：AD∥BC.理由：
∵∠ADE＋∠ADF＝180°，
∠ADE＋∠BCF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC.
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
解：AB∥EF.
理由：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC.
又∵∠ABC＝2∠E，即∠E＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠E.∴AB∥EF.
13．如图①，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．
解：AB∥ED.
理由：如图①，以BC为一边作∠BCF＝25°，
∴∠B＝∠BCF，∴AB∥CF.
∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF＝67°－25°＝42°，
∴……
(1)请补全上述解题过程；
(2)如图②，∠1＝120°，∠2＝150°，AE⊥EC，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
解：(1)补全解题过程：
∴∠DCF＝∠D.∴CF∥ED.∴AB∥ED.
(2)AB∥CD.
理由：如图②，以AE为一边作∠AEF＝60°.
∵∠1＝120°，∴∠1＋∠AEF＝180°.
∴AB∥EF.
∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.
∴∠FEC＝∠AEC－∠AEF＝30°.
∵∠2＝150°，∴∠FEC＋∠2＝180°.
∴EF∥CD，∴AB∥CD.
