(共23张PPT)
复习提升(二) 实 数
【重难点突破】
重难点1：平方根，算术平方根与立方根
1．下列式子中正确的是( )
A．＝±3 B．－＝2
C．－＝4 D．＝－2
B
2．(六盘水期中)下列说法中正确的是( )
A．的平方根是
B．－25的算术平方根是5
C．(－5)2的平方根是－5
D．0的平方根和算术平方根都是0
D
3．已知 ＝4.80，≈15.17，则的值约为( )
A．0.480 B．0.048 0
C．0.151 7 D．1.517
B
4．36的平方根是 ；－27的立方根是 .
5．将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数 .
6．若2m－5与4m－9是某一个正数的平方根，则m的值是 .
±6
－3
1
或2
7．求下列各式中x的值：
(1)2x2－32＝0； (2)(2x＋4)3＝64；
(3)(x＋1)2－25＝0; (4)8(x－1)3＝27.
解：x＝±4.
解：x＝0.
解：x＝4或x＝－6.
解：x＝.
8．a＋3的立方根是2，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的平方根．
解：由题意，得a＋3＝23，3a＋b－1＝42，
解a＋3＝8，得a＝5.
把a＝5代入3a＋b－1＝16，得b＝2，
∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根是±3.
重难点2：实数
9．在3.14，－，π，，－0.31，，0.808 008 000 8…(每两个8之间依次多1个0)，这些数中，无理数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
10．(1)1－的相反数是 ；
(2)|5－2|＝ ；
(3)－的倒数是 .
－1
5－2
－
11．把下列各数的序号分别填入相应的集合里：
①；②；③－3.141 59；④；⑤；⑥－；⑦－；⑧0；⑨－0.；⑩1.732； －.
(1)正有理数集合： ；
(2)非负数集合： ；
(3)分数集合： .
①⑤⑩
①②④⑤⑧⑩
③⑤⑦⑨⑩
重难点3：无理数的估算与实数的大小比较及运算
12．(德州中考)在0，，－2，这四个数中，最小的数是( )
A．0 B. C．－2 D.
C
13．(赤峰中考)如图，数轴上表示实数7的点可能是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
B
14．(资阳中考)若 ＜m＜，则整数m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B
15．计算－－|－3|的结果是( )
A．－1 B．－5
C．1 D．5
B
16．比较下列各组数的大小：
(1)3与；
解：∵3＝，＝，
∴3>11.
(2) 和 .
解：＝，4＝<9，
∴4－4<7，
∴<.
17．计算：
(1)(－3)2－|15－4|－；
解：原式＝9－(4－)－4
＝9－4＋－4
＝＋1.
(2)|－|＋0.9；(精确到0.01)
解：原式≈3.162－1.732＋0.9
≈2.33.
(3)＋( )2＋＋.
解：原式＝0.9＋0.09－1＋0.6
＝0.59.
重难点4：算术平方根的非负性
18．(八步区期中)已知＋|b＋3|＝0，则ab的立方根是 .
－3
19．已知x，y满足＋|y－3x－1|＝0，求y2－5x的算术平方根．
解：由题意可知x＋1＝0，y－3x－1＝0，
∴x＝－1，y＝3x＋1＝－3＋1＝－2，
∴y2－5x＝4＋5＝9，
∵9的算术平方根是3，
∴y2－5x的算术平方根是3.
【综合提升】
20．魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺 鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为64 cm3.
(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长；
(2)图中阴影部分是一个正方形，则该正方形的面积为 cm2，边长为
cm.
10
解：(1)组成这个魔方的小立方体的棱长为
＝1(cm)．(共13张PPT)
小专题五 开方运算及无理数判断中的易错题
1．(－4)2的平方根是( )
A．±4 B．±2 C. D．±
A
2.的立方根是( )
A. B.
C．± D．±
A
3．若实数a满足a＝，则的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．0或±1
C
4．已知a是(－4)2的平方根，b的一个平方根是2，则a＋b的值为( )
A．0 B．8
C．0或－8 D．0或8
D
5．下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；②实数分为正实数和负实数；③2的算术平方根是；④无理数是带根号的数，其中正确的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
C
6．若a2＝36，b3＝8，则a＋b的值是( )
A．8或－4 B．8或－8
C．－8或－4 D．4或－4
A
7．下列整数中，与10－ 最接近的整数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
C
8．数a在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各数中，有平方根的是
( )
A．a B．－a C．－a2 D．a3
B
9．下列运算中，错误的有( )
①＝－＝9－7＝2；
② ＝＋＝＋＝；
③＝1；
④－＝－＝－.
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
C
10．计算的结果是 0.
11．把下列各数的序号分别填入相应的集合中：
①－2.4；②；③－0.；④0；⑤；⑥；⑦－(－2.28)；⑧－；⑨－32；⑩8%； 2.434 334 333 4…(每相邻两个4之间3的个数逐次加1)．
有理数集合： ；
无理数集合： .
①②③④⑥⑦⑧⑨⑩
⑤
12．已知一个数的算术平方根为3m－4，它的平方根为±(m－1)，求这个数．
解：∵一个数的算术平方根是3m－4，平方根是±(m－1)，
∴3m－4＝m－1或3m－4＝1－m，
解得m＝ 或m＝.
当m＝ 时，3m－4＜0，不合题意，舍去，
∴这个数为(3m－4)2＝(3×－4)2＝.(共14张PPT)
第3课时 用计算器求一个正有理数的算术平方根及估计数的大小
知识点1：用计算器求一个正有理数的算术平方根
1．用计算器求2 025的算术平方根时，下列按键中，必须使用的按键是( )
C
2．用计算器求下列各式的值．(精确到0.01)
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：原式＝38.00.
解：原式≈5.01.
解：原式≈6.16.
解：原式≈2.45.
知识点2：算术平方根的估算及大小比较
3．(天津中考)估计的值在( )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
C
4．(扬州中考)已知a＝，b＝2，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．b＞a＞c B．a＞c＞b
C．a＞b＞c D．b＞c＞a
C
5．观察：≈2.284；≈22.84，填空：
(1)≈ ，≈ ；
(2)若 ≈0.022 84，则x＝ .
0.228 4
228.4
0.000 521 7
知识点3：算术平方根的应用
6．(深圳中考)如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是 ．(写出一个答案即可)
2(答案不唯一)
7．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 .
3
8．比较下列各组数的大小：
(1)4.8 0； (2) 0.
<
>
9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，一片形状均衡的树叶柄与叶面长度之比为＝，若n为整数，且
n<0
微专题2：利用非负数的性质求值
【思想方法】(1)算术平方根是一个非负数；(2)算术平方根的被开方数是一个非负数；(3)若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0；(4)常见的几个非负数：平方，绝对值，算术平方根．
类型1： 中被开方数a≥0
1．已知x，y都是实数，若y＝＋＋4，则2x＋y的值是 .
10
类型2： ≥0
2．已知实数x，y满足 ＋|y－2|＝0，则代数式(x－y)2 025的值为 .
3．已知 ＋＝0，则xy的值为 .
4．当x＝ 时，＋6有最小值，最小值为 .
1
－6
－
6(共13张PPT)
第2课时 算术平方根
知识点1：算术平方根的概念
1．(无锡中考)实数9的算术平方根是( )
A．3 B．±3
C．－3 D．－9
A
2．下列各数中没有算术平方根的是( )
A．0 B．－4
C．|－2| D．16
B
知识点2：算术平方根的计算
3．(鄂州中考)计算：＝ 0.
4．(1)121的算术平方根为 0；
(2)0.002 5的算术平方根为 ；
(3) 的算术平方根为 0；
(4) 的算术平方根为 0.
5．(上海中考)已知＝1，则x＝ 0.
4
11
0.05
1
6．求下列各式的值：
(1)； (2)； (3).
解：(1)∵92＝81，∴＝9.
(2)∵( )2＝，∴＝.
(3) ＝0.5.
知识点3：算术平方根的非负性
7．要使 有意义，则x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x≥1
C．x≤－1 D．x＜－1
B
8．下列式子中有意义的是( )
A． B．(－)2
C．－ D．
C
易错点：求算术平方根时运算出错
9．(1)(－4)2的算术平方根是 ；
(2) 的算术平方根是 .
4
3
10．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( )
A．1 B．－1
C．0 D．0或1
D
11．下列说法：
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；
④算术平方根不可能是负数；
⑤(π－4)2的算术平方根是4－π.
其中正确的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
12．(广东中考)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是
.
13．(南充中考)若 为整数，x为正整数，则x的值是 .
5
4，7或8
14．(1)通过计算下列各式的值探究问题．
①＝ 0；＝ 0；＝ 0．
探究：对于任意非负有理数a，＝ 0；
②＝ 0；＝ 0．
探究：对于任意负有理数a，＝ 0．
综上，对于任意有理数a，＝ 0；
4
16
0
a
1
2
－a
|a|
(2)应用(1)所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：－－＋|a＋b|＝ .
－a－3b(共10张PPT)
小专题四 比较实数大小的常用方法——方法技巧专题
类型1：利用数轴比较实数大小
【方法指导】
实数的大小比较同有理数一样，可结合数轴，在数轴上大致标出点的位置，然后根据右边的数大于左边的数进行比较．
1．将－2，，|－|，在数轴上表示出来，并将原数用“<”连接起来．
解：如图所示，由数轴知
－2<|－|<<.
类型2：利用平方法或立方法比较实数大小
【方法指导】
①已知a，b均为实数，若a3>b3，则a>b；反过来也成立；②已知a，b均为正(负)实数，若a2>b2，则a>b(a2．比较下列各组数的大小：
(1)和7； (2)和－4.
解：(1)∵(47)2＝47，
72＝49，47<49.∴<7.
(2)∵()3＝－63.
(－4)3＝－64，－63>－64.
∴－4.
3．比较大小：4，，.
解：∵()2＝15，42＝16，15<16，∴<4.
∵43＝64.()3＝70，64<70，∴4<.
∴<4<.
类型3：利用作差法比较实数大小
【方法指导】
对于实数a，b，若a－b>0，则a>b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b<0，则
a4．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较－2与2的大小．
∵－2－2＝－4，
又∵<<，则4<<5，
∴－2－2＝－4>0.
∴－2>2.
请仿照上述方法，比较下列各组数的大小．
(1)2－与－3；
解：2－－(－3)＝2－＋3＝5－23.
∵<<，∴4<<5.
∴5－>0，∴2－>－3.
(2)与.
解：－＝＝.
∵5< ，∴<，∴4<9，∴9－4>0.
∴>0，即－>0.
∴>.(共14张PPT)
第八章 实 数
8．1 平方根
第1课时 平方根
知识点1：平方根的概念
1．4的平方根是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．16
C
2．25的平方根是±5，这句话用数学式表示为( )
A.＝±5 B．±＝±5
C.＝5 D．－＝－5
B
3．下列说法中不正确的是( )
A.是2的平方根 B．－是2的平方根
C．2的平方根是 D．2的平方根是±
C
4．求下列各数的平方根：
(1)100； (2)0.006 4； (3) .
解：(1)100的平方根是±10.
(2)0.006 4的平方根是±0.08.
(3) 的平方根是±.
知识点2：平方根的性质
5．下列说法中，正确的是( )
A．任何数的平方根都有两个
B．一个数的平方根是它本身
C．只有正数才有平方根
D．负数没有平方根
D
6．(1)若一个正数的一个平方根为，则它的另一个平方根为 ；
(2)若一个正数的两个平方根分别为a，b，则a＋b＝ 0，＝ 0.
－
0
－1
7．若x＋3是4的平方根，则x的值为( )
A．－1 B．±1
C．－2 D．－1或－5
D
8．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数是( )
A．1 B．－1
C．0 D．±1
C
9．(1) 的平方根是 ；
(2)若 ＝2，则x＝ 0；
(3)若 的平方根是±2，则x＝ .
±4
4
16
10．求下列各式中x的值．
（1）x2－121＝0；
解：x2＝121，
x＝±11.
(2) 4(2x－1)2＝36.
解：(2x－1)2＝9，2x－1＝±3，
即2x－1＝3或2x－1＝－3，
x＝2或x＝－1.
11．(核心素养 推理能力)一个正数x的两个不同的平方根分别是3m＋2与
4m－9.
(1)求x和m的值；
(2)求x＋11m的平方根．
解：(1)由题意可得3m＋2＋4m－9＝0，
解得m＝1，∴x＝(3×1＋2)2＝25.
(2)将x＝25，m＝1代入x＋11m中，得
25＋11×1＝36.
∵36的平方根是±6，
∴x＋11m的平方根是±6.(共10张PPT)
8．3 实数及其简单运算
第1课时 实数的概念
知识点1：无理数的概念
1．(日照中考)实数－，0，，1.732中无理数是( )
A．－ B．0
C． D．1.732
C
2．下列说法中正确的是( )
A．无限小数都是无理数
B．带根号的数是无理数
C．不能除尽的分数是无理数
D．开方开不尽的数是无理数
D
知识点2：实数的分类
3．把下列各数的序号分别填入相应的集合内．
①－，② ，③ ，④ 3.14，⑤ －，⑥ 0，
⑦－5.123 45…，⑧，⑨－.
负实数集合： ；
分数集合： ；
正数集合： ；
无理数集合： .
①⑤⑦⑨
①④⑧
②③④⑧
②③⑦⑨
知识点3：实数与数轴上的点的关系
4．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上(数轴单位长度是 1 cm)，刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上的－3和0，则数轴上x的值最有可能是( )
A．5.3 B. C. D.
D
易错点：对无理数的判断有误
5．下列说法中正确的是( )
① 是分数；②－是有理数；③ 0.33是分数；④ 是无理数．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
D
6．有一个数值转换器，原理如图，当输入的x＝64时，输出的y为( )
A．2 B．8 C. D.
C
7．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有 0个．
4
8．(黔东南州期末)如图，数轴上点A表示数是－1，点B表示数是1，过点B作BC垂直于数轴．若AC＝，以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P表示的数是 .
－1＋
9．请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“＞”连接起来．，－1.5，－，－π，0.4，.
解：A＝－π，B＝－1.5，C＝，D＝0.4，E＝－，F＝.数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，
∴10>>0.4>－1.5>－>－π.(共20张PPT)
第2课时 实数的性质及运算
知识点1：实数的相反数、绝对值、倒数
1．－ 的相反数是( )
A．－ B．－
C．± D.
D
2．(遂宁中考)－|－|的值为( )
A． B．－
C．± D．2
B
3．下列各组数中，互为倒数的一组是( )
A．3与－3 B. 与
C．|－π|与 D.与
D
4．求下列各数的相反数和绝对值：
(1)－； (2)； (3)－2； (4).
解：(1)－的相反数是 ，绝对值是 ，
(2) 的相反数是－，绝对值是 .
(3)－2的相反数是2－，绝对值是2－.
(4) 的相反数是－，绝对值是 .
5．求下列各式中的x的值：
(1)|－x|＝－1；
解：∵|x|＝－1，
∴x＝－1或－＋1.
(2)|－x|＝.
解：x＝＋ 或 －.
知识点2：实数的运算
6．下列各式运算结果为有理数的是( )
A．2－3 B．＋
C．()3 D．0×
D
7．计算下列各式的值：
(1)3(＋)－2(－)；
(2)＋|－5|＋(－1)2 025；
解：原式＝＋5.
解：原式＝6.
(3)(－3)2＋2×(－1)－|－2|；
(4)－12＋－(－2)×.
解：原式＝7.
解：原式＝9.
8．若 取1.442，则计算 －3－98 的结果是( )
A．－100 B．－144.2
C．144.2 D．－0.014 42
B
9．已知x是整数，当|x－|取最小值时，x的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
A
10．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为 .
2－
11．用“ ”表示一种新运算：对于任意正实数a b＝，例如10 21＝
＝11，那么 ( 2)的运算结果为 .
4
12．(教材P59“数学活动 估算A0纸的长与宽”变式)
生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．
对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把
A0纸定义为面积为1 m2，长与宽的比为∶1的纸张；
沿A0纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸；
再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得A2纸…依此类推，得A3，A4，A5等
的纸张(如图所示)．若设A4纸张的宽为x m，则x应为 的算术平方根．
13．计算：
(1)|1－|＋|－|＋|－2|；
解：原式＝－1＋－＋2－
＝1.
(2)＋＋－|－4|.
解：原式＝－0.5＋＋－
＝－3.
14．已知实数a，b，c，d，e，f，其中a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋ 的值．
解：由题意，得ab＝1，c＋d＝0，
e＝±，f＝64，
∴e2＝(±)2＝2，＝＝4.
∴ab＋＋e2＋＝＋0＋2＋4＝6.
15．先阅读然后解答提出的问题：
设a，b是有理数，且满足a＋b＝3－2，求ba的值．
解：由题意得(a－3)＋(b＋2)＝0，因为a，b都是有理数，所以a－3，b＋2也是有理数，由于是无理数，所以a－3＝0，b＋2＝0，所以a＝3，b＝－2，所以ba＝(－2)3＝－8.
问题：设x，y都是有理数，且满足x2－2y＋y＝30＋3，求x＋y的值．
解：∵x2－2y＋y＝30＋3，
∴(x2－2y－30)＋(y－3)＝0，
∴x2－2y－30＝0，y－3＝0，
解得x＝±6，y＝3，
当x＝6，y＝3时，x＋y＝6＋3＝9，
当x＝－6，y＝3时，x＋y＝(－6)＋3＝－3，
即x＋y的值是9或－3.(共14张PPT)
8．2 立方根
第1课时 立方根及其性质
知识点1：立方根的定义
1．(浙江中考)－8的立方根是( )
A．－2 B．2
C．±2 D．不存在
A
2．若一个数的立方根是－，则该数为( )
A．－ B．－
C．± D．±
B
3．若x3＝－8，则x＝ .
－2
4．求下列各数的立方根：
(1)0； (2)2 ； (3)－9； (4)－0.125.
解：(1) ＝0.
(2)＝＝.
(3) ＝.
(4)＝－0.5.
知识点2：立方根的性质
5．下列说法中正确的是( )
A．负数没有立方根
B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
D．一个数的立方根与被开方数同号
D
6．下列各数中，立方根一定是负数的是( )
A．－a B．－a2
C．－a2－1 D．－a2＋1
C
知识点3：立方根的应用
7．要生产一个底面为正方形的长方体容器，容积为128 L(1 L＝1 dm3)，使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为( )
A．2 dm B．3 dm
C．4 dm D．5 dm
C
8．若实数m，n满足(m－12)2＋|n＋15|＝0，则n－m的立方根为( )
A．－3 B．3
C．±3 D．±
A
9.【分类讨论思想】若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( )
A．0 B．±10
C．0或10 D．0或－10
D
10．若x－1是125的立方根，则x－7的立方根是 .
11．一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 .
－1
0
12．求下列各式中x的值：
(1)8x3＋125＝0； (2)(3x＋2)3－1＝.
解：x＝－.
解：x＝－.
13．已知2a－1的算术平方根是，a－5b＋1的立方根是－2.
(1)求a与b的值；
(2)求2a－b的立方根．
解：(1)∵11的算术平方根是，
∴2a－1＝11，解得a＝6，
∵－8的立方根是－2，
∴a－5b＋1＝－8，∴b＝3.
(2)∵a＝6，b＝3，∴2a－b＝9，
∴2a－b的立方根是.(共14张PPT)
第2课时 开立方及其估算
知识点1：开立方及其性质
1．下列式子中不正确的是( )
A.＝－ B.＝a
C．()3＝a D．(－)3＝a
D
2．下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A．与 B．－与
C．()3与 D．与
C
3．计算下列各题：
(1)－； (2)()3；
解：原式＝－.
解：原式＝－27.
(3)－()3; (4)－；
(5)－； (6)－ .
解：原式＝－5.
解：原式＝6.
解：原式＝7.
解：原式＝.
知识点2：用计算器求立方根与估算
4．比较下列各组数的大小：
(1)；
(2)－ －3.4.
＞
＜
5．用计算器求下列各式的近似值．(结果精确到0.01)
(1)； (2).
解：原式≈3.95.
解：原式≈0.40.
6. 的立方根是( )
A．8 B．－8
C．2 D．－2
D
7．已知＝－2，则a的平方根为( )
A．2 B．±2
C．±3 D．4
C
【变式】已知＝x－1，则x2－x的值为( )
A．0或1 B．0或2
C．0或－1 D．0或±1
B
8．(1)填表：
a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000
0 0 0 0 0
0.01
0.1
1
10
100
(2)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律： 0
；
(3)根据你发现的规律填空：
①已知≈1.442，则≈ ，≈ ；
②已知≈0.076 97，则≈ .
被开方数扩大
1 000倍，则立方根扩大10倍
14.42
0.144 2
7.697
9．任意找一个数，比如1 234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方…如此进行下去，你有什么发现？
解：∵≈10.726，≈2.205，
≈1.3，≈1.09，
≈1.03，≈1.01，≈1，…
如此进行下去，发现：开立方的结果越来越接近于1.
