湘教版（2024）七下4.5.1 垂线 同步探究学案

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4.5.1 垂线
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解垂线的概念，会利用垂线的概念判断两直线垂直
2.逐步训练学生正确使用几何符号、几何语言、逐步熟悉推理的能力.
学习重点：垂线的概念、垂线的两个性质
学习难点：垂线的概念及两个性质的应用
预习自测
一、单选题
1．如图，，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOD∶∠AOC＝5∶2，则∠BOC等于(　　)
A．28°
B．30°
C．32°
D．35°
二、填空题
3．（1）在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做
4．垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ．
教学过程
一、创设情境、导入新课
问题2：如图，当∠AOC=90°时，∠AOD，∠DOB，∠BOC等于多少度？为什么？直线AB,CD的位置关系怎样？
二、合作交流、新知探究
探究一：
【观察】
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线 ，如下图所示 ，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中 ，若有一个角是直角（此时易知其余三个角也是直角）， 则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。垂直用符号“ ⊥ ” 表示 .
直线 AB 与 CD 互相垂直（O 为垂足），记作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直于 CD ”.
【议一议】
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见。举出教室内一些互相垂直的实例，并与同学交流。
若两条直线相交所成的四个角中没有直角 ，则称其中一条直线为另一条直线的斜线 .
如图 ，直线 CD 是AB 的斜线， 同样 ，直线AB 也是 CD 的斜线 .
【思考】
（1）如左图，在同一平面内，如果直线a⊥，b⊥，那么a//b吗？
（2）如右图，在同一平面内，如果直线a//b，a⊥，那么b⊥吗？
例 1 在如下图所示的简易屋架中 ，BD，AE ，HF 都垂直于CG. 若∠1 = 60°，求 ∠2 的度数 .
例 2 如图， 在 △ABC 中 ， CD 丄 AB 于点 D ，∠1 = ∠2 ，求∠BEF 的度数
三、自主检测
一、单选题
1．在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
2．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．如图，点为直线上一点，，当 时，．
4．当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ．
5．如图，，垂足为O，直线经过点，则 ．
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试卷第1页，共3页
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知识点总结
1.若有一个角是直角（此时易知其余三个角也是直角）， 则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。垂直用符号“ ⊥ ” 表示 .
2.若两条直线相交所成的四个角中没有直角 ，则称其中一条直线为另一条直线的斜线 .
3.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
4.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条。
答案
预习：
1．B
【分析】根据对顶角相等，先求出度数，最后用减去度数即可得到度数．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义、对顶角性质．灵活运用角的和差及其等量代换是解题的关键．
2．B
【分析】设∠BOD=5x°，∠AOC=2x°，求出∠BOC=(90-2x)°，根据∠BOD+∠BOC=180°可得关于x的方程，解方程求出x即可．
【详解】设∠BOD＝5x°，∠AOC＝2x°，
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝(90－2x)°，
∵∠BOD＋∠BOC＝180°，
∴90－2x＋5x＝180，解得x＝30，
∴∠BOC＝30°，
故选B.
【点睛】本题考查了垂线，邻补角的应用，能根据已知条件得出关于x的方程是解此题的关键．
3． 一条 垂线段最短 点到直线的距离
【分析】（1）本题考查垂线相关知识，掌握概念即可解题．
（2）本题考查垂线段相关知识，掌握概念即可解题．
（3）本题考查点到直线的距离相关知识，掌握概念即可解题．
【详解】解：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故答案为：一条．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
故答案为：点到直线的距离．
4． 垂线 垂足
自主：
1．C
【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果．
【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
，
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意；
D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．/70度
【分析】本题考查了垂直的定义以及平角的定义，掌握垂直得以及平角为是解题的关键，把当成条件，然后去推出的度数．
【详解】解： ，
，
又，，
，
当时，．
故答案为：．
4．
【分析】本题主要考查了垂直的定义，余角的计算．根据太阳光板于太阳光垂直时，接收的太阳光能最多，得出旋转的最小角度即可．
【详解】解：由题意，可知太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为，
故答案为：．
5．40
【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，解决本题的关键是熟练掌握对顶角相等的性质，垂线的定义．
利用对顶角相等的性质，垂线的定义计算．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：40．
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