湘教版（2024）七下4.5.2 垂线 同步探究学案

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4.5.2 垂线
学习目标与重难点
学习目标：
理解垂线段的概念，会过一点画已知直线的垂线；
掌握基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂线；
了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
学习重点：基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂线；垂线段最短的性质。
学习难点：垂线的画法及垂线段最短的理解与应用。
预习自测
一、单选题
1．如图，，下列线段的长能表示点B到的距离的是（　　）

A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C．“相等的角是对顶角”是真命题
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
二、填空题
3．如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 ．线段 的长度叫做点A到直线l的距离．
4．如图，要从村庄P修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段 修建，理由是 ．
教学过程
一、创设情境、导入新课
【做一做】
任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线.
垂线的基本事实：
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如图，设 PO 垂直于直线 l ，O 为垂足 ，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段。经过点 P 的其他直线分别交直线 l 于点 A ，B ，C ，D， … ，线段 PA， PB，PC，PD， …都不是垂线段 ，称为斜线段 .
二、合作交流、新知探究
探究一：
比较上图中 PA ，PB ，PO ，PC ，PD 五条线段的长度， 哪条线段最短
通过比较，我发现：
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点到直线的距离：
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做一做
（1）量出图 中点 P 到直线AB 的距离
（2）某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处， 如图所示， 问建在哪个位置才最节省水管？ 为什么？
（3 ） 由（1）（2）你会发现应该怎样求点到直线的距离？
例 3 如图， 在△ABC 中 ， ∠ABC = 90° , BD ⊥ AC， 垂足为点D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求：
（1 ）点A 到直线 BC 的距离；
（2 ）点 B 到直线AC 的距离 .
三、自主检测
一、单选题
1．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线
2．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段的长是点到直线的距离
B．线段的长是点到直线的距离
C．，，三条线段中，最短
D．线段的长是点到直线的距离
二、填空题
4．如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ．
三、解答题
5．利用网格画图：
(1)过点C画的垂线，垂足为E；
(2)线段的长度是点C到直线_______的距离；
(3)连接，在线段中，线段_______最短．
知识点总结
1.垂线的基本事实：在同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短 .通常简单说成 ：垂线段最短 。
3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫作点到直线的距离，到直线的距离可以转化为点到点的距离 .
答案
预习：
1．B
【分析】此题考查了点到直线的距离，正确把握相关定义是解题的关键．利用点到直线的距离的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴线段的长能表示点B到的距离．
故选：B．
2．D
【分析】根据平行线的性质，平行公理，点到直线的距离，对顶角定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A错误；
B．直线外一点到这条直线的垂线段长，叫做点到直线的距离，故B错误；
C．“相等的角不一定是对顶角”，所以原命题是假命题，故C错误；
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，对顶角定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定义．
3． 垂线段 点到直线的距离 AD
【解析】略
4． PC 垂线段最短
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
自主：
1．B
【分析】本题考查了垂线段最短的应用．熟练掌握：在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短作答即可．
【详解】解：由题意知，依据为垂线段最短，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟知相关的定义是解答本题的关键
根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可．
【详解】解：A、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意；
B、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意；
C、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意；
D、于，则线段的长表示点到直线的距离，故此选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项．掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键．
【详解】解：A、线段的长是点到直线的距离，选项正确，不合题意；
B、线段的长是点到直线的距离，故该选项错误，符合题意；
C、，，三条线段中，垂线段最短，即最短，选项正确，不合题意；
D、线段的长是点到直线的距离，选项正确，不合题意；
故选：B．
4．
【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小是解题关键．先根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小，
则此时，即，
解得，
所以线段的最短距离是，
故答案为：．
5．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性．
（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点；
（2）根据点到直线的距离概念回答；
（3）根据垂线段最短直接回答即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：；
（3）解：连接，在线段中，线段最短，
理由：垂线段最短．
故答案为：．
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