湘教版（2024）七下4.1.2 两条相交直线所成的角 同步探究学案

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4.1.2 两条相交直线所成的角
学习目标与重难点
学习目标：
1.了解对顶角的概念；
2.掌握对顶角相等的性质；
3.理解并掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，能正确地分辨它们。
学习重点：对顶角的概念，对顶角相等的性质；“三线八角”中同位角、内错角、同旁内角的概念。
学习难点：在具体图形中分辨，找出对顶角、同位角、内错角、同旁内角；在“三线八角”中有一组相等，则其他几组也相等的推论（两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等。）
预习自测
一、单选题
1．下图中，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，与是对顶角的有（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
二、填空题
4．如图，若，则 ．
教学过程
一、创设情境、导入新课
将一把剪刀张开一定的角度，可以构成几个角？
二、合作交流、新知探究
探究一：观察上图，∠1和∠3有怎样的位置关系？
教师引导学生观察发现：∠1与∠3有共同的顶点O，且其中的一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。
得出对顶角的概念：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【做一做】
比较上图4.1-8 ，∠1和∠3的大小，它们的大小之间有怎样的关系？
得出对顶角的性质：
_______________________________________________________________________________________
【观察】
设直线AB，CD都与第三条直线MN相交（直线AB，CD被第三条直线MN所截），则可以构成8个角，如下图所示。
∠1和∠5的位置有什么关系？
∠3和∠5的位置分别有什么关系？
∠3和∠6的位置分别有什么关系？
得出同位角、内错角、同旁内角的概念:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【议一议】
如上图，还有其他的同位角、内错角和同旁内角吗？如有，将它们分别找出来，并将你的结果与同学的结果进行比较。
【例题详解】
例1 如图，直线EF与直线AB，CD分别相交，构成8个角，指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角。
例2 如图，直线AB，CD被直线MN所截，同位角∠1和∠2相等，那么内错角∠2和∠3相等吗？
三、自主检测
一、单选题
1．如图，下列结论正确的是（　　）
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
2．已知和是同旁内角，则（ ）
A． B． C． D．以上均有可能
3．如图，若两条直线a、b被直线c、d所截，则图中标号的角中共有内错角的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（ ）
A．减少 B．增加 C．不变 D．增加
二、解答题
5．如图，直线相交于点．
(1)若，则的余角有__________．
(2)若，求和的度数．
知识点总结
1.对顶角的概念：两个有公共的顶点的角，且其中的一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，我们把这样的一对角叫做对顶角。
2.对顶角的性质：对顶角相等。
3.同位角、内错角、同旁内角的概念。
4.两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等。
答案
预习：
1．D
【分析】本题考查同位角的定义，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据定义，逐一判断．
【详解】解：A、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角；
B、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角；
C、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角；
D、和有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记“两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角”是解题关键．
【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项符合，
故选：A．
3．B
【分析】两个拇指所在的两条直线被两个食指所在的直线所截，并且形成的两角位于两直线之间且在截线同侧，因而构成的一对角可看成是同旁内角．
【详解】解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，两个拇指所在的两条直线被两个食指所在的直线所截，并且形成的两角位于两直线之间且在截线同侧，因而构成的一对角可看成是同旁内角．
故选：B．
【点睛】本题考查了同旁内角，正确记忆同旁内角的定义是解决本题的关键．
4．140
【分析】根据“对顶角相等”，及可得，再根据和互为邻补角，即可求出的度数．
本题主要考查了对顶角的性质和邻补角的性质．对顶角相等，一个角的一边和另一边的反向延长线所组成的角叫做这个角的邻补角．掌握对顶角的性质和邻补角的定义是解题的关键．
【详解】解：∵和是对顶角，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：140．
自主：
1．D
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断即可．
【详解】解：根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断，
A. 与是对顶角，该结论错误，故选项不符合题意；
B. 与是同位角，该结论错误，故选项不符合题意；
C. 与没有处在两条被截线之间，该结论错误，故选项不符合题意；
D. 与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了同旁内角的相关知识，关键在于理解同旁内角不一定具有固定的大小关系．
同旁内角是指两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角．根据定义即可知同旁内角只有位置关系，没有大小关系．
【详解】同旁内角只有在两直线平行的条件下才会互补，其他条件下同旁内角只具有位置关系，没有大小关系，故而、、均有可能．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查内错角，根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得答案．
【详解】和，和，和，和均是内错角，共有4对内错角．
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义和性质．根据对顶角相等即可得到答案．
【详解】解：由题图可得和互为对顶角，
所以，
所以当增加时，也会增加．
故选B．
5．(1)，
(2)，．
【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
（1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义解答；
（2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，
，即，
∵，
的余角有：，；
故答案为：，；
（2）解：，
，
，，
∴，
，
∴．
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