(共21张PPT)
16．2 二次根式的运算
16．2.1 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
1．二次根式的性质3：如果a≥0，b≥0，那么有·＝z .
2．二次根式的性质3的逆用：
＝ ·(a≥0，b≥0)．
·
计算：
(1)×；(2)6×(－2)；
(3)××6.
【思路分析】(1)题直接利用二次根式的乘法进行计算；(2)题将两个“系数”和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号；(3)题利用公式··＝(a≥0，b≥0，c≥0)进行计算．
【自主解答】
【名师支招】二次根式相乘，被开方数的积 中有开得尽方的因数或因式时，一定要开方．
(1)原式＝＝＝5.
(2)原式＝6×(－2)×
＝－12×
＝－12×9＝－108.
(3)原式＝6×＝6.
【易错原因】把根号外的因式移到根号内时忽略符号
把a中根号外的因式移到根号内的结果是________．
【自主解答】
-
知识点1：二次根式的乘法
1．化简×的结果是 ( )
A．2
B．4
C．4
D．8
B
2．下列等式中成立的是 ( )
A．4×2＝8
B．5×4＝20
C．4×3＝7
D．5×4＝20
D
3．(益阳中考)计算：×＝10 .
10
4．计算：
(1)×；
(2)×(－)．
解：原式＝.
解：原式＝－1.
知识点2：积的算术平方根的性质
5．(桂林中考)化简的结果是 （ ）
A．2
B．3
C．2
D．2
A
6．根据二次根式的性质，若＝·，则a的取值范围是 （ ）
A．a≤5
B．a≥0
C．0≤a≤5
D．a≥5
C
7．化简：
(1)；
(2).
解：原式＝
＝10.
解：原式＝7.
8．若a＝，b＝，则用含a，b的式子表示是 （ ）
A．2ab
B．3ab
C．6ab
D．8ab
A
9．如果ab>0，a＋b<0，那么下列各式中正确的是 （ ）
A.＝·
B.×＝1
C.×＝a
D．()2＝－ab
B
10．若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是
(答案不唯一)(写出一个符合条件的值即可)．
11．观察分析下列数据：
0，－，，－3，－2，－，3，….
(1)根据数据排列的规律得到第16个数据应是－3(结果需化简)；
(2)第n个数据是(－1)n＋1(结果不需化简)．
(答案不唯一)
－3
(－1)n＋1
12．计算：
(1)－；
解：原式＝－3×16×2×
＝－96.
(2)×3×.
解：原式＝3××
＝.
13．小星在课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与该长方形相等的圆，请帮助他求出圆的半径．
解：设圆的半径为r cm.根据题意，得
πr2＝×.
∵×＝＝70π，
∴πr2＝70π，∴r2＝70.∵r>0，∴r＝.
∴圆的半径为 cm.
14．(核心素养·创新意识)先阅读下列解题过程，再解决问题：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b(a>b)，使a＋b＝m，ab＝n，这样()2＋()2＝m，·＝，于是＝＝±.
例如：化简.
解：这里m＝7，n＝10.∵5＋2＝7，5×2＝10，即()2＋()2＝7，×＝，∴＝＝＋.
用上述例题的方法化简：
(1)； (2).
(2)这里m＝3，n＝2.
∵2＋1＝3，2×1＝2，即()2＋()2＝3，×＝，
∴＝＝－1.
解：(1)这里m＝8，n＝15.
∵3＋5＝8，3×5＝15，
即()2＋()2＝8，×＝，
∴＝＝＋.(共15张PPT)
小专题(一) 二次根式中的运算
类型1：运用运算法则进行计算
1．计算：
(1)2×÷3；
解：原式＝4××
＝.
(2)3÷×；
解：原式＝3×3÷××
＝9×××
＝20.
(3)＋|－3|－(－)；
解：原式＝4＋3－＋＝7.
(4)－＋－＋－.
解：原式＝－＋2－＋2－3
＝(－＋2－3)＋(－1＋2)
＝－＋.
2．计算：
(1)×＋－；
解：原式＝＋4－
＝＋4－
＝6.
(2)(＋×)×；
(3)(1＋2)(－1)；
解：原式＝(＋5)×
＝18.
解：原式＝－1＋6－2
＝－＋5.
(4)(3＋－4)÷－1.
解：原式＝(6＋－2)÷4－1
＝5÷4－1
＝.
类型2：运用乘法公式进行计算
3．计算：
(1)(＋)2；
(2)(－-)(-)；
解：原式＝-(+)(-)
＝－(3－5)＝2.
解：原式＝5＋2＋7
＝12＋2.
(3)(＋)(-)；
(4)(＋－)(-+)．
解：原式＝[＋(-)][－(-)]
＝5－(-)2
＝2.
解：原式＝(3＋3)(－)
＝3×(3－2)＝3.
类型3：与二次根式有关的化简求值
4．(内江中考)先化简，再求值：
(＋)÷，其中a＝－，b＝＋4.
解：原式＝[＋]·
＝·＝.
当a＝－，b＝＋4时，
原式＝ ＝.
5．已知x＝＋，y＝-，试求代数式3x2－5xy＋3y2的值．
解：原式＝3(x2－2xy＋y2)＋xy
＝3(x－y)2＋xy
＝3(+-+)2＋(+)(-)
＝3×28－4
＝80.
类型4：用整体的思想进行运算
6．(济宁中考)已知a＝2＋，b＝2－，求代数式a2b＋ab2的值．
解：a2b＋ab2
＝ab(a＋b)
＝(2＋)(2－)(2＋＋2－)
＝(4－5)×4
＝－4.
类型5：运用等式规律进行计算
7．(核心素养·运算能力)观察下列运算：
①由(＋1)(－1)＝1，得＝－1；
②由(＋)(-)＝1，得＝-；
③由(＋)(－)＝1，得＝-；
……
(1)通过观察能得出什么规律？用含n的式子表示出来；(n为正整数)
(2)利用(1)中发现的规律计算：(＋＋＋…＋)×(＋1)．
(2)原式＝(－1＋－＋－＋…＋－)(＋1)
＝(－1)(＋1)
＝2 023.
解：(1)＝－.(共22张PPT)
第16章 二次根式
16．1 二次根式
1．二次根式的有关概念
(1)形如(a≥ 0)的式子叫做二次根式；
(2)被开方数a可以是数，也可以是代数式，但必须为非负数；
(3)(a≥0)是一个非负数．
(a≥0)
非负
非负
2．二次根式的性质
性质1：()2＝a(a≥0)；
性质2：＝|a|＝
若式子有意义，则实数x的取值范围是________．
【思路分析】由题意得x＋2≥0且(x－3)2≠0，即可得出结论．
【自主解答】
【名师支招】判断代数式在实数范围内是否有意义，要弄清其中每一个数学表达式的含义，根据分式和二次根式成立的条件去解，既要使每个二次根式有意义，还必须使分母不为零．
x≥－2且x≠3
【易错原因】运用＝|a|化简时符号出现错误
如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋＝_______.
【自主解答】
2
知识点1：二次根式的定义
1．下列各式中，一定是二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
A
2．小红说：“因为4的算术平方根为2，即＝2，所以不是二次根式．”则她的说法对吗？不对(选填“对”或“不对”)．
不对
知识点2：二次根式有意义的条件
3．(湘潭中考)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
( )
A．x＜1
B．x＞1
C．x≤1
D．x≥1
D
4．x为何值时，下列式子在实数范围内有意义：
(1)； (2)＋； (3).
解：x≥－.
解：x>.
解：2≤x≤5.
知识点3：()2＝a(a≥0)
5．计算()2的结果是 ( )
A．5
B．－5
C．25
D．－25
A
(1)()2＝16; (2)()2＝；
(3)()2＝1.5; (4)()2＝0 .
16
1.5
0
知识点4：＝|a|
7．(1)＝|－7|＝7；
(2)＝|－ 2|＝2－ .
8．若＝2－x，则x的取值范围是x≤2 .
x≤2
－7
7
－2
2－
9．(济宁中考)若代数式有意义，则实数x的取值范围是 （ ）
A．x≠2
B．x≥0
C．x≥2
D．x≥0且x≠2
D
10．若是二次根式，则x的值为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
D
11．将下列各数写成一个数的平方的形式：
7＝( )2；m＝()2(m≥0)．
12．已知y＝－x＋4，当x分别取1，2，3，…，2 024时，所对应y值的总和是2 030.
()2
()2
2030
13．计算：
(1)32＋-；
解：原式＝3×＋0.3－
＝1.1.
(2)＋＋6－.
解：原式＝3＋4＋6×－(－1)
＝3＋4＋9－＋1
＝17－.
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|－－.
解：由数轴可知a<0∴原式＝|a|－|a|－|b|
＝－|b|
＝－b.
15．(核心素养·数据分析观念)有如下一串二次根式：
①；②；③；④；…
(1)求①，②，③，④的值；
(2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；
(3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第 个二次根式，并化简．
解：(1)①原式＝＝3；②原式＝＝15；
③原式＝＝35；④原式＝＝63.
(2)第⑤个二次根式为＝99.
(3)第 个二次根式为
原式＝
＝
＝(2n－1)(2n＋1)
＝4n2－1.
微专题1：二次根式非负性的应用
【方法指导】
式子的两个非负性：(1)被开方数a必须是非负数；(2)的结果一定是非负数．
【针对训练1】二次根式有意义的条件
1．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的值为4.
【针对训练2】二次根式的非负性
2．若|x－2|＋＝0，则x＋y＝5.
3．若(2x＋y－5)2＋＝0，则x－y的值是9.
4．已知与互为相反数，则a＋b的值为－1.
4
5
9
－1(共21张PPT)
第2课时 二次根式的除法
1．二次根式的性质4：如果a≥0，b>0，那么有＝ ，也可以写成＝
(a≥0，b>0)．
2．满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
整数
整式
能开得尽方
计算：－4÷5
【思路分析】应用二次根式的除法法则，把系数及被开方数分别相除，然后化简求得结果．
【自主解答】
原式＝－
＝－×＝－.
【名师支招】被开方数相除时，可以用法则“除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数”进行约分，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果，若被开方数是假分数，要先把假分数化成带分数．
【易错原因】忽视了字母的隐含符号
已知xy<0，化简二次根式y的正确结果为 ( )
A．－ B. C．－ D.
【自主解答】
A
知识点1：二次根式的除法
1．计算÷的结果是 （ ）
A．2
B.
C．3
D.
B
2．计算：(1)(安徽中考)÷＝3；
(2)÷＝3 .
3
3
知识点2：商的算术平方根
3．下列各式中成立的是 （ ）
A.＝＝B.＝
C.＝×D.＝
A
＝=
4．化简：
(1)；
(2).
解：原式＝
知识点3：分母有理化
5．分母有理化：
(1)＝ ；
(2)＝ .
知识点4：最简二次根式
6．下列式子中，为最简二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
B
7．把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)； (2).
解：＝＝
＝.
解：＝
＝×
＝4.
8．若＝成立，则 ( )
A．x＜6
B．0≤x≤6
C．x≥0
D．0≤x＜6
D
9．在化简3时，甲、乙、丙三名同学化简的方法分别是甲：原式＝3×＝；乙：原式＝3×＝3×＝；丙：原式＝＝.其中解答正确的是 ( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．都正确
D
10．(潍坊中考)从－，，中任意选择两个数，分别填在算式 (□＋〇)2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 4－2(答 案不唯
．(只需写出一种结果)
4－2(答案不唯一)
11．计算：
(1)；
解：原式＝＝
＝＝.
(2)÷÷；
解：原式＝
＝.
(3)÷÷.
解：原式＝×
＝.
12．已知x为奇数，且＝，求＋的值．
解：由题意得
解得6≤x<9.
∵x为奇数，∴x＝7，
∴原式＝＋
＝＋
＝8＋2.
13．(核心素养·创新意识)定义：若两个二次根式a，b满足a·b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝2；
(2)若2＋与4＋m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
2
解：(2)∵2＋与4＋m是关于2的共轭二次根式，
∴(2＋)(4＋m)＝2，
∴4＋m＝＝＝4－2，
∴m＝－2.(共24张PPT)
第3课时 二次根式的大小比较及乘除混合运算
1．比较二次根式大小时，可将根号外的正因数移到根号内．
2．二次根式的乘除混合运算，有括号时先算括号里的，没有括号时，按从左到右的顺序运算，运算结果必须化成最简二次根式．
正因数
括号里的
从左到右
最简二次根式
比较下列各组数的大小：
(1)2与5；
(2)－3与－4.
【思路分析】利用二次根式的性质，把根号外的因数平方后移入根号内，通过比较被开方数的大小或利用二次根式的除法运算来比较大小．
【自主解答】
(1)2＝×＝，
5＝＝，
∵<，∴2<5.
(2)3＝＝，
4＝＝，
∵<，∴－>－.
∴－3>－4.
【名师支招】两个正数相比较，被开方数较大，其算术平方根也较大；两个正数相除，如果商大于1，被除数大于除数，反之，被除数小于除数．
【易错原因】乘除混合运算中，运算顺序弄错
计算÷×的结果为________．
【自主解答】
4
知识点1：二次根式的大小比较
1．当a>0，b>0时，如果a>b，那么下列结论中正确的是 ( )
A.>
B.<
C.＝
D．无法确定
A
2．(天津中考)估计的值在 ( )
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
B
3．比较大小：
(1)2<3；(2)<；(3)－4>－3.
<
<
>
知识点2：二次根式的乘除混合运算
4．计算×÷的结果是 （ ）
A.
B．2
C.
D．3
D
C
5．已知长方形的面积为12，其中一边长为2，则另一边长为 （ ）
A．2
B．3
C．3
D．2
6．计算：＝6 .
6
7．计算：
(1)÷×；
(2)÷×；
解：原式＝
＝.
解：原式＝
＝.
(3)2÷×；
(4)4×÷.
解：原式＝4××
＝12.
解：原式＝2××
＝1.
B
8．计算÷(－×2)的结果是 （ ）
A．－
B．－
C．－
D．－
A
9．已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系中正确的是 （ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>a>c
D．a>c>b
A
10．已知m＝×(－2)，则m的取值范围是 （ ）
A．5B．4C．－5D．－611．已知一个长方体的长、宽、高分别是，，.
(1)长方体的体积为8；
(2)若一个正方体的体积是这个长方体体积的3倍，则正方体的棱长为
2.
8
2
12．计算：
(1)×÷；
解：原式＝××
＝－9.
(2)；
解：原式＝×5
＝×
＝－.
(2)-.
解：原式＝-
＝-
＝-×
＝－.
13．已知实数a，b满足＋＝0，求2a·
的值．
解：要使原式有意义，必须解得
∴原式＝2a·＝2a2
＝2×2×＝.
14．(核心素养·运算能力)已知a＝，b＝，试比较与1的大小．
解：＝÷＝，
∵2 022×2 024
＝(2 023－1)(2 023＋1)
＝2 0232－1.
而20232－1<2 0232，∴<1，
∴<1，即<1.
