(共23张PPT)
17.3 一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac.
b2－4ac
2．一元二次方程根的判别式的运用
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由“Δ”的符号来判定：
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根；
(3)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－.
>
<
＝
－
不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
(1)2x－5＝x2；
(2)3x－x2－＝0.
【思路分析】先将各方程化为一般形式，再求出Δ的值，然后与0比较．
【自主解答】
(1)x2－2x＋5＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝5，
∴Δ＝b2－4ac＝4－20＝－16＜0，
∴原方程无实数根．
(2)∵a＝－，b＝3，c＝－，
∴Δ＝b2－4ac＝18－18＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
【易错原因】忽略一元二次方程的二次项系数不为0
关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【自主解答】
k>－1且k≠0
知识点1：利用“Δ”判断方程根的情况
1．一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为 ( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
A
2．下列方程中，没有实数根的是 ( )
A．x2－2x＝0
B．x2－2x－1＝0
C．x2－2x＋1＝0
D．x2－2x＋2＝0
D
3．一元二次方程2x2－3x＋4＝0中，Δ＝－23，该方程的根的情况为
无实数根．
－23
无实数根
4．不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)2x2－2x＋1＝0；
解：a＝2，b＝－2，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝－4<0，
∴此方程无实数根．
(2)3(x2－1)－5x＝0.
解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.
∵a＝3，b＝－5，c＝－3，
∴Δ＝b2－4ac＝61>0.
∴此方程有两个不相等的实数根．
知识点2：利用根的判别式求字母的值或取值范围
5．(眉山中考)关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( )
A．m＜
B．m＞3
C．m≤3
D．m＜3
D
6．(安徽中考)若一元二次方程2x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝2 .
2
7．若一元二次方程mx2－3x＋2＝0有实数根，求实数m的取值范围．
解：依题意，得
∴m≤且m≠0.
8．已知一元二次方程ax2＋x＋1＝0有两个相等的实数根，则a，b的值可能是 （ ）
A．a＝－1，b＝－4
B．a＝0，b＝0
C．a＝1，b＝2
D．a＝1，b＝4
D
9．(河南中考)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为 （ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
A
10．(连云港中考)已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值为2 .
2
11．已知关于x的一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－2)x＋1＝0有实数根，
(1)m的取值范围为 且m ≠±1；
(2)当m取最大整数值时，3x2＋12x＋3的值为6 .
m≤且m≠±1
6
12．(广州中考)已知T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)·(2a－3b)＋a2.
(1)化简T；
(2)若关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
解：(1)T＝a2＋6ab＋9b2＋4a2－9b2＋a2
＝6a2＋6ab.
(2)∵关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2a)2－4(－ab＋1)＝0.
∴a2＋ab＝1.
∴T＝6×1＝6.
13．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
解：(1)由题意得a≠0，当b＝a＋2时，
Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4.
∵a2>0，∴Δ>0.
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4a＝0，
取b＝2，a＝1，符合b2－4a＝0，
则方程变形为x2＋2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝－1.(答案不唯一)
14．(运算能力)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4＝0.
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
(2)解：若底边为a＝4，则b＝c，Δ＝(2k－3)2＝0，
∴k＝，x1＝x2＝2，有b＋c＝a，不能构成三角形；若腰为a＝4时，显然4是该方程的一个根，代入可得k＝，从而解得x1＝2，x2＝4，
∴△ABC的周长为10.
(1)证明：∵Δ＝(2k＋1)2－4×4
＝(2k－3)2≥0，
故方程总有两个实数根．(共11张PPT)
小专题(三) 一元二次方程中的易错问题
易错点1：忽视了一元二次方程的二次项系数不为0
1．若方程(k－1)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是
（ ）
A．k≠1
B．k≥0
C．k≥0且k≠1
D．k为任意实数
C
2．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为 （ ）
A．－2
B．2
C．－2或2
D．0
A
3．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( )
A．m＜－1
B．m＞0
C．m＜1且m≠0
D．m＞0且m≠1
D
易错点2：方程不化为一般形式导致系数弄错
4．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程－4x2＋3＝5x，下列叙述中正确的是 ( )
A．a＝－4，b＝5，c＝3
B．a＝－4，b＝－5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3
D．a＝4，b＝－5，c＝－3
B
5．一元二次方程2x2＝3－6x的根的判别式的值为60.
6．一元二次方程2x2＋(m＋1)x－1＝x(x－1)的一次项系数是3，则m＝1.
60
1
易错点3：利用根与系数的关系求值时忽略Δ≥0
7．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为 （ ）
A．－1或2
B．1或－2
C．－2
D．1
D
8．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m使得－＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝－4m＋1≥0，
∴m≤.
(2)假使存在实数m使得-＝0，
∴x1＋x2＝0或x1＝x2，
当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0，
∴m＝＞(舍去)；
当x1＝x2时，Δ＝0，∴m＝.
∴存在m使-＝0成立，此时m＝.
易错点4：与三角形结合时忘记取舍
9．等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝5.若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0，
即b2＋8b－20＝0，解得b＝2或b＝－10(舍去)．
①当a为底边长，b为腰长时，△ABC的三边长分别为5，2，2，而2＋2＜5，不能构成三角形，
∴此种情况不成立；
②当a为腰长，b为底边长时，△ABC的三边长分别为5，5，2，能构成三角形，
此时△ABC的周长为5＋5＋2＝12.
综上所述，△ABC的周长是12.(共19张PPT)
第3课时 可化为一元二次方程的分式方程的应用和其他问题
建立方程解决实际问题时可能会出现能转化为一元二次方程的分式方程，解分式方程时一定要检验．
检验
解放军某部接到了为干旱受灾区限期打30口水井的工作任务，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务．求原计划每天打多少口井？
【思路分析】此题中存在两个等量关系，“每天比原计划多打3口井”，“提前5天完成任务”，根据所求问题来设未知数，根据等量关系来列方程．
【自主解答】
【名师支招】列分式方程解应用题不要忘记检验，检验分两步，一是检验是不是原方程的根，二是检验是否使实际问题有意义．
设原计划每天打x口井，由题意列方程为－＝5.
整理得x2＋3x－18＝0.
解得x1＝3，x2＝－6(舍去)，
经检验，x＝3是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天打3口井．
【易错原因】把“单循环赛”和“双循环赛”弄混淆
参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为________．
【自主解答】
x(x－1)＝72
知识点1：可化为一元二次方程的分式方程的应用
1．一列客车已晚点6 min，如果将速度每小时加快10 km，那么继续行驶20 km便可准时到达，如果设客车原来行驶的速度是x km/h，可列出分式方程为 ( )
A.－＝6 B.－＝6
C.－＝ D.-＝
C
2．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且甲队提前天完工，甲队比乙队每天多安装2台，
设乙队每天安装x台空调，根据题意，列出方程为 .
3．某玩具店采购员第一次用100元去采购某品牌玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元，则第二次采购玩具多少件？
答：第二次采购玩具60件．
解：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具(x－10)件．根据题意，得＋＝，
整理，得x2－110x＋3 000＝0，解得x1＝50，x2＝60.
经检验，x1＝50，x2＝60都是原方程的解．
当x＝50时，每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；
当x＝60时，每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意．
答：第二次采购玩具60件．
知识点2：其他问题
4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 （ ）
A．8人
B．9人
C．10人
D．11人
B
5．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场5 个．
5
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽的价钱，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽．设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ( )
A．3(x－1)＝ B.＝3
C．3x－1＝ D.＝3
A
7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是 ( )
A．4
B．5
C．6
D．7
C
8．某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”的促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有10 瓶．
10
9．(贺州中考)某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得
60(1＋x)2＝24 000.
解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．
答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？
解：60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)．
答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
10．(核心素养·推理能力)某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合作，6天可以完成，需工程费用10 200元；若甲队单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？
解：设甲队单独做x天完成，则乙队单独做(x＋5)天
完成，依题意得
＋＝，
整理得x2－7x－30＝0，
解得x1＝10，x2＝－3(不合题意，舍去)，
经检验，x＝10是原方程的根，则x＋5＝15.
设甲队每天的工程费用为a元，乙队每天的工程费用为b元．依题意得
解得
∴甲队单独完成的费用：1 000×10＝10 000(元)，
乙队单独完成的费用：700×15＝10 500(元)．
∵10 000<10 500，
∴从节省资金的角度考虑，应选甲队．
