(共12张PPT)
第18章 勾股定理
18．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
平方和
知识点1：勾股定理
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( )
A．5
B．6
C．7
D．8
A
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积．若S1＝3，S2＝10，则S3＝7 .
7
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1.
(1)若∠B＝45°，则AB＝ ；
(2)若∠B＝30°，则BC＝ .
知识点2：勾股定理的验证
4．利用如图①或图②所示的两个图形中的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理中的数量关系是a2＋b2＝c2.
勾股定理
a2＋b2＝c2
易错点：直角边不确定时漏解
5．若一个直角三角形的两条边长分别为6和10，则这个三角形的第三边长为8或2 .
8或2
6．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则面积为 （ ）
A．96
B．49
C．24
D．48
C
7．(金华中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝ 2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为(8＋2 cm.
(8＋2)
8．如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…若第1个等腰直角三角形的直角边长为a，则第2 024个等腰直角三角形的面积为22 022a2.
【解析】第n个等腰直角三角形的直角边长为()n－1a.
22 022a2
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N.求证：AN2－BN2＝AC2.
证明：∵MN⊥AB于点N，
∴AN2＝AM2－MN2，
BN2＝BM2－MN2.
∴AN2－BN2＝AM2－BM2.
又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2＋CM2.
∴AN2－BN2＝AC2＋CM2－BM2.
又∵AM是△ABC的中线，
∴CM＝BM.∴AN2－BN2＝AC2.(共21张PPT)
章末复习与提升(三) 勾股定理
【考点突破】
考点1：勾股定理及其应用
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则BC的长为 ( )
A.
B.
C.
D.
A
2．如图，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB＝1，EC＝3，则正方形ABCD的面积为 ( )
A．2
B．8
C.
D．10
B
3．如图，数轴上的点M表示的数是 （ ）
A．－2
B．2
C．3－2
D．3＋2
C
4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为 ( )
A．20
B．24
C.
D.
B
5．如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是8，底面周长是12，则蚂蚁爬行的最短路程为1 0.
10
6．如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b.
(1)直角三角形的两直角边长的积ab＝6；
(2)两直角边长的和的平方(a＋b)2＝25.
6
25
7．在如图所示的方格图中画出一个有一边长为的等腰三角形ABC，三角形的顶点必须在格点上(每个小正方形的顶点叫做格点)．
解：如图所示．(答案不唯一)
8．为了丰富少年儿童业余文化生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝25 km，CA＝15 km，BD＝10 km.则阅览室E应建在距点A多远处，才能使它到C，D两所学校的距离相等？
解：设AE＝x km，则BE＝(25－x)km，
在Rt△ACE中，CE2＝AC2＋AE2＝152＋x2，
在Rt△BDE中，
ED2＝BE2＋BD2＝(25－x)2＋102，
∵CE＝DE，∴CE2＝DE2，
即152＋x2＝(25－x)2＋102，
解得x＝10，
∴阅览室E应建在距点A 10 km处，才能使它到C，D两所学校的距离相等．
考点2：勾股定理的逆定理及其应用
9．以下列长度(单位：cm)为三边，能构成直角三角形的是 （ ）
A．1，2，3
B.，，
C．2，3，4
D．4，5，6
B
10．观察下列每组勾股数a，b，c，都满足a(1)当a＝20时，b＝99，c＝101；
(2)把b，c用含a的代数式表示：
b＝－ 1 ，c＝＋ 1.
99
101
－1
＋1
11．如图，已知A(1，2)，B(5，0)，O(0，0)．求证：OA⊥AB.
证明：过点A作AC⊥OB于点C.
∵OA2＋AB2
＝OC2＋AC2＋AC2＋BC2＝12＋22＋22＋(5－1)2＝25，
OB2＝52＝25，∴OA2＋AB2＝OB2，
∴∠OAB＝90°，∴OA⊥AB.
12．已知△ABC的三边长分别为m2＋n2，m2－n2，2mn.
(1)当m＝2，n＝1时，△ABC是不是直角三角形？请说明理由；
(2)当m＝3，n＝2时，△ABC是不是直角三角形？请说明理由；
解：(1)△ABC是直角三角形．
理由：∵当m＝2，n＝1时，(m2＋n2)2＝25，
(m2－n2)2＝9，(2mn)2＝16，
∴(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)△ABC是直角三角形．
理由：当m＝3，n＝2时，
仍有(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
∴△ABC是直角三角形．
(3)当m，n为任意正整数时(m>n)，你能说明△ABC为直角三角形吗？
解：∵(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
∴当m，n为任意正整数时(m>n)，△ABC是直角三角形．
【综合提升】
13．(核心素养·推理能力)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°.
(1)求∠BAD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)；
(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，
连接B′D，求四边形ACB′D的面积．
解：(1)∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
AC＝＝.
又∵CD＝，DA＝1，
∴AC2＋DA2＝CD2.
∴△ADC为直角三角形，
且∠DAC＝90°.
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝135°.
(2)∵S△ABC＝AB·BC＝，S△ADC＝AD·AC＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝.
(3)过点D作DE⊥AB′，垂足为E，由(1)知∠DAC＝90°.
根据折叠可知∠B′AC＝∠BAC＝45°，
AB＝AB′＝1，S△AB′C＝S△ABC＝.
∴∠DAE＝∠DAC－∠B′AC＝45°.∴AE＝DE.
设DE＝AE＝x，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2.
∴x2＋x2＝1，解得x＝(负值舍去)．
∴S△ADB′＝×1×＝.∴S四边形ACB′D＝S△AB′C＋S△ADB′＝＋＝.
