(共20张PPT)
第4课时 三角形的中位线
1．如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
2．经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．
3．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
4．三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
相等
中点
平行
平分
中点
平行于
一半
如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD＝AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点．求证：EF＝(AB－AC)．
【思路分析】由于AB－AC＝AB－AD＝BD，故只
需证出EF为△CBD的中位线即可．
【自主解答】
【名师支招】利用三角形的中位线定理可以证明两直线平行以及线段的倍分关系．
∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED.
又F是BC的中点，
∴EF为△CBD的中位线，
∴EF＝BD＝(AB－AD)
＝(AB－AC)．
【易错原因】不能灵活运用三角形的中位线定理
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长是________．
【自主解答】
8 cm
知识点1：平行线等分线段定理及推论
1．如图，AB∥CD∥EF，AC＝CE，则下列说法中正确的是 ( )
A．AB＝CD
B．AB＝CD＝EF
C．BD＝DF
D．AC＝BD
C
2．如图，D，E分别为AB的三等分点，DF∥EG∥BC，分别交AC于点F，G，若AC＝12，则AF＝4，GC＝4.
4
4
知识点2：三角形中位线定理及应用
3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，若∠C＝65°，则∠AED的度数为 ( )
A．25°
B．65°
C．95°
D．115°
B
4．(长沙中考)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是10 0 m.
100
5．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝6，CD＝2.求证：BD⊥CD.
证明：∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴BD＝2EF.
∵EF＝2，∴BD＝4.
又∵BC＝6，CD＝2，
∴BD2＋CD2＝42＋(2)2＝62＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥CD.
6．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是 （ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
D
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(－1，0)，(5，0)，D，E分别是AB，AC的中点，点D的坐标为(1，2)，则点E的坐标是 （ ）
A．(3.5，2)
B．(4，2)
C．(2，3.5)
D．(2，4)
B
8．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝45°，点M是AD上一动点，点E，F，G分别是BM，CM，AM的中点，
(1)△EFG是等腰直角三角形；
(2)△EFG的周长为＋ 2.
等腰直角
2＋2
9．如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，CE，AF分别交BD于点M，N，求证：BM＝MN＝ND.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD.∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．∴AF∥CE.
又∵F是CD的中点，∴DN＝MN.
同理，BM＝MN.∴BM＝MN＝ND.
10．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，连接DH，求线段DH的长．
解：延长CH交AB于点F，
∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠FAH＝∠CAH.
∵CH⊥AE，∴∠AHF＝∠AHC＝90°.
∴△AHF≌△AHC(ASA)．∴AF＝AC，HF＝HC.
∵AC＝3，AB＝5，
∴AF＝AC＝3，BF＝AB－AF＝5－3＝2.
∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线．
∴DH＝BF＝1.
11．(核心素养·推理能力)如图，O是△ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，如果DEFG能构成四边形．
(1)当O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当O点移到△ABC外时，第(1)题中的结论是否成立？
画出图形并说明理由．
(1)证明：∵AD＝DB，AG＝GC，∴DG BC，
同理，EF BC，∴DG EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)解：成立．如答图，理由略．(共7张PPT)
小专题(十) 特殊平行四边形中的网格作图与分类思想
类型1：特殊平行四边形中的网格作图
1．如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
(1)在图①中画出以AB为对角线的正方形ACBD，且点C和点D均在格点上；
(2)在图②中画出以AB为对角线且周长为8的 AEBF，且点E和点F均在格点上．
解：(1)如图①，正方形ACBD即为所求．
(2)如图②， AEBF即为所求．
类型2：特殊平行四边形中的分类思想
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝DC＝12 cm，BC＝18 cm.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CD上由C点向D点运动．如果△ABP与△CQP全等，那么点Q的速度为3或 4cm/s.
3或4
3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t s，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.
4．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D.若△ABC的一条边长为6，求点D到直线AB的距离．
解：当B为直角顶点时，过点D作DH⊥AB于点H，如图①.
由题意知D为正方形ABCE的中心，∴DH＝BC.
若AC＝6，则BC＝3，此时DH＝，
即点D到直线AB的距离为；
若AB＝BC＝6，则DH＝BC＝3，
即点D到直线AB的距离为3.
当B不是直角顶点时，过点D作DH⊥BC于点H，如图②.
在△ABD和△HBD中，
∴△ABD≌△HBD(AAS)，∴AB＝BH.
若AB＝AC＝6，则BH＝6，BC＝6，∴CH＝BC－BH＝6－6，
∴AD＝6－6，即点D到直线AB的距离为6－6.
若BC＝6，则AB＝3，∴BH＝3，
∴CH＝6－3，∴AD＝6－3，即点D到直线AB的距离为6－3.
综上所述，点D到直线AB的距离为，3，6－6或6－3.(共10张PPT)
小专题(十二) 与正方形有关的常见模型
模型1：正方形中相交垂线段模型
1．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.
证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝AD，
∠ABC＝∠BCD＝90°.
∵CE＝DF，∴BE＝CF.
在△AEB与△BFC中，
∴△AEB≌△BFC(SAS)．
∴AE＝BF.
模型2：正方形中过对角线交点的直角模型
2．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°.
∴∠DOF＋∠COF＝90°.
∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF.
∴△COE≌△DOF(ASA)．
∴CE＝DF.
模型3：正方形中的“外角平分线”模型
3．如图，四边形ABCD是正方形，E点是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)如图①，求证：AE＝EF；
(2)如图②，当AB＝2，E是边BC的中点时，请直接写出CF的长．
(1)证明：如图①，在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∴AM＝EC，∠BAE＋∠AEB＝90°，
∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°.
∵CF平分正方形的外角，
∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF.又∵AE⊥EF，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF.
(2)解：如图②，取AB的中点M，连接EM，则
AM＝MB＝BE＝EC＝1，同(1)可证△AME≌△ECF，
∴CF＝ME＝＝＝.
模型4：正方形中的半角模型
4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，
则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，
∠B＝∠CDF.又∵BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.
(2)解：GE＝BE＋GD成立．
理由：由(1)得，△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.
又∵∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠GCD＝45°.
∴∠DCF＋∠GCD＝45°.∴∠GCF＝∠GCE＝45°.
∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.
