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5.3.1函数的单调性---自检定时练--详解版
单选题
1.函数在上的单调性是（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
【答案】C
【分析】求出函数的导数，再解导函数值大于0、小于0的不等式即可得解.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故选：C
2.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的减区间，根据题意可得出区间的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由题意，得.
令，得，即函数的减区间为，
因为在区间上单调递减，所以，
所以，解得.
故选：B.
3.已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，则；
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，所以；
又，综上可得的取值范围是.
故选：B.
4.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知函数的图象，应用导函数正负和函数单调性的关系即可判断各个选项.
【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D；
当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B．
故选:A．
5.，，，则以下不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可.
【详解】因为，
令，定义域为，则，
当时，，当 时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，
又，所以，
所以，即.
故选：D.
6.定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得.
【详解】依题意，令，求导得，则在上单调递减，
由，得，不等式，
则或，即或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
多选题
7.如图是函数的导函数的图象，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据的图象可得的单调性，结合单调性分析判断.
【详解】由题意可知：当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
可得，，，故AD正确，B错误；
又因为不在同一单调区间内，所以无法比较的大小，故C错误；
故选：AD.
8.已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．曲线在点处切线的斜率为
C．在单调递增
D．
【答案】BCD
【分析】根据偶函数的定义可判断A，利用导数的几何意义可判断B，利用函数的导数的正负可判断C，利用函数单调性比较函数值的大小可判断D.
【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误；
，，
所以曲线在点处切线的斜率为，B选项正确；
时，，，所以，
故在单调递增，C选项正确；
，在单调递增，则有，得，D选项正确.
故选：BCD.
填空题
9.已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围.
【详解】由求导得：，
因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根，
则有，解得.
故答案为：.
10.已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数的单调性结合题设即可列出关于m的不等式，解不等式即可得解.
【详解】由题得定义域为R，，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数在区间上不单调，
所以，故m的取值范围是.
故答案为：.
解答题
11.已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，再按和分别分类讨论导函数的正负，即可判断函数的单调性.
【详解】函数的定义域为，
当时，，则在上单调递增；
当时，由，得，
由，得；由，得，
于是有在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当0时，在上单调递增，在上单调递减．
12.当时，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】移项构造函数，利用导函数求解函数的单调性进而得证不等式.
【详解】令，
则
，
，，又因为，则恒成立，
当时，，即在上单调递增，
，
即．
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5.3.1函数的单调性---自检定时练--学生版
【1】知识清单
条件 恒有 结论
函数在区间内可导 在内单调递增
在内 单调递减
在内是常数函数
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.函数在上的单调性是（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
2.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
B．
C． D．
5.，，，则以下不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
多选题
7.如图是函数的导函数的图象，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8.已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．曲线在点处切线的斜率为
C．在单调递增
D．
填空题
9.已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ．
10.已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
解答题
11.已知函数，讨论的单调性.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A D B AD BCD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案见解析
12.【答案】证明见解析
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