第17章 一元二次方程 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．以下方程中，一定是一元二次方程的是（B）
A．x2－2y－3＝0 B．2x2＝0
C．(m＋1)x2＋3x＋1＝0 D．x3－x＋4＝0
2．一元二次方程3x2－4x－5＝0的一次项系数是（D）
A．3 B．4 C．－5 D．－4
3．已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为 2，则另一个根是（A）
A．－3 B．－2 C．3 D．6
4．用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是（D）
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7
5．若关于x的方程x2＋2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是（A）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
6．若2＋，2－是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两个根，则a＋b的值为（B）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
7．直线y＝x＋a不经过第二象限，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0实数解的个数是（D）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
8．小华早上从家里去离家5 km的学校，今天比昨天每小时快了1 km，结果比昨天早到了15 min，设小华昨天每小时行x km，可列方程为（B）
A.－＝ B.－＝
C.－＝15 D.－＝15
9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这么一道题“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块长方形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算：长比宽多（A）
A．12步 B．24步 C．36步 D．48步
10．若方程x2＋2px－3p－2＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足x＋x＝4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋x))，则实数p的所有可能值之和为（B）
A．0 B．－ C．－1 D．－
【解析】首先利用根与系数的关系得到两根与p的关系，然后利用x＋x＝4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋x))，得到有关p的方程，求得p值，再由判别式舍去不满足条件的p值即可求得答案．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．把一元二次方程(－x－1)2＝3化为一般形式是x2＋2x－2＝0.
12．若关于x的方程x2－2x－p＝0的两根互为倒数，则p＝－1.
13．某种药品原价每盒40元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒32.4元，则平均每次下调的百分率为10%.
14．已知关于x的一元二次方程a(x－h)2＋k＝0(a≠0)的解是x1＝－1，x2＝1.
(1)关于x的方程a(x－h＋3)2＋k＝0(a≠0)的根是x1＝－4，x2＝－2；
(2)关于x的方程a(3x－h)2＋k＝0(a≠0)的根为x1＝－，x2＝.
【解析】(1)x－h＋3＝－1－h或x－h＋3＝1－h；(2)3x－h＝－1－h或3x－h＝1－h.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．选择适当的方法解下列方程．
(1)(3x－2)(3x＋2)＝12；
解：(3x)2－22＝12，
∴9x2＝16.∴x2＝.∴x＝±.
∴x1＝，x2＝－.
(2)3m2－m－4＝0.
解：∵b2－4ac＝(－)2－4×3×(－4)＝55>0，
∴m＝.
∴m1＝，m2＝.
16．小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
x2－2x＝－1， (第一步)
x2－2x＋1＝－1＋1， (第二步)
(x－1)2＝0， (第三步)
x1＝x2＝1. (第四步)
(1)小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是不符合等式性质1；
(2)请写出此题正确的解答过程．
解：x2－2x＝1，x2－2x＋1＝2，(x－1)2＝2，x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数．
解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x＋2)．根据题意，得(10x＋x＋2)2＝10(x＋2)＋x＋138.
解得x1＝－(舍去)，x2＝1.
答：原来的两位数为31.
18．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0.
(1)若x＝－1是该方程的一个根，求m的值及另一个根；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
解：(1)将x＝－1代入一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0，得
(m－1)＋2＋1＝0，解得m＝－2.
将m＝－2代入原方程，得－3x2－2x＋1＝0，
∴x1·x2＝＝－，∵x1＝－1，∴x2＝.
(2)∵一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴m－1≠0且Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×(m－1)×1＞0，
解得m＜2且m≠1，
即m的取值范围是m＜2且m≠1.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．已知关于x的方程x2－(m＋3)x＋m＋2＝0.
(1)求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
(1)证明：∵x2－(m＋3)x＋m＋2＝0，
∴Δ＝[－(m＋3)]2－4(m＋2)＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有实数根．
(2)解：∵方程有一个根的平方等于4，且(±2)2＝4，
∴x＝±2是原方程的根，
当x＝2时，4－2(m＋3)＋m＋2＝0.解得m＝0；
当x＝－2时，4＋2(m＋3)＋m＋2＝0.
解得m＝－4.
综上所述，m的值为0或－4.
20．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请预测4月份该公司的生产成本．
解：(1)设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得
400(1－x)2＝361，
解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．
答：每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
六、(本题满分12分)
21．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图①，这堵墙的长度为10 m．已知现有的木板材料(图中细线部分)可新建围墙26 m，同时在与院墙平行的一面开一个2 m宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a m.
(1)与墙平行的一边长为多少米？(用含a的代数式表示)
(2)当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(如图②中内部阴影区域)，使得停放电动车的空白面积为54 m2，那么小路的宽度是多少米？
解：(1)由题意得(26＋2)－2a＝(28－2a)m，
∴车棚与墙平行的一边长(28－2a)m.
(2)当a＝10时，28－2a＝28－2×10＝28－20＝8(m)，
设小路的宽为x m，由题意得(10－x)(8－2x)＝54，
整理得x2－14x＋13＝0，
解得x1＝13＞10(舍去)，x2＝1，
答：小路的宽为1 m.
七、(本题满分12分)
22．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1 200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
解：设每件服装降价x元．由题意得
(90－x－50)(20＋2x)＝1 200，
解得x1＝20，x2＝10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20，
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1 200元，同时又要使顾客得到较多的实惠．
(2)要想平均每天盈利2 000元，可能吗？请说明理由．
解：不可能，理由：假设能盈利2 000元，依题意得
(90－x－50)(20＋2x)＝2 000，
整理得x2－30x＋600＝0，
Δ＝(－30)2－4×600＝900－2 400＝－1 500＜0，
∴原方程无实数解．
∴不可能每天盈利2 000元．
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】已知x1，x2是关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋2(m－2)x＋m＋10＝0的两实数根．
(1)【初步探究】已知等腰三角形ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
(2)【理解运用】阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶－海伦公式得S△ABC＝，其中p＝，如图，在(1)的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
解：(1)由题意知x1＝x2，
∴Δ＝b2－4ac
＝[2(m－2)]2－4(m＋2)(m＋10)＝0，
解得m＝－1，∴x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3，
∵BC＝4，∴△ABC的周长为3＋3＋4＝10.
(2)由(1)知△ABC的三边长分别为3，3，4，∴p＝＝5，
∴S△ABC＝
＝＝2，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，∴IF＝ID＝IE，
∴S△ABC＝AB·IF＋BC·ID＋AC·IE＝ID·(AB＋BC＋AC)＝2，解得ID＝，
∴S△BIC＝BC·ID＝×4×＝.第17章 一元二次方程 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．以下方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2－2y－3＝0 B．2x2＝0
C．(m＋1)x2＋3x＋1＝0 D．x3－x＋4＝0
2．一元二次方程3x2－4x－5＝0的一次项系数是（ ）
A．3 B．4 C．－5 D．－4
3．已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为 2，则另一个根是（ ）
A．－3 B．－2 C．3 D．6
4．用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7
5．若关于x的方程x2＋2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
6．若2＋，2－是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两个根，则a＋b的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
7．直线y＝x＋a不经过第二象限，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
8．小华早上从家里去离家5 km的学校，今天比昨天每小时快了1 km，结果比昨天早到了15 min，设小华昨天每小时行x km，可列方程为（ ）
A.－＝ B.－＝
C.－＝15 D.－＝15
9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这么一道题“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块长方形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算：长比宽多（ ）
A．12步 B．24步 C．36步 D．48步
10．若方程x2＋2px－3p－2＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足x＋x＝4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋x))，则实数p的所有可能值之和为（ ）
A．0 B．－ C．－1 D．－
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．把一元二次方程(－x－1)2＝3化为一般形式是 .
12．若关于x的方程x2－2x－p＝0的两根互为倒数，则p＝ .
13．某种药品原价每盒40元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒32.4元，则平均每次下调的百分率为 .
14．已知关于x的一元二次方程a(x－h)2＋k＝0(a≠0)的解是x1＝－1，x2＝1.
(1)关于x的方程a(x－h＋3)2＋k＝0(a≠0)的根是 ；
(2)关于x的方程a(3x－h)2＋k＝0(a≠0)的根为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．选择适当的方法解下列方程．
(1)(3x－2)(3x＋2)＝12；
(2)3m2－m－4＝0.
16．小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
x2－2x＝－1， (第一步)
x2－2x＋1＝－1＋1， (第二步)
(x－1)2＝0， (第三步)
x1＝x2＝1. (第四步)
(1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
(2)请写出此题正确的解答过程．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数．
18．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0.
(1)若x＝－1是该方程的一个根，求m的值及另一个根；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．已知关于x的方程x2－(m＋3)x＋m＋2＝0.
(1)求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
20．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请预测4月份该公司的生产成本．
六、(本题满分12分)
21．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图①，这堵墙的长度为10 m．已知现有的木板材料(图中细线部分)可新建围墙26 m，同时在与院墙平行的一面开一个2 m宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a m.
(1)与墙平行的一边长为多少米？(用含a的代数式表示)
(2)当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(如图②中内部阴影区域)，使得停放电动车的空白面积为54 m2，那么小路的宽度是多少米？
七、(本题满分12分)
22．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1 200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2 000元，可能吗？请说明理由．
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】已知x1，x2是关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋2(m－2)x＋m＋10＝0的两实数根．
(1)【初步探究】已知等腰三角形ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
(2)【理解运用】阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶－海伦公式得S△ABC＝，其中p＝，如图，在(1)的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
