27.2 相似三角形 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版九年级下册

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27.2 相似三角形 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD AC D．
3．如图，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式：①AD=2AG；②GE：BE=1：3；③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
4．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，在中，点D，E分别是上的点，且，若，则（ ）
A．1：1 6 B．1∶18 C．1：20 D．1：24
7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：16，则BE与CE的比是（）
A．1：4 B．1：16 C．1：3 D．1：2
8．如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是(　　)．
A．6米；
B．8米；
C．10米；
D．12米．
9．如图所示,在△ABC中,DE∥BC,BC=6 cm且S△ADE∶S△ABC=1∶4,那么DE的长为(　　)
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
10．如图,在Rt△ABC中∠C=90°,放置边长分别为4,6,x的三个正方形,则x的值为　　(　　)
A．24 B．12 C．10 D．8
二、填空题
11．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE与△ABC相似时，x的值可能是 ．
12．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，已知 cm， cm，DE平分交BC边于点E，AC与DE交于点F，则 .
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线垂直时，点P的坐标为
15．如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .
三、解答题
16．如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点F，且．
求证：；
连接AF，求证：．
17．已知：如图，四边形，对角线，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点.
(1)求证：BD平分；
(2)求证：．
18．如图，已知G、H分别是□ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．
（1）当时，求 的值；
（2）联结BD交EF于点M，求证：MG·ME=MF·MH.
19．如图①，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边BC的中点，射线DE⊥BC交AB于点E．点P从点D出发，沿射线DE以每秒1个单位长度的速度运动．以PD为斜边，在射线DE的右侧作等腰直角△DPQ．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段EP的长．
（2）求点Q落在边AC上时t的值．
（3）当点Q在△ABC内部时，设△PDQ和△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．
参考答案
1．C
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD=36°，
即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
2．D
解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
3．C
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵EF=FC，
∴DF为△CBE的中位线，
∴DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，△AGE∽△ADF，
∴GE：DF=AG：AD=1：2，DF：BE=1：2，
∴GE：BE=1：4，①正确；
连接GF，设BE、DF之间的距离是h，
根据题意，得S△BDG=BG h，S四边形EFDG=S△DFG+S△EGF=DF h+EG h，
又∵DF：BG=2：3，DF=GE，
∴S△BDG=DF h，S四边形EFDG=DF h，
∴S△BDG=S四边形EFDG，
∴．
4．C
如图：
①由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
②由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
④∠E和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误；
5．A
解:∵在中，，
∴，
又∵、分别是、的角平分线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
6．C
解：∵，
∴设的面积为a，则的面积为4a，
∵和的点D到的距离相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．C
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA．
∵S△DOE：S△COA=1：16，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴==，
∴=．
8．B
解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB：CD=BP：PD，即1.4：CD=2.1：12，
解得：CD=8米．
9．C
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵S△ADE:S△ABC=1:4，△ADE∽△ABC，
∴DE:BC=1:2.
∵BC=6cm，
∴DE=3cm.
10．C
∵∠PFN+∠CFE=90°, ∠CEF+∠CFE=90°,
∴∠PFN=∠CEF.
∵∠EMO+∠MEO=90°, ∠CEF+∠MEO=90°,
∴∠EMO=∠CEF,
∴∠EMO=∠PFN.
又∵∠MOE=∠FPN=90°,
∴△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=4，PN=6，
∴OE=x-4，PF=x-6，
∴（x-4）：6=4：（x-6），
∴（x-4）（x-6）=24，
∴x=0（不符合题意，舍去），x=10．
11．3或．
∵AB＝6，AC＝12，BD＝x，AE＝2x，
∴AD＝6﹣x，
若△ADE∽△ABC，则，
即，
解得x=3，
若△AED∽△ABC，则，
即，
解得x＝；
综上，x的值可能是3或，
故答案为3或．
12．2或
解：根据与相似时的对应关系，有两种情况：
①时，
，
又∵，
∴
解得；
②时，
，
，
而，即
解得．
故的长度是2或
故答案为：2或
13．9：16
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵DE平分，
∴，
∴，
∴，
∴.
14．(1,)
由题意可知，OB=2，AO=8，
∵CD⊥BO，C是AB的中点，
∴BD=DO=BO==PE，CD=AO=4.
设DP=a，则CP=4﹣a，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP，
又∵EP⊥CP，PD⊥BD，
∴∠EPC=∠PDB=90°，
∴△EPC∽△PDB.
∴，
∴a1=1，a2=3（舍去）
.∴DP=1，
∵PE=，
∴P（1，）.
15．５
解：如图，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（0，2），B（5，3），
∴OA=2，BD=3，OD=5，
由反射定律可得：∠ACO=∠BCD，
又∵∠AOC=∠BDC=90°
∴△AOC∽△BDC，
∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，
∴OC=2，OD=3
在Rt△BCD中，CD=3，BD=３
∴BC＝＝
又∵AC：BC=2：3
∴AC＝
∴AC+BC＝5
故选5.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1），
，
，
∽，
，
，
，
，
；
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
（1），
，
，
即，
∽，
，
即BD平分；
（2）过点C作CMBE交BD延长线于点M，
∴∠M=∠EBF，
∵∠EBF=∠CBF，
∴∠M=∠CBF，
∴CM=CB，
∵CMBE，
∴△CFM∽△EFB，
∴，
∴，
．
18．（1）；（2）详见解析.
解：（1）∵，
∴．
∵ □ABCD中，AD//BC,
∴ △CFH∽△DFG ，
∴()2,
∴=．
（2）证明：∵ □ABCD中，AD//BC，
∴,
∵ □ABCD中，AB//CD，
∴,
∴．
∴MG·ME=MF·MH．
19．（1）当点P在线段DE上时，EP =3-t；当点P在DE的延长线上时，EP= t-3；（2）t=8s；（3）S=
解：（1）由题可得，DP=t，DE=AC=3，
当点P在线段DE上时，EP=DE-DP=3-t；
当点P在DE的延长线上时，EP=DP-DE=t-3；
（2）如图所示，当点Q落在边AC上时，过点Q作QF⊥DP于F，
∵∠C=∠CDF=∠DFQ=90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴FQ=CD=BC=4，
∵△DPQ是等腰直角三角形，
∴DP=2FQ=8，
∴t==8（s）；
（3）①当点P在线段DE上时，△PDQ和△ABC重叠部分为△DPQ，且DP=t，DP边上的高为t，
∵点P从点D运动到点E处时，时间为3s，
∴当0＜t≤3时，S=×t×t=，
②当点P在线段DE的延长线上时，△PDQ和△ABC重叠部分为四边形EDQG，
如图所示，过G作GF⊥PE于F，则△GFE∽△BCA，且PF=GF，
∵AC=6，BC=8，
∴EF：FG=3：4，EF：FP=3：4，
∵PE=t-3，
∴FG=（t-3），
∴△PEG的面积=×PE×FG=×（t-3）2，
由（2）可知，点Q落在边AC上时，t的值为8s，
∴当3≤t＜8时，S=t2-×（t-3）2=．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=．
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